2025年高考數(shù)學(xué)模擬試題（新高考題型專項(xiàng)突破策略）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：這道題其實(shí)挺有意思的，咱們得先把它變個(gè)形，sin(2x)+cos(2x)可以寫(xiě)成√2sin(2x+π/4)，這樣一來(lái)，周期就一目了然了，是π，所以選A。2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的取值集合是（）A.{1,2}B.{1}C.{0,1,2}D.{0}解析：這個(gè)題得慢慢琢磨，A就是1和2，B要么是0要么是1/2，但A∪B還得是A，所以a得是0或者1，選C。3.函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.2D.4解析：這題得畫(huà)個(gè)數(shù)軸想想，|x-1|+|x+2|就是x到1和-2的距離之和，最小值肯定是在-2和1之間，算出來(lái)是3，選B。4.已知向量a=(1,k)，b=(3,-2)，若a⊥b，則k的值是（）A.-6B.6C.-3D.3解析：兩個(gè)向量垂直，點(diǎn)積就為0，1×3+k×(-2)=0，解得k=3，選D。5.拋擲兩個(gè)均勻的骰子，記事件A為“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”，則事件A發(fā)生的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18解析：兩個(gè)骰子有36種可能，點(diǎn)數(shù)和為5的有4種，1+4、2+3、3+2、4+1，所以概率是4/36，化簡(jiǎn)得1/9，這題選項(xiàng)有誤，但按最接近的算，選A。6.已知點(diǎn)P在圓(x-1)^2+y^2=4上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x+y-1=0的距離的最小值是（）A.1B.√2C.√3D.2解析：圓心到直線的距離是|1+0-1|/√2=1/√2，半徑是2，所以最小距離是2-1/√2，這題選項(xiàng)有誤，但按最接近的算，選B。7.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_n+a_n+1=2n+1，則a_5的值是（）A.9B.10C.11D.12解析：a_n+a_n+1=2n+1，a_1+a_2=3，a_2+a_3=5，a_3+a_4=7，a_4+a_5=9，這么一加，a_1到a_5加起來(lái)是25，已知a_1=1，所以a_2到a_5加起來(lái)是24，再算出a_2=2，a_3=3，a_4=4，a_5=5，但選項(xiàng)不對(duì)，可能是題目出錯(cuò)了，按最接近的算，選B。8.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值是（）A.eB.e^2C.1/eD.1/e^2解析：f'(x)=e^x-a，在x=1處取極值，所以f'(1)=e-a=0，解得a=e，選A。9.已知雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的離心率為√2，則漸近線的方程是（）A.y=±xB.y=±2xC.y=±x/2D.y=±2x/3解析：離心率√2，說(shuō)明a=b，所以漸近線方程是y=±x，選A。10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在x=π/4處取得最大值，且周期為π，則φ的值是（）A.π/4B.3π/4C.π/2D.0解析：周期為π，所以ω=2，f(x)在x=π/4處取最大值，所以2×π/4+φ=π/2+2kπ，解得φ=π/4，選A。11.已知三棱錐A-BCD的體積為V，底面BCD的面積為S，則頂點(diǎn)A到底面BCD的距離是（）A.V/SB.2V/SC.V/2SD.3V/S解析：體積公式V=1/3×底面積×高，所以高=3V/S，選D。12.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值分別是M和m，則M-m的值是（）A.2B.3C.4D.5解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，f(-1)=0，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，所以最大值M=2，最小值m=-2，M-m=4，選C。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.已知函數(shù)f(x)=log_a(x+1)，若f(2)=1，則a的值是________。解析：f(2)=log_a(3)=1，所以a^1=3，解得a=3。14.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，sinA=1/2，則cosB的值是________。解析：sinA=1/2，A=30°，由正弦定理a/sinA=b/sinB，得sinB=b×sinA/a=4×1/2/3=2/3，所以cosB=√(1-sin^2B)=√(1-(2/3)^2)=√(5/9)=√5/3。15.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，S_3=9，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是________。解析：S_3=3a_1+3d/2=9，已知a_1=1，所以3+3d/2=9，解得d=4，所以a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)×4=4n-3。16.已知函數(shù)f(x)=x^2+px+q在x=1時(shí)取得最小值，且f(1)=-2，則p+q的值是________。解析：f(x)在x=1時(shí)取最小值，所以對(duì)稱軸x=-p/2=1，解得p=-2，又f(1)=1+p+q=-2，所以1-2+q=-2，解得q=-1，所以p+q=-3。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值。（10分）（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)f(x)在x=1處的極值是極大值還是極小值，并說(shuō)明理由。解析：這題得先求導(dǎo)數(shù)，f'(x)=3x^2-a，在x=1處取極值，所以f'(1)=3-a=0，解得a=3。然后判斷極值類型，可以看第二導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x，f''(1)=6>0，所以x=1處是極小值。18.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=2，b=√7，C=60°。（12分）（1）求邊c的長(zhǎng)度；（2）若△ABC的面積S=√3，求sinA的值。解析：這題可以用余弦定理求c，c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+7-2×2×√7×1/2=11-2√7，所以c=√(11-2√7)。然后可以用面積公式S=1/2absinC=1/2×2×√7×√3/2=√21/2，已知S=√3，所以√21/2=√3，解得sinA=√3/2。19.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_1=1，a_n+a_n+1=2n+1。（12分）（1）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式。解析：這題得先證明是等差數(shù)列，由a_n+a_n+1=2n+1，得a_{n+1}+a_{n+2}=2(n+1)+1=2n+3，兩式相減，得a_{n+2}-a_n=2，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，公差為2，所以是等差數(shù)列。然后求通項(xiàng)公式，a_2=2×1+1-a_1=2，所以公差d=1，a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n。20.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（10分）（1）作出函數(shù)f(x)的圖像；（2）求函數(shù)f(x)的最小值及取得最小值時(shí)的x的值。解析：這題得分段討論，f(x)=x+3(x>1)1-x(x<-2)-x-1(x∈[-2,1])圖像就是三段直線，分別在x>1、x<-2和-2≤x≤1區(qū)間內(nèi)。最小值在x=1處取得，f(1)=2。21.已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√2/2，且過(guò)點(diǎn)P(√2,1)。（12分）（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且直線l過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，若△AFB的面積為1，求直線l的方程。解析：這題先求橢圓方程，離心率e=c/a=√2/2，所以c=a/√2，又b^2=a^2-c^2=a^2-a^2/2=a^2/2，所以橢圓方程為x^2/(2b^2)+y^2/b^2=1，代入點(diǎn)P(√2,1)，得(2)/(2b^2)+1/b^2=1，解得b^2=3，所以a^2=6，橢圓方程為x^2/6+y^2/3=1。然后求直線方程，右焦點(diǎn)F(√3,0)，設(shè)直線l方程為y=k(x-√3)，代入橢圓方程，得(x-√3)^2/6+k^2(x-√3)^2/3=1，化簡(jiǎn)得(1+2k^2)x^2-4√3k^2x+6k^2-6=0，由弦長(zhǎng)公式和面積公式，可以求出k，最終得直線方程為y=√3/3(x-√3)或y=-√3(x-√3)。22.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax^2在x=1處取得極值。（12分）（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷函數(shù)f(x)在x=1處的極值是極大值還是極小值，并說(shuō)明理由；（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值與最小值之差為e-1，求實(shí)數(shù)a的值。解析：這題先求導(dǎo)數(shù)，f'(x)=e^x-2ax，在x=1處取極值，所以f'(1)=e-2a=0，解得a=e/2。然后判斷極值類型，f''(x)=e^x-2a，f''(1)=e-2e/2=e>0，所以x=1處是極小值。最后求最大值和最小值之差，f(0)=1，f(1)=e-e/2=e/2，f(2)=e^2-2a×4=e^2-4e/2=e^2-2e，所以最大值是e^2-2e，最小值是e/2，差為e^2-2e-e/2=e^2-5e/2，已知差為e-1，所以e^2-5e/2=e-1，解得e^2-7e/2+1=0，解得a=e/2或a=2-e。本次試卷答案如下一、選擇題1.A解析：sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，周期為π。2.C解析：A={1,2}，B={0}或{1/2}，A∪B=A，則a=0或1。3.B解析：數(shù)軸上1到-2的距離和最小為3。4.D解析：a·b=0，1×3+k×(-2)=0，k=3。5.A解析：36種可能，和為5的有4種，概率4/36=1/9，選項(xiàng)有誤。6.B解析：圓心到直線距離1/√2，半徑2，最小距離√2，選項(xiàng)有誤。7.B解析：a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n+1，累加得a_2+a_3+a_4+a_5=24，a_2=2，a_3=3，a_4=4，a_5=5，選項(xiàng)有誤。8.A解析：f'(x)=e^x-a，f'(1)=0，a=e。9.A解析：e=√2，a=b，漸近線y=±x。10.A解析：周期π，ω=2，2x/4+φ=π/2+2kπ，φ=π/4。11.A解析：V=1/3×S×h，h=3V/S。12.C解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(-1)=9，f'(0)=0，f'(2)=-6，f'(3)=9，f(-1)=0，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，M=2，m=-2，M-m=4。二、填空題13.3解析：log_a(3)=1，a^1=3。14.√5/3解析：sinA=1/2，a=3，b=4，sinB=b×sinA/a=2/3，cosB=√(1-sin^2B)=√5/3。15.a_n=4n-3解析：a_1=1，S_3=9，d=4，a_n=a_1+(n-1)d=4n-3。16.-3解析：對(duì)稱軸x=1，p=-2，f(1)=-2，1-2+q=-2，q=-1，p+q=-3。三、解答題17.解：（1）f'(x)=3x^2-a，f'(1)=3-a=0，a=3。（2）f''(x)=6x，f''(1)=6>0，所以x=1處是極小值。18.解：（1）c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+7-2×2×√7×1/2=11-2√7，c=√(11-2√7)。（2）S=1/2absinC=1/2×2×√7×√3/2=√21/2，已知S=√3，√21/2=√3，sinA=√3/2。19.解：（1）a_{n+2}+a_{n+1}=2(n+1)+1，a_{n+2}+a_{n+1}-(a_n+a_{n+1})=2，a_{n+2}-a_n=2，所以數(shù)列是等差數(shù)列。（2）a_1=1，a_2=2，d=a_2-a_1=1，a_n=a_1+(n-1)d=n。20.解：（1）f(x)=x+3(x>1)，1-x(x<-2)，-x-1(x∈[-2,1])。（2）在x=1處，f(1)=2，是最小值。21.解：（1）e=c/a=√2/2，c=a/√2，b^2=a^2-c^2=a^2/2，橢圓方