第5講小專題:圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題考點(diǎn)一水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(1)運(yùn)動(dòng)軌跡是水平面內(nèi)的圓。(2)合外力沿水平方向指向圓心,提供向心力,豎直方向合力為零,物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2.常見的兩種臨界極值問題(1)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題。物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間的靜摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦力。(2)與彈力有關(guān)的臨界極值問題。壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零;繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。3.解決此類問題的一般思路首先要找到臨界條件時(shí)物體所處的狀態(tài);再分析該狀態(tài)下物體的受力特點(diǎn);最后根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)列動(dòng)力學(xué)方程求解。[例1]【與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題】(2024·四川成都模擬)如圖所示,一水平圓盤繞豎直中心軸以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng),緊貼在一起的M、N兩物體(可視為質(zhì)點(diǎn))隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng),N恰好不下滑,M恰好不滑動(dòng),兩物體與轉(zhuǎn)軸距離為r,已知M與N間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。則μ1與μ2應(yīng)滿足的關(guān)系式為()[A]μ1+μ2=1 [B]μ1μ[C]μ1μ2=1 [D]μ1+【答案】C【解析】以M、N整體為研究對(duì)象,由靜摩擦力提供向心力,有μ2(mM+mN)g=(mM+mN)ω2r,以N為研究對(duì)象,由M對(duì)N的彈力提供向心力,有FN=mNω2r,由平衡條件有μ1FN=mNg,聯(lián)立解得μ1μ2=1,故選C。[變式]如圖所示,若將M、N兩物體疊放在一起,隨盤一起加速轉(zhuǎn)動(dòng)。已知M、N間的動(dòng)摩擦因數(shù)小于M與圓盤間動(dòng)摩擦因數(shù),則哪個(gè)物體先遠(yuǎn)離圓心?【答案】物塊N【解析】對(duì)兩物體整體受力分析,有μ2(mM+mN)g=(mM+mN)ω2r,整體發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界角速度為ωM=μ2對(duì)物體N受力分析有μ1mNg=mNω2r,物塊N發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界角速度為ωN=μ1因?yàn)棣?<μ2,即ωN<ωM,所以圓盤做加速圓周運(yùn)動(dòng),物塊N先達(dá)到臨界角速度,則物塊N將先遠(yuǎn)離圓心。[例2]【與彈力有關(guān)的臨界極值問題】如圖所示,三角形為一光滑錐體的正視圖,母線與豎直方向的夾角為θ=37°。一根長為l=1m的細(xì)線一端系在錐體頂端,另一端系著一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng),重力加速度g取10m/s2,取sin37°=0.6,不計(jì)空氣阻力,下列說法正確的是()[A]小球受重力、支持力、拉力和向心力[B]當(dāng)ω=2.5rad/s時(shí),小球?qū)﹀F體的壓力為零[C]當(dāng)ω=522rad/s時(shí)[D]當(dāng)ω=25rad/s時(shí),小球受重力、支持力和拉力作用【答案】C【解析】向心力是效果力,不是小球?qū)嶋H受到的力,對(duì)小球受力分析,小球受重力、細(xì)線的拉力,小球可能受圓錐體的支持力,也可能不受圓錐體的支持力,故A錯(cuò)誤;角速度較小時(shí),小球緊貼錐體,豎直方向有FTcosθ+FNsinθ=mg,水平方向有FTsinθ-FNcosθ=mω2lsinθ,隨著角速度的增加,FT增大,FN減小,當(dāng)角速度達(dá)到ω0時(shí)支持力為零,支持力恰好為零時(shí)有mgtanθ=mω02lsinθ,解得ω0=522rad/s,故B錯(cuò)誤,C正確;當(dāng)ω=25rad/s時(shí),小球已經(jīng)離開錐體,小球僅受重力和拉力的作用考點(diǎn)二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型項(xiàng)目輕繩模型輕桿模型常見類型小球最高點(diǎn)沒有支撐小球最高點(diǎn)有支撐最高點(diǎn)受力特征除重力外,物體受到的彈力方向:向下或等于零除重力外,物體受到的彈力方向:向下、等于零或向上最高點(diǎn)受力示意圖動(dòng)力學(xué)方程mg+F彈=mvmg±F彈=mv臨界特征F彈=0mg=mv即vmin=gR(1)恰好過最高點(diǎn),v=0,F彈=mg。(2)恰好無彈力,F彈=0,v=gR過最高點(diǎn)的條件在最高點(diǎn)的速度v≥gR在最高點(diǎn)的速度v≥02.解題技巧(1)物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí),根據(jù)合力提供向心力列牛頓第二定律方程。(2)物體從某一位置到另一位置的過程中,用動(dòng)能定理找出兩位置間的速度關(guān)系。(3)注意:求對(duì)軌道的壓力時(shí),轉(zhuǎn)換研究對(duì)象,先求物體所受支持力,再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力。[例3]【輕繩模型】(2024·貴州遵義模擬)某人站在水平地面上,手握不可伸長的輕繩一端,繩的另一端系有質(zhì)量為1kg的小球,甩動(dòng)手腕,使球在豎直平面內(nèi)以手為圓心做圓周運(yùn)動(dòng),其簡化示意圖如圖。握繩的手離地面高度為1.0m且保持不變,現(xiàn)不斷改變繩長使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng),每次繩在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)都恰好達(dá)到最大拉力被拉斷,球以繩斷時(shí)的速度水平飛出,通過水平距離x后落地。已知繩能承受的最大拉力為15N,重力加速度g取10m/s2,忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力,則x的最大值為()[A]0.4m [B]0.5m[C]1.0m [D]1.2m【答案】B【解析】設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,手離地面高度為h,繩的最大拉力為Fmax,繩斷后小球做平拋運(yùn)動(dòng),豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng),有h-r=12gt2,Fmax-mg=mvmax2r,x=vmaxt,聯(lián)立得x=r(1-r),可知,當(dāng)r=0.5m時(shí),xm[例4]【輕桿模型】(2025·湖南長沙開學(xué)考)如圖所示,輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上,另一端固定一個(gè)小球,小球隨桿在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),下列說法正確的是()[A]小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的作用力大于小球重力[B]小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的作用力方向一定向上[C]小球能通過最高點(diǎn)的最小速度為gl[D]小球運(yùn)動(dòng)到水平位置A時(shí),所受合力一定指向O點(diǎn)【答案】A【解析】小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)根據(jù)牛頓第二定律,有F彈-mg=mv2l,在最低點(diǎn)速度不為0,所以桿對(duì)球的作用力大于小球重力,A正確;小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),若桿對(duì)球無作用力,同理有mg=mv2l,可得v=gl,若小球的速度大于gl,則桿對(duì)球有向下的拉力,若小球的速度小于gl,則桿對(duì)球有向上的支持力,小球能通過最高點(diǎn)的最小速度為0,故B、C錯(cuò)誤;若小球做變速圓周運(yùn)動(dòng),小球所受合力不指向圓心考點(diǎn)三斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題物體在傾斜面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)斜面的傾角為θ,重力垂直于斜面的分力與物體受到的支持力大小相等,平行于斜面的分力與靜摩擦力的合力提供向心力。同理可知,在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,物體最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn),恰好滑動(dòng)時(shí),有μmgcosθ-mgsinθ=mω2R。[例5]【斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題】(多選)如圖所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止,物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為32,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,盤面與水平面的夾角為30°,g取10m/s2,則下列說法正確的是([A]小物體隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),可能不受摩擦力作用[B]小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),ω越大,小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力一定越大[C]小物體受到的摩擦力可能背離圓心[D]ω的最大值是1.0rad/s【答案】CD【解析】當(dāng)小物體經(jīng)過軌道最高點(diǎn)時(shí),若只受重力與支持力兩個(gè)力的作用,則有mgsinθ=mω′2r,此角速度下經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)有Ff′-mgsinθ=mω′2r,解得Ff′=mg>Ffmax=μmgcosθ,可知小物體在最高點(diǎn)一定受摩擦力作用,且方向背離圓心向上,故A錯(cuò)誤,C正確;小物體經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí),滿足mgsinθ-Ff=mω2r,則Ff=mgsinθ-mω2r,可知ω越大,小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力越小,故B錯(cuò)誤;當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點(diǎn)恰好不滑動(dòng)時(shí),圓盤的角速度最大,此時(shí)有μmgcos30°-mgsin30°=mωmax2R,解得ωmax=1.0rad/s,故(滿分:60分)對(duì)點(diǎn)1.水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題1.(4分)(2024·江蘇卷,8)生產(chǎn)陶瓷的工作臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng),臺(tái)面上掉有陶屑,陶屑與臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同(臺(tái)面夠大),則()[A]越靠近臺(tái)面邊緣的陶屑質(zhì)量越大[B]越靠近臺(tái)面邊緣的陶屑質(zhì)量越小[C]陶屑只能分布在圓臺(tái)邊緣[D]陶屑只能分布在某一半徑的圓內(nèi)【答案】D【解析】同一工作臺(tái)角速度相同,恰好滑動(dòng)時(shí)最大靜摩擦力完全提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律有μmg=mω2r,解得恰好不滑動(dòng)時(shí)的半徑為r=μgω2,與質(zhì)量無關(guān),以此半徑畫圓,處于此圓以外的陶屑會(huì)被甩出去,D正確,A、B、2.(6分)(2024·甘肅蘭州模擬)(多選)如圖所示,質(zhì)量為m的小物塊開始靜止在一半徑為R的球殼內(nèi),它和球心O的連線與豎直方向的夾角為θ=37°,現(xiàn)讓球殼隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸OO′一起轉(zhuǎn)動(dòng),小物塊在球殼內(nèi)始終未滑動(dòng),重力加速度為g,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,下列說法正確的是()[A]小物塊靜止時(shí)受到的摩擦力大小為35[B]若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為5g3[C]若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為gR,[D]若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為3g2【答案】AD【解析】靜止時(shí),對(duì)小物塊受力分析,根據(jù)平衡條件有Ff=mgsinθ=35mg,故A正確;球殼隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸OO′一起轉(zhuǎn)動(dòng),小物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)小物塊所受摩擦力為0時(shí)的角速度為ω0,對(duì)小物塊進(jìn)行受力分析,則有mgtanθ=mω02Rsinθ,解得ω0=5g4R,故B錯(cuò)誤;因ω0>gR時(shí),小物塊有沿球殼向下運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì),受到沿球面向上的摩擦力,故C錯(cuò)誤;因ω0<3g3.(10分)(2024·山西太原模擬)如圖所示,AB為豎直放置的光滑圓筒,一根長細(xì)繩穿過圓筒后一端連著質(zhì)量m1=5kg的小球P,另一端和細(xì)繩BC(懸點(diǎn)為B)在結(jié)點(diǎn)C處共同連著質(zhì)量為m2的小球Q,長細(xì)繩能承受的最大拉力為60N,細(xì)繩BC能承受的最大拉力為27.6N。轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒使BC繩被水平拉直,小球Q在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),小球P處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)圓筒頂端A點(diǎn)到C點(diǎn)的距離l1=1.5m,細(xì)繩BC的長度l2=0.9m,重力加速度g取10m/s2,兩繩均不可伸長,小球P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)。(1)當(dāng)角速度ω多大時(shí),BC繩剛好被拉直(結(jié)果可用根號(hào)表示)?(2)當(dāng)角速度ω多大時(shí),BC繩剛好被拉斷?【答案】(1)533rad/s(2)4【解析】(1)BC繩剛好被拉直時(shí),可知AC繩與豎直方向夾角的正弦值sinθ=35對(duì)小球Q受力分析,由牛頓第二定律有m2gtanθ=m2ω12l解得ω1=533(2)對(duì)小球Q受力分析,豎直方向有m1gcosθ=m2g,解得m2=4kg,當(dāng)BC剛被拉斷時(shí)有m1gsinθ+FTBC=m2ω22l解得ω2=4rad/s。對(duì)點(diǎn)2.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題4.(4分)(2024·安徽二模)某同學(xué)在轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的鉛筆的過程中,發(fā)現(xiàn)在水平面內(nèi)繞筆中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度超過20rad/s時(shí),位于鉛筆一端的橡皮將滑出,已知他使用的鉛筆長20cm,假設(shè)橡皮受到的最大靜摩擦力為定值,且橡皮的大小可忽略,g取10m/s2,則要保證橡皮擦不滑出,這支鉛筆在豎直面內(nèi)繞其中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的最大值為()[A]102rad/s [B]103rad/s[C]20rad/s [D]105rad/s【答案】B【解析】在水平面內(nèi)繞筆中心轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,設(shè)最大靜摩擦力為Ff,則有Ff=mω12·L2,在豎直面內(nèi)繞其中心轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,若要保證橡皮擦不滑出,在最低點(diǎn)由摩擦力與重力的合力提供向心力,則有Ff-mg=mω22·L2,解得ω2=105.(4分)如圖甲所示,輕桿的一端固定一小球(視為質(zhì)點(diǎn)),另一端套在光滑的水平軸O上,O軸的正上方有一速度傳感器,可以測量小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v;O軸處有力傳感器,可以測量小球通過最高點(diǎn)時(shí)O軸受到桿的作用力F,若豎直向下為力的正方向,使小球在最低點(diǎn)時(shí)具有不同的初速度,得到F-v2圖像如圖乙所示,g取10m/s2,則()[A]O軸到球心間的距離為0.5m[B]小球的質(zhì)量為3kg[C]小球恰好通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為5m/s[D]小球在最高點(diǎn)的速度大小為15m/s時(shí)桿受到球的作用力豎直向下【答案】A【解析】小球通過最高點(diǎn)時(shí),O軸受到桿的作用力F與小球受到桿的作用力F′等大反向,即F=-F′,小球過最高點(diǎn)時(shí),根據(jù)牛頓第二定律有mg+F′=mv2R,得F′=mRv2-mg,則F=-mRv2+mg,則題圖乙中圖像的斜率為-mR=-35kg/m,當(dāng)v2=0時(shí),F=mg=3N,聯(lián)立解得m=0.3kg,R=0.5m,故A正確,B錯(cuò)誤;當(dāng)小球通過最高點(diǎn)的速度為零時(shí),小球恰好通過最高點(diǎn),故C錯(cuò)誤;當(dāng)小球通過最高點(diǎn)的速度大小為15m/s時(shí),根據(jù)牛頓第二定律有mg+F′=mv2R,可得F′=6N,方向豎直向下6.(4分)(2024·河南開封模擬)太極球是一種流行的健身器材。如圖所示,將球拍和太極球簡化成平板和小球,健身者用平板托著質(zhì)量m=0.5kg的小球,使球與平板保持相對(duì)靜止、在豎直平面內(nèi)做半徑R=0.2m的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。A為圓周的最高點(diǎn),C為最低點(diǎn),B、D與圓心O等高。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度v=2m/s,平板與水平方向的夾角θ=37°。重力加速度g取10m/s2,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,不計(jì)空氣阻力。關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)及受力的分析正確的是()[A]在A點(diǎn),平板對(duì)小球沒有作用力[B]在B點(diǎn),平板對(duì)小球的摩擦力大小為5N[C]在B點(diǎn),平板對(duì)小球的摩擦力沿板向上[D]在C點(diǎn),平板對(duì)小球有摩擦力作用【答案】B【解析】由于小球隨平板一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng),在A點(diǎn),有mg+FNA=mv2R,解得FNA=5N,故A錯(cuò)誤;在B點(diǎn),若小球僅受支持力和重力,有Fn=mgtanθ=mv'2R,解得v′<2受力分析如圖所示,水平方向有FNBsinθ+FfBcosθ=mv2R,豎直方向有FNBcosθ=FfBsinθ+mg,聯(lián)立解得FNB=10N,FfB=5N,故B正確,C錯(cuò)誤;小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),合力時(shí)刻指向圓心,所以在C點(diǎn)小球的合力方向豎直向上,小球只受重力和向上的支持力,平板對(duì)小球沒有摩擦力作用,故對(duì)點(diǎn)3.斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題7.(4分)(2024·廣西桂林模擬)如圖所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動(dòng),盤面上有一質(zhì)量為m的小物體與圓盤始終保持相對(duì)靜止,盤面與水平面的夾角為30°,重力加速度大小為g,已知物體在最高點(diǎn)受到的摩擦力的大小為14mg,則物體在最低點(diǎn)受到的摩擦力為([A]32mg [B]3[C]2mg [D]54【答案】D【解析】當(dāng)物體在最高點(diǎn)受到的摩擦力方向沿半徑方向背離圓心時(shí),對(duì)物體有mgsin30°-Ff1=mω2R,此種情況下,物體在最低點(diǎn)時(shí),對(duì)物體有Ff2-mgsin30°=mω2R,解得Ff2=34mg;當(dāng)物體在最高點(diǎn)受到的摩擦力方向沿半徑方向指向圓心時(shí),對(duì)物體有mgsin30°+Ff1mω′2R,此種情況下,物體在最低點(diǎn)時(shí),對(duì)物體有Ff2′-mgsin30°=mω′2R,解得Ff2′=54mg,D正確。8.(4分)如圖所示,一傾斜的圓筒繞固定軸OO1以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),圓筒的半徑r=1.5m。筒壁內(nèi)有一小物體與圓筒始終保持相對(duì)靜止,小物體與圓筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為32(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力),轉(zhuǎn)動(dòng)軸與水平面間的夾角為60°,重力加速度g取10m/s2,則ω的最小值是([A]1rad/s [B]303[C]10rad/s [D]5rad/s【答案】C【解析】對(duì)小物體受力分析如圖所示,由牛頓第二定律有mgcos60°+FN=mω2r,Ff=mgsin60°≤μFN,解得ω≥10rad/s,故C正確。9.(4分)(2024·河南鄭州模擬)如圖所示,豎直平面內(nèi)的光滑金屬細(xì)圓環(huán)半徑為R,質(zhì)量為m的帶孔小球穿于環(huán)上,一長為R的輕桿一端固定于球上,另一端通過光滑的鉸鏈連接于圓環(huán)最低點(diǎn),重力加速度為g。當(dāng)圓環(huán)以角速度ω=6gR繞豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),輕桿對(duì)小球的作用力大小和方向?yàn)?[A]2mg,沿桿向上 [B]2mg,沿桿向下[C](23-1)mg,沿桿向上 [D](23-1)mg,沿桿向下【答案】B【解析】設(shè)輕桿與