第3講自由落體運動和豎直上拋運動多過程問題情境導(dǎo)思現(xiàn)代園林中,除了植物景觀外,噴泉也是重要的景觀,它既是一種水景藝術(shù),體現(xiàn)了動靜結(jié)合,形成明朗活潑的氣氛,給人以美的享受;同時,噴泉還可以增加空氣中的負離子含量,起到凈化空氣、增加空氣濕度、降低環(huán)境溫度等作用,因此深受人們的喜愛。若你的手中有一把卷尺和一把直尺,(1)你能否借助太陽光測出噴泉的噴水高度H?(2)若已測出噴泉的高度,你能否估算噴泉從噴口向上噴出時的初速度?(3)若要估算噴泉每秒鐘的噴水質(zhì)量,你認為應(yīng)該測出哪些量?體育課上同學(xué)們在練習(xí)排球,某同學(xué)將排球豎直向上墊起后,經(jīng)1.2s排球又回到原出發(fā)點,則排球被墊起后上升的最大高度約為()[A]1.0m [B]1.2m[C]1.5m [D]1.8m【答案】D【答案】重力靜止gt12gt22gx向上重力v0-v0t-12gt2-2考點一自由落體運動運動規(guī)律(1)初速度為0的勻變速直線運動規(guī)律都適用。①從開始下落,連續(xù)相等時間內(nèi)下落的高度之比為1∶3∶5∶7∶…。②由Δv=gΔt知,相等時間內(nèi),速度變化量相同。③連續(xù)相等時間T內(nèi)下落的高度之差Δh=gT2。(2)物體由靜止開始的自由下落過程才是自由落體運動,而其中的一段運動過程不是自由落體運動,應(yīng)該是初速度不為零、加速度為g的勻變速直線運動,適用于一般的勻變速直線運動的規(guī)律。[例1]【單物體的自由落體運動】(2024·廣東學(xué)業(yè)考試)某同學(xué)在橋面上釋放一小石子,釋放點距水面的高度為27m,石子下落過程視為自由落體運動,下落的總時間為3t,則石子下落的最后一個t時間內(nèi)下落的高度是()[A]10m [B]15m[C]18m [D]20m【答案】B【解析】自由落體運動是初速度為零的勻加速直線運動,根據(jù)推論可知,第一個t內(nèi)、第二個t內(nèi)、第三個t內(nèi)位移之比為x1∶x2∶x3=1∶3∶5,而總位移為h=27m,且x1+x2+x3=h,聯(lián)立解得x3=15m,選項B正確。[變式](1)石子釋放2s時的速度大小為多少?(2)石子下落一半高度時的速度又是多少?【答案】(1)20m/s(2)330m/s【解析】(1)石子下落過程中,根據(jù)h=12gt2得t=2hg=2×2710s則石子下落2s時還未落地,故2s時的速度大小v2=gt2=10×2m/s=20m/s。(2)石子下落一半高度時有v2=2g·h2解得v=330m/s。[例2]【多物體的自由落體運動】(2024·山東濟寧期中)有一串珠子(珠子可視為質(zhì)點),穿在一根長1.8m的細線上,細線的首尾各固定1個珠子,中間還有5個珠子。從最下面的珠子算起,相鄰兩個珠子之間的距離依次為5cm、15cm、25cm、35cm、45cm、55cm,如圖所示,某人向上提起細線的上端,讓細線自由垂下,且第1個珠子緊貼水平地面。松手后開始計時,若不計空氣阻力,g取10m/s2,假設(shè)珠子落到地面上不再反彈,關(guān)于第2、3、4、5、6、7個珠子的下落過程,下列說法正確的是()[A]相鄰兩個珠子落地的時間間隔為1s[B]第5個珠子落地時,第6個珠子的速率為4m/s[C]第6個珠子落地前,它與第7個珠子之間的距離越來越小[D]第4個珠子落地時,第5個、第6個、第7個珠子的離地高度之比為7∶9∶11【答案】B【解析】由題知相鄰兩個珠子之間的距離之差均為10cm,由于勻變速直線運動中,在連續(xù)相等時間內(nèi)位移之差為定值,所以相鄰珠子落到桌面上的時間間隔相等。根據(jù)Δx=gT2,解得T=0.1s,故A錯誤;第5個珠子落地時,下落的距離為0.8m,則第6個珠子的速率為v=2gh=2×10×0.8m/s=4m/s,故B正確;第6個珠子落地前,它與第7個珠子的速度始終相等,則兩珠子之間的距離不變,故C錯誤;第4個珠子落地之前,第5個、第6個、第7個珠子之間的距離保持不變,則離地高度之比為35∶80∶135=[例3]【非質(zhì)點物體的自由落體運動】(2024·安徽合肥階段檢測)如圖所示,細棒長為d,上端固定在某一點,由靜止釋放后,細棒自由下落,始終保持豎直狀態(tài),并沿固定圓筒AB的軸線通過圓筒。已知圓筒的長為L,整根細棒通過圓筒上端A所用的時間為t1,通過圓筒下端B所用的時間為t2,不計空氣阻力,重力加速度為g,求:(1)整根細棒通過圓筒上端A的平均速度v1(2)細棒下端離圓筒上端A的高度差h?！敬鸢浮?1)dt1【解析】(1)根據(jù)平均速度的定義式v=ΔxΔ整根細棒通過圓筒上端A的平均速度v1=d(2)由于勻變速直線運動中平均速度等于中間時刻的速度,則細棒下端到達圓筒上端A的瞬時速率v=v1-gt12,細棒下端離圓筒上端A的高度差h滿足v2-0=解得h=12g(dt1-考點二豎直上拋運動1.重要特性(1)對稱性。(2)多解性:當(dāng)物體經(jīng)過拋出點上方某個位置時,可能處于上升階段,也可能處于下降階段;物體通過與拋出點某距離處時,該點可能在拋出點上方,也可能在拋出點下方,因而形成多解。2.研究方法分段法上升階段為初速度為v0、加速度a=g的勻減速直線運動;下降階段為自由落體運動。兩個階段分別適用不同初始條件的勻變速直線運動規(guī)律全程法整個過程物體做初速度v0向上、加速度a=g的勻變速直線運動,適用勻變速直線運動的規(guī)律。以豎直向上為正方向,則v0>0,g<0,當(dāng)v>0時物體上升,當(dāng)v<0時物體下落;物體在拋出點上方時位移h>0,物體在拋出點下方時h<0[例4]【豎直上拋運動規(guī)律的應(yīng)用】(2024·山東聯(lián)考)(多選)某同學(xué)在一個高于地面25m的平臺邊緣將一彩球以速度v0=20m/s豎直向上拋出,拋出點為A,不計空氣阻力,g取10m/s2,則拋出后彩球與拋出點A的距離為10m時,彩球運動的時間可能為()[A](2-2)s [B](2+2)s[C](2+6)s [D]6s【答案】ABC【解析】方法一分段法彩球上升過程中,根據(jù)v2-v02=2ax出點的最大位移H=v022g,解得H=20m;設(shè)彩球上升10m時速度為v1,則有v12-v02=-2gh,解得v1=102m/s,則t1=v0-v1g=(2-2)s,故A正確;彩球從最高點下落至A點上方10m時,根據(jù)x=12gt2有H-h=12gt2′2,解得t2′=2s,則另一可能時間t2=(2+2)s,故B正確;彩球從最高點到下落至A點下方10m處時,有H+h=12gt3′2,解得t3′=6s,故彩球從拋出到下落至A點下方10m處的時間t3=方法二全程法取豎直向上為正方向,彩球的位移為x=v0t-12gt2,其中當(dāng)彩球位于A點上方10m處時x=10m,解得t1=(2-2)s,t2=(2+2)s,故A、B正確;當(dāng)彩球位于A點下方10m處時x=-10m,解得t3=(2+6)s,另一解為負值舍去,故C正確,D[例5]【自由落體運動與豎直上拋運動的綜合】現(xiàn)有兩小球A、B,將小球A從距離水平面高度為h處由靜止釋放,同時將小球B從水平面以2v0的初速度豎直向上拋出。當(dāng)小球A和B相遇后,設(shè)小球B還需經(jīng)過時間t才能返回到水平面。不計空氣阻力,重力加速度為g。則t為()[A]h2v0 [B][C]2v0g-h2v0 [【答案】B【解析】設(shè)經(jīng)過時間t0兩小球相遇,相遇點距地面高度為h0,對小球A有h-h0=12gt02,對小球B有h0=2v0t0-12gt02,兩式相加得h=2v0t0,解得t0=h2v0;設(shè)小球B運動的總時間為t總,則有0=2v0t總-12gt總2,解得t總=4v0g,所以考點三勻變速直線運動中的多過程問題勻變速直線運動多過程問題的解題策略(1)一般的解題步驟。①準(zhǔn)確選取研究對象,根據(jù)題意畫出物體在各階段運動的示意圖,直觀呈現(xiàn)物體運動的全過程。②明確物體在各階段的運動性質(zhì),找出題目給定的已知量、待求未知量,設(shè)出中間量,確定過程銜接點的物理量。③合理選擇運動學(xué)公式,列出物體在各階段的運動方程及物體各階段間的關(guān)聯(lián)方程。(2)解題關(guān)鍵。多運動過程的連接點的速度是聯(lián)系兩個運動過程的紐帶,因此,對連接點速度的求解往往是解題的關(guān)鍵。[例6]【單方向多過程勻變速直線運動的綜合問題】(2024·廣東佛山期末)2023年9月21日,中國航天員首次在夢天實驗艙內(nèi)進行授課,為廣大青少年帶來一場精彩的太空科普課。在奇妙“乒乓球”實驗中,神舟十六號航天員用“特制”乒乓球拍將靜止的水球拍出,若將該直線運動過程看成水球先做勻加速運動后勻速運動,其中加速時間t1=1s,加速位移為x1=0.1m,勻速階段用時t2=3s,求:(1)水球勻速運動時的速度v的大小;(2)加速過程中加速度的大小;(3)全過程的總位移大小?！敬鸢浮?1)0.2m/s(2)0.2m/s2(3)0.7m【解析】(1)水球在加速階段有x1=v2t1代入數(shù)據(jù)解得t1=1s末的速度為v=0.2m/s,

之后水球做勻速直線運動,速度大小為0.2m/s。

(2)根據(jù)勻加速直線運動規(guī)律有v2=2ax1,代入數(shù)據(jù)解得a=0.2m/s2。

(3)勻速階段用時t2=3s,位移大小為x2=vt2=0.6m,

水球運動全過程的總位移大小為x=x1+x2=0.7m。

[例7]【多方向多過程勻變速直線運動的綜合問題】(2024·江蘇南京一模)如圖所示,物體從斜面上的A點由靜止開始下滑,經(jīng)B點進入水平面(經(jīng)過B點前后速度大小不變),最后停在C點。每隔0.1s測量物體的瞬時速度,下表給出了部分測量數(shù)據(jù)。則物體通過B點時的速度為()t/s00.10.2…0.80.91.0…v/(m·s-1)00.51.0…1.61.51.4…[A]2.0m/s [B]1.8m/s[C]1.7m/s [D]1.5m/s【答案】A【解析】物體勻加速階段的加速度大小為a1=1.0-0.50.2-0.1m/s2=5m/s2,勻減速階段的加速度大小為a2=1.5-1.41.0-0.9m/s2=1m/s2,設(shè)勻加速運動的時間為t,在勻減速階段根據(jù)v=v0+at,有1.4=a1t-a2(1.0-t),(滿分:60分)對點1.自由落體運動1.(4分)(2024·河南鄭州模擬)某興趣小組用頻閃攝影的方法研究自由落體運動,實驗中把一高中物理書豎直放置,將一小鋼球從與書上邊沿等高處靜止釋放,整個下落過程的頻閃照片如圖所示,已知物理書的長度為l,重力加速度為g,忽略空氣阻力,該頻閃攝影的閃光頻率為()[A]g2l [B][C]25g2l [D【答案】C【解析】設(shè)頻閃攝影的閃光頻率為f,由于小鋼球下落過程經(jīng)過5段間隔,其運動時間為t=5f,下落位移為l,則有l(wèi)=12gt2,解得f=25g22.(4分)如圖所示,一個小孩在公園里玩“眼疾手快”游戲。游戲者需接住從支架頂部隨機落下的圓棒。已知支架頂部距離地面2.3m,圓棒長0.4m,小孩站在支架旁邊,手能觸及所有圓棒的下落軌跡的某一段范圍AB,上邊界A距離地面1.1m,下邊界B距離地面0.5m。不計空氣阻力,重力加速度g取10m/s2。則圓棒下端落到A點和通過AB范圍所用的時間分別為()[A]0.4s0.4s [B]0.4s0.2s[C]0.2s0.4s [D]0.2s0.6s【答案】B【解析】圓棒下端距離A點的高度h1=2.3m-0.4m-1.1m=0.8m,圓棒做自由落體運動下落到A點,有h1=12gt12,代入數(shù)據(jù)解得t1=0.4s。圓棒通過AB范圍即為圓棒下端到達A點和圓棒上端到達B點的過程,圓棒上端到達B點,下落的高度為h2=2.3m-0.5m=1.8m,由h2=12gt22得t2=2h2g=0.6s,則圓棒通過AB范圍的時間t3=t2-3.(6分)(2024·陜西西安階段檢測)(多選)一礦井深125m,在井口每隔一定時間由靜止釋放一個小球,當(dāng)?shù)?個小球剛從井口下落時,第1個小球恰好到井底,重力加速度g取10m/s2,不計空氣阻力,則下列說法正確的是()[A]釋放相鄰兩個小球的時間間隔為0.5s[B]小球從井口落到井底所用的時間為5s[C]第1個小球恰好落到井底時,第5個小球的速度大小為5m/s[D]第1個小球恰好落到井底時,第3個小球和第4個小球之間的距離為25m【答案】BD【解析】設(shè)小球從井口落到井底所用的時間為t,則H=12gt2,解得t=5s,則釋放相鄰兩個小球的時間間隔為Δt=t5=1s,故A錯誤,B正確;第1個小球恰好落到井底時,第5個小球運動時間為1s,則速度大小為v=gΔt=10m/s,故C錯誤;第1個小球恰好落到井底時,第3個小球和第4個小球下落時間分別為3s、2s,它們之間的距離為h34=12g(3Δt)2-12g(2Δt)2=25對點2.豎直上拋運動4.(4分)(2023·廣東卷,3)銫原子噴泉鐘是定標(biāo)“秒”的裝置。在噴泉鐘的真空系統(tǒng)中,可視為質(zhì)點的銫原子團在激光的推動下,獲得一定的初速度。隨后激光關(guān)閉,銫原子團僅在重力的作用下做豎直上拋運動,到達最高點后再做一段自由落體運動。取豎直向上為正方向。下列可能表示激光關(guān)閉后銫原子團速度v或加速度a隨時間t變化的圖像是()[A][B][C][D]【答案】D【解析】銫原子團僅受重力的作用,加速度為g,方向豎直向下,大小恒定,在v-t圖像中,斜率表示加速度,故斜率不變,圖像應(yīng)該是一條傾斜的直線,故A、B錯誤;因為加速度恒定,且方向豎直向下,為負值,故C錯誤,D正確。5.(8分)(2025·湖南長沙期中)用彈弓將彈丸豎直向上射出,若某次射出的彈丸(可視為質(zhì)點)做豎直上拋運動,經(jīng)過3s彈丸到達最高點,不計空氣阻力,重力加速度g取10m/s2,求:(1)彈丸射出后第1s內(nèi)上升的高度;(2)彈丸通過前5m所用的時間(計算結(jié)果保留根式)?！敬鸢浮?1)25m(2)(3-22)s【解析】(1)經(jīng)過3s彈丸到達最高點,由其逆過程可知彈丸的初速度為v0=gt=30m/s,根據(jù)位移與時間的關(guān)系式,第1s內(nèi)上升的高度為h1=v0t1-12gt12=(30×1-12×10×12)m=(2)設(shè)彈丸通過前5m的時間為t2,則有h2=v0t2-12gt解得t2=(3-22)s或t2′=(3+22)s(舍去)。對點3.勻變速直線運動中的多過程問題6.(4分)(2024·貴州貴陽二模)某汽車沿直線停車過程中,其v-t圖像如圖所示。已知該汽車所有減速過程的加速度均相等,中間有一段時間勻速運動,圖示整個過程中該汽車行駛了450m。則該汽車勻速運動的時間為()[A]8s [B]10s[C]12s [D]16.5s【答案】B【解析】由于v-t圖像斜率的絕對值表示加速度大小,可知該汽車減速過程的加速度大小為a=20-530m/s2=0.5m/s2,兩次減速過程的總位移為x1=v122a=2022×0.5m=400m,則汽車勻速運動的時間7.(10分)在游樂園和主題樂園中有一種大型游樂設(shè)施——跳樓機,這種設(shè)施可將乘客載至高空,然后幾乎以重力加速度豎直向下跌落。跳樓機在某次工作時,將游客送到塔頂后讓其做自由落體運動,當(dāng)其下落的高度為跳樓機下降總高度的34時,跳樓機開始做勻減速運動,到達地面時跳樓機的速度剛好減為零。已知整個過程跳樓機運動的總時間為t=11.2s,重力加速度g取9.8m/s2。求(1)跳樓機做減速運動的加速度;(2)跳樓機做減速運動的時間以及跳樓機下降的總高度。(總高度保留3位有效數(shù)字)【答案】(1)29.4m/s2,方向豎直向上(2)2.8s461m【解析】(1)設(shè)跳樓機自由下落的時間為t1,減速的時間為t2,自由下落的位移為h1,減速運動的位移為h2,減速的加速度大小為a,最大速度為v。根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律,跳樓機做自由落體運動時有v2=2gh1,做勻減速運動時有0-v2=-2ah2,而h1=3h2,解得a=3g=29.4m/s2,方向豎直向上。(2)跳樓機在自由落體運動過程有v=gt1,減速運動過程有0=v-at2,整理得t1t2又t1+t2=11.2s,解得t1=8.4s,t2=2.8s,則h1=12gt12≈345.h2=13h1≈115.2可知跳樓機下降的總高度為h=h1+h2≈461m。8.(6分)(2024·黑龍江大慶期末)(多選)在地面上方距地面高H處,將物體a以速度v0豎直上拋,同時在同一位置物體b自由下落。分別用Δh和Δv表示在同一時刻物體a、b的高度差和速度差的絕對值,不考慮空氣阻力的影響,下列說法正確的是([A]兩個物體都在空中時,Δh不斷增大,Δv[B]兩個物體都在空中時,Δh先增大后減小,Δv[C]兩物體落地時間差Δt只與v0有關(guān),與H無關(guān)[D]兩物體落地時間差Δt與v0和H都有關(guān)【答案】AD【解析】在t時刻物體a的速度為va=v0-gt,物體b的速度為vb=gt,故a、b的速度差的絕對值為Δv=v