第4講圓周運動1.如圖所示,修正帶的核心部件是兩個半徑之比為3∶1的大小齒輪,兩個齒輪通過相互咬合進(jìn)行工作,A和B分別為兩個齒輪邊緣處的兩點。若兩齒輪勻速轉(zhuǎn)動,下列說法正確的是()[A]A、B兩點的線速度大小之比為1∶1[B]A、B兩點的線速度大小之比為3∶1[C]A、B兩點的角速度大小之比為3∶1[D]A、B兩點的向心加速度大小之比為3∶1【答案】A2.(2025·山東濰坊開學(xué)考)(多選)如圖所示,兩個同軸心的玻璃漏斗內(nèi)表面光滑,兩漏斗與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角分別是α、β,且α<β,A、B、C三個小球在漏斗上做勻速圓周運動,A、B兩球在同一漏斗的不同位置,C球在另一個漏斗上且與B球位置等高,下列說法正確的是()[A]A球與B球受到的支持力一定大小相等[B]A球與B球的向心加速度一定大小相等[C]B球與C球的速度一定大小相等[D]B球的周期一定等于C球的周期【答案】BC【答案】2πrT2πT2πrv1Tm4π2考點一圓周運動的運動學(xué)問題1.圓周運動各物理量間的關(guān)系2.常見的傳動方式及特點項目同軸轉(zhuǎn)動皮帶傳動齒輪傳動裝置A、B兩點在同軸的一個圓盤上兩個輪子用皮帶連接,A、B兩點分別是兩個輪子邊緣的點兩個齒輪輪齒嚙合,A、B兩點分別是兩個齒輪邊緣上的點特點角速度、周期相同線速度大小相等線速度大小相等轉(zhuǎn)向相同相同相反規(guī)律線速度與半徑成正比:vAv向心加速度與半徑成正比:aAa角速度與半徑成反比:ωAω向心加速度與半徑成反比:aAa角速度與半徑成反比:ωAω向心加速度與半徑成反比:aAa[例1]【圓周運動物理量的關(guān)系】(2024·黑吉遼卷,2)“指尖轉(zhuǎn)球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖,當(dāng)籃球在指尖上繞軸轉(zhuǎn)動時,球面上P、Q兩點做圓周運動的()[A]半徑相等 [B]線速度大小相等[C]向心加速度大小相等 [D]角速度大小相等【答案】D【解析】由題意可知,球面上P、Q兩點轉(zhuǎn)動時屬于同軸轉(zhuǎn)動,故角速度大小相等,故D正確;由題圖可知,球面上P、Q兩點做圓周運動的半徑的關(guān)系為rP<rQ,故A錯誤;根據(jù)v=rω可知,球面上P、Q兩點做圓周運動的線速度的關(guān)系為vP<vQ,故B錯誤;根據(jù)a=rω2可知,球面上P、Q兩點做圓周運動的向心加速度的關(guān)系為aP<aQ,故C錯誤。[例2]【圓周運動中的傳動問題】(2025·廣東佛山開學(xué)考)如圖所示是《天工開物》中牛力齒輪的圖畫及其原理簡化圖,牛拉動橫桿驅(qū)動半徑為R1的大齒輪勻速率轉(zhuǎn)動,大齒輪與半徑為R2的中齒輪垂直咬合,中齒輪通過橫軸與半徑為R3的小齒輪相連,小齒輪驅(qū)動抽水桶抽水,已知牛拉橫桿轉(zhuǎn)一圈需要時間為t,則抽水桶的運動速率約為()[A]2πR1R[C]R1R32π【答案】A【解析】大齒輪的線速度大小為v1=2πR1t,由題意可知,大齒輪和中齒輪的線速度大小相等,即v2=v1=2πR1t,中齒輪和小齒輪是同軸傳動,具有相同的角速度,根據(jù)ω=vr,可知v2R2[例3]【圓周運動的多解問題】如圖所示,一個半徑為5m的圓盤正繞其圓心勻速轉(zhuǎn)動,當(dāng)圓盤邊緣上的一點A處在如圖所示位置的時候,在其圓心正上方20m的高度有一個小球(視為質(zhì)點)正在向邊緣的A點以一定的速度水平拋出,g取10m/s2,不計空氣阻力,要使得小球正好落在A點,則()[A]小球平拋的初速度一定是2.5m/s[B]小球平拋的初速度可能是2m/s[C]圓盤轉(zhuǎn)動的角速度一定是πrad/s[D]圓盤轉(zhuǎn)動的加速度大小可能是π2m/s2【答案】A【解析】根據(jù)h=12gt2,可得t=2hg=2s,小球平拋的初速度v0=rt=2.5m/s,故A正確,B錯誤;根據(jù)ωt=2nπ(n=1,2,3,…),解得圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω=2nπt=nπrad/s(n=1,2,3,…),圓盤轉(zhuǎn)動的加速度大小為a=ω2r=5n2π2m/s2(n=1,2,3,考點二圓周運動的動力學(xué)問題1.向心力的確定(1)確定圓周運動的軌道所在的平面,確定圓心的位置。(2)分析物體的受力情況,沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力。2.勻速圓周運動的實例運動模型向心力的來源圖示飛機水平轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎圓錐擺飛車走壁汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎水平轉(zhuǎn)臺3.變速圓周運動如圖所示,當(dāng)小球在豎直面內(nèi)擺動時,沿半徑方向的合力提供向心力,F=FT-mgcosθ=mv2R[例4]【圓周運動的動力學(xué)問題】(2024·廣東卷,5)如圖所示,在細(xì)繩的拉動下,半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,卷軸上沿半徑方向固定著長度為l的細(xì)管,管底在O點。細(xì)管內(nèi)有一根原長為l2、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧,彈簧底端固定在管底,頂端連接質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點的插銷。當(dāng)以速度v勻速拉動細(xì)繩時,插銷做勻速圓周運動,若v過大,插銷會卡進(jìn)固定的端蓋,使卷軸轉(zhuǎn)動停止。忽略摩擦力,彈簧在彈性限度內(nèi),要使卷軸轉(zhuǎn)動不停止,v的最大值為([A]rk2m [B][C]r2km [D]【答案】A【解析】由題意可知,當(dāng)插銷剛卡進(jìn)固定端蓋時彈簧的伸長量為Δx=l2,根據(jù)胡克定律有F=kΔx=kl2,插銷與卷軸同軸轉(zhuǎn)動,對插銷由彈力提供向心力,有F=mlω2,又v=rω,聯(lián)立解得v=rk2m解決圓周運動的動力學(xué)問題的一般思路[例5]【圓錐擺(筒)模型】(2024·江蘇卷,11)如圖所示,細(xì)繩穿過豎直的管子拴住一個小球,讓小球在A高度處做水平面內(nèi)的勻速圓周運動。現(xiàn)用力將細(xì)繩緩慢下拉,使小球在B高度處做水平面內(nèi)的勻速圓周運動,A、B在同一豎直線上,不計一切摩擦,則()[A]線速度vA>vB [B]角速度wA>wB[C]向心加速度aA<aB [D]向心力FA>FB【答案】C【解析】由題意可知,A、B在同一豎直線上,則rA=rB,設(shè)小球所在高度與豎直管的頂端的高度差為h,細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ,則小球運動半徑為r=htanθ,根據(jù)牛頓第二定律可得,向心力F=ma=mgtanθ=mω2r=mv2r,則v=grtanθ=gr2h,故vA<vB,A錯誤;ω=gh,故ωA<ωB,B錯誤;a=gtanθ=grh,故aA<aB,C正確;由于小球質(zhì)量不變,則[變式](1)若改變拉力F,使得小球在同一水平面A、B兩處做圓錐擺運動,則小球在A、B兩處的角速度和線速度大小是否相同?(2)若改變拉力F,使得小球在不同水平面A、B兩處做圓錐擺運動,但繩與豎直方向之間的夾角相同,則小球在A、B兩處的向心加速度和所受繩拉力的大小是否相同?【答案】(1)角速度相同,線速度大小不相同(2)向心加速度大小相同,受到繩的拉力大小也相同【解析】(1)對題圖甲中小球受力分析,設(shè)繩與豎直方向的夾角為θ,小球的質(zhì)量為m,小球到豎直管頂端的豎直距離為h,則mgtanθ=mω2lsinθ,解得ω=glcosθ=gh,所以小球在A、B兩處的角速度相同,根據(jù)v(2)對題圖乙中小球受力分析,設(shè)繩與豎直方向的夾角為θ,小球的質(zhì)量為m,繩上拉力為FT,則有mgtanθ=ma,FTcosθ=mg,解得a=gtanθ,FT=mgcosθ,所以小球在A、B處的向心加速度大小相同圓錐擺和圓錐筒的模型分析圓錐擺(1)向心力F向=mgtanθ=mv2r=mω2r,且r=Lsinθ,解得v=gLtanθsinθ,(2)穩(wěn)定狀態(tài)下,θ越大,角速度ω和線速度v就越大,小球受到的拉力FT=mgcos圓錐筒(1)筒內(nèi)壁光滑,向心力由重力mg和支持力FN的合力提供,即mgtanθ=mv2r=mω2r,解得v=grtan(2)穩(wěn)定狀態(tài)下小球所處的位置越高,半徑r越大,角速度ω越小,線速度v越大,支持力FN=mgsinθ和向心力F=[例6]【生活中的圓周運動】(2025·陜晉青寧高考適應(yīng)性考試)圖甲是某小河的航拍照片,河道彎曲形成的主要原因之一可解釋為:河道彎曲處的內(nèi)側(cè)與外側(cè)河堤均受到流水重力產(chǎn)生的壓強,外側(cè)河堤還受到流水沖擊產(chǎn)生的壓強。小河某彎道處可視為半徑為R的圓弧的一部分,如圖乙所示,假設(shè)河床水平,河水密度為ρ,河道在整個彎道處寬度d和水深h均保持不變,水的流動速度v大小恒定,d?R,忽略流水內(nèi)部的相互作用力。取彎道某處一垂直于流速的觀測截面,求在一極短時間Δt內(nèi):(R、ρ、d、h、v、Δt均為已知量)(1)通過觀測截面的流水質(zhì)量Δm;(2)流水速度改變量Δv的大小;(3)外側(cè)河堤受到的流水沖擊產(chǎn)生的壓強p?！敬鸢浮?1)ρdhvΔt(2)v2RΔt【解析】(1)由題可知,極短時間Δt內(nèi)通過觀測截面的流水的長度Δl=vΔt,由于橫截面積為S=dh,根據(jù)ρ=Δm可得水的質(zhì)量Δm=ρΔV=ρdhvΔt。(2)由于Δt極短,可以把水的運動簡化為勻速圓周運動,根據(jù)勻速圓周運動的規(guī)律可知,其加速度為a=v2又因為a=ΔvΔt,聯(lián)立解得Δv=v(3)根據(jù)牛頓第二定律可得F=Δmv2R,聯(lián)立上式,解得F=水流與河堤作用的面積S′=Δlh=vhΔt,故外側(cè)河堤受到的流水沖擊產(chǎn)生的壓強p=FS'=ρdhv(滿分:60分)對點1.圓周運動的運動學(xué)問題1.(4分)在我國東北地區(qū)嚴(yán)寒的冬天,人們經(jīng)常玩一項“潑水成冰”的游戲,具體操作是把一杯開水沿弧線均勻快速地潑向空中,圖甲所示是某人玩“潑水成冰”游戲的瞬間,可抽象為如圖乙所示的模型,潑水過程中杯子的運動可看成勻速圓周運動,人的手臂伸直,在0.5s內(nèi)帶動杯子轉(zhuǎn)動了210°,人的臂長約為0.6m,則潑水過程中()[A]杯子沿順時針方向運動[B]P位置飛出的小水珠初速度沿1方向[C]杯子運動的角速度大小為7π3[D]杯子運動的線速度大小約為7π10【答案】C【解析】由題圖乙中做離心運動的軌跡可知,杯子的旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向,P位置飛出的小水珠初速度沿2方向,故A、B錯誤;杯子旋轉(zhuǎn)的角速度為ω=θt,代入數(shù)據(jù)得ω=7π3rad/s,故C正確;杯子旋轉(zhuǎn)的軌跡半徑約為0.6m,則線速度大小為v=ωR=7π5m/s,2.(6分)(多選)如圖為一鏈條傳動裝置。已知主動輪是逆時針轉(zhuǎn)動的,轉(zhuǎn)速為n,主動輪和從動輪的半徑比為k,下列說法正確的是()[A]從動輪是順時針轉(zhuǎn)動的[B]主動輪和從動輪邊緣的線速度大小相等[C]從動輪的轉(zhuǎn)速為nk[D]從動輪的轉(zhuǎn)速為n【答案】BC【解析】主動輪逆時針轉(zhuǎn)動,帶動從動輪逆時針轉(zhuǎn)動,因為用鏈條傳動,所以兩輪邊緣線速度大小相等,A錯誤,B正確;由r主∶r從=k,2πn·r主=2πn從·r從,可得n從=nk,C正確,D錯誤。3.(12分)(2025·江蘇南通開學(xué)考)如圖所示,直徑為d的豎直圓筒繞中心軸線以恒定的轉(zhuǎn)速勻速轉(zhuǎn)動。一子彈以水平速度沿圓筒直徑方向從左側(cè)射入圓筒,從右側(cè)射穿圓筒后發(fā)現(xiàn)兩彈孔在同一豎直線上且相距為h,重力加速度為g,求:(1)子彈在圓筒中的水平速度;(2)圓筒轉(zhuǎn)動的角速度?！敬鸢浮?1)dg(2)(2n+1)πg(shù)2h(n=0,1,2,【解析】(1)子彈在圓筒中運動的時間與自由下落高度h的時間相同,由h=12gt2解得t=2h則v0=dt=dg(2)根據(jù)題意可知,在子彈射入到穿出時間內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為半圈的奇數(shù)倍,即ωt=(2n+1)π(n=0,1,2,…),解得ω=(2n+1)πt=(2n+1)πg(shù)2對點2.圓周運動的動力學(xué)問題4.(4分)(2024·云南昆明階段檢測)下列有關(guān)生活中的圓周運動的實例分析,正確的是()[A]圖甲中汽車通過凹形橋最低點時受到的支持力小于重力[B]圖乙中當(dāng)小桶剛好能通過最高點時,小桶及桶中的水只受重力作用,處于完全失重狀態(tài)[C]圖丙中火車超過規(guī)定速度轉(zhuǎn)彎時,車輪會擠壓內(nèi)軌[D]圖丁中脫水筒的脫水原理是水滴受到的離心力大于它受到的向心力,從而被甩出【答案】B【解析】題圖甲中,汽車通過凹形橋最低點時所受的合力提供向心力,有FN-mg=mv2R,可知汽車受到的支持力大于重力,故A錯誤;題圖乙中,當(dāng)小桶剛好能通過最高點時,重力提供向心力,小桶及桶中的水只受重力作用,處于完全失重狀態(tài),故B正確;題圖丙中,火車超過規(guī)定速度轉(zhuǎn)彎時,重力和支持力的合力不足以提供向心力,此時外軌對車輪有支持力,根據(jù)牛頓第三定律可知車輪會擠壓外軌,故C錯誤;題圖丁中,脫水筒的脫水原理是衣服對水滴的吸附力小于水滴做圓周運動需要的向心力,水滴做離心運動,從而被甩出,故5.(4分)(2025·安徽合肥檢測)如圖為自行車氣嘴燈及其結(jié)構(gòu)圖,彈簧一端固定在A端,另一端拴接重物,當(dāng)車輪高速旋轉(zhuǎn)時,LED燈就會發(fā)光。下列說法正確的是()[A]B端比A端的線速度小,安裝時應(yīng)該讓B比A更靠近車輪的圓心[B]旋轉(zhuǎn)時,重物受到重力、彈力和向心力作用[C]增大重物質(zhì)量可使LED燈在較低轉(zhuǎn)速下也能發(fā)光[D]勻速行駛時,若LED燈轉(zhuǎn)到最低點時能發(fā)光,則在最高點時也一定能發(fā)光【答案】C【解析】要使重物做離心運動,M、N接觸,則A端應(yīng)靠近圓心,因此安裝時A端比B端更靠近車輪的圓心,A錯誤;向心力是效果力,它由彈力和物體所受重力的合力提供,B錯誤;燈在最低點時F-mg=mω2r,解得ω=Fmr-gr,故增大重物質(zhì)量可使LED燈在較低轉(zhuǎn)速下也能發(fā)光,C正確;燈在最低點時F-mg=mvr2,燈在最高點時F′+mg=mvr2,勻速行駛時,在最低點時彈簧對重物的彈力大于在最高點時對重物的彈力,因此勻速行駛時6.(4分)(2024·河南鄭州模擬)如圖所示為我國某平原地區(qū)從P市到Q市之間的高鐵線路,線路上T1、T2、T3位置處的圓弧半徑分別為r、r、2r。若列車在P市到Q市之間勻速率運行,列車在經(jīng)過T1、T2、T3位置處與鐵軌都沒有發(fā)生側(cè)向擠壓,三處鐵軌平面與水平面間的夾角分別為α、β、γ。下列說法正確的是()[A]列車依次通過3個位置的角速度之比為1∶1∶2[B]列車依次通過3個位置的向心加速度之比為1∶1∶2[C]3個位置的tanα∶tanβ∶tanγ=2∶2∶1[D]3個位置的內(nèi)、外軌道的高度差之比為1∶1∶2【答案】C【解析】根據(jù)ω=vR可知,列車依次通過3個位置的角速度之比為2∶2∶1,故A錯誤;根據(jù)an=v2R可知,列車依次通過3個位置的向心加速度之比為2∶2∶1,故B錯誤;根據(jù)火車在轉(zhuǎn)彎處的受力分析,由牛頓第二定律mgtanθ=mv2R,可知tanθ=v2gR,故tanα∶tanβ∶tanγ=2∶2∶1,故C正確;設(shè)內(nèi)、外軌道間距離為L,則有sinθ=hL,h和sinθ成正比,故h1∶h2∶h3=27.(6分)(2024·云南昆明檢測)(多選)游樂場中一種叫“魔盤”的娛樂設(shè)施,游客坐在轉(zhuǎn)動的魔盤上,當(dāng)魔盤轉(zhuǎn)速增大到一定值時,游客就會滑向盤邊緣,其裝置可以簡化如圖。若魔盤轉(zhuǎn)速緩慢增大,則()[A]在滑動之前,游客受到的支持力緩慢增大[B]在滑動之前,游客受到的摩擦力緩慢增大[C]在滑動之前,游客受到的作用力逐漸增大[D]質(zhì)量較大的游客先發(fā)生滑動【答案】BC【解析】設(shè)轉(zhuǎn)盤斜面傾角為θ,對游客受力分析如圖所示,水平方向有Ffcosθ-FNsinθ=mω2r,豎直方向有Ffsinθ+FNcosθ=mg,聯(lián)立解得FN=mgcosθ-mω2rsinθ,Ff=mgsinθ+mω2rcosθ,可知隨著魔盤轉(zhuǎn)速緩慢增大,游客受到的支持力緩慢減小,受到的摩擦力緩慢增大,A錯誤,B正確;游客受到的合力提供圓周運動的向心力有F合=mω2r,可知隨轉(zhuǎn)速增加,游客受到的合力增大,C正確;設(shè)游客與魔盤間的動摩擦因數(shù)為μ,當(dāng)游客恰好要滑動時滿足Ff=μFN,化簡有μ(gcosθ-ω2rsinθ)=gsinθ+ω2rcosθ,運動過程中人開始滑動的條件與質(zhì)量無關(guān),D錯誤。8.(4分)(2024·四川樂山階段檢測)據(jù)史料記載,撥浪鼓最早出現(xiàn)在戰(zhàn)國時期,宋代小型撥浪鼓已成為兒童玩具。現(xiàn)有一撥浪鼓上分別系有長置的手柄勻速轉(zhuǎn)動,穩(wěn)定兩球在水平面內(nèi)做周期相同的勻速圓周運動,左側(cè)繩長大于右側(cè)。下列各圖中兩球的位置關(guān)系正確的是(圖中輕繩與豎直方向的夾角α<θ<β)()[A][B][C][D]【答案】B【解析】小球做勻速圓周運動,角速度相同,受力分析如圖所示,設(shè)繩長為L,撥浪鼓半徑為R,根據(jù)牛頓第二定律得mgtanθ=mω2(Lsinθ+R),解