第二章

函數(shù)2.4.1函數(shù)的奇偶性北師大版

必修第一冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；2.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；3.學(xué)會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性．在平面直角坐標(biāo)系中，利用描點(diǎn)法作出函數(shù)和的圖象并觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，總結(jié)出它們的共同特征xyo12345-1123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149x…-3-2-10123…f(x)=2-|x|……-101210-1xyo12345-1123-1-2-3圖象關(guān)于

y軸對稱f(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)===-xx(x,f(x))(-x,f(-x))f(-x)f(x)=任意一點(diǎn)例題鞏固奇函數(shù)偶函數(shù)奇偶函數(shù)的特點(diǎn)[1]

具有奇偶性的函數(shù)的定義域具有對稱性，即關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱，就不具有奇偶性．因此定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)存在奇偶性的一個(gè)必要條件.[2]具有奇偶性的函數(shù)的圖象具有對稱性．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么，這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，那么，這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．奇偶函數(shù)的特點(diǎn)例題鞏固例題鞏固例題鞏固例題鞏固判斷函數(shù)奇偶性的步驟判斷函數(shù)奇偶性的步驟函數(shù)圖象的對稱性研究函數(shù)的奇偶性的實(shí)質(zhì)就是研究函數(shù)圖象的對稱性，只不過它是一種特殊的對稱性，是關(guān)于特殊點(diǎn)(原點(diǎn))及特殊直線(y軸)對稱的問題.那么我們能否把這種對稱性加以推廣呢？軸對稱的定義p(x，y)是函數(shù)

y＝f(x)上的點(diǎn)，x＝a為對稱軸，則

p點(diǎn)關(guān)于

x＝a的對稱點(diǎn)

p′(x′，y′)也在

f(x)上.理解本質(zhì)：p和p′的連線的橫坐標(biāo)x的中點(diǎn)為a，縱坐標(biāo)y相等.中心對稱的定義p(x，y)是函數(shù)

y＝f(x)上的點(diǎn)，A(a，b)為對稱點(diǎn)，則

p點(diǎn)關(guān)于

A點(diǎn)的對稱點(diǎn)

p′(x′，y′)也在

f(x)上.理解本質(zhì)：p和

p′的連線的橫坐標(biāo)

x的中點(diǎn)為a，縱坐標(biāo)

y中點(diǎn)為

b.函數(shù)圖象的對稱性

軸對稱跟偶函數(shù)關(guān)系：若令a＝0，則x＝0為對稱軸，f(x)＝f(－x)，符合偶函數(shù)定義由于

p′(x′，y′)也在

f(x)上，代入得

f(x′)＝f(2a－x)＝y(tǒng)′，而

y′＝y(tǒng)＝f(x)，所以

f(2a－x)＝f(x)，證得②.再加

x＋a替換

x得：f(2a－(x＋a))＝f(a－x)＝f(a＋x)，證得①.函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱函數(shù)

y＝f(x)在定義域內(nèi)恒滿足的條件函數(shù)

y＝f(x)的圖象的對稱軸f(a＋x)＝f(a－x)直線

x＝af(x)＝f(a－x)f(a＋x)＝f(b－x)函數(shù)圖象的對稱性

由于

p′(x′，y′)也在

f(x)上，代入得

f(x′)＝f(2a－x)＝y(tǒng)′，y′＝2b－y＝2b－f(x)，整理得到

f(2a－x)＋f(x)＝2b，證得②.再加

x＋a替換

x得：f(2a－(x＋a))＋f(a＋x)＝2b，證得①.中心對稱跟奇函數(shù)關(guān)系：若令

a＝0，b＝0，則點(diǎn)

A(0，0)為對稱點(diǎn)，f

(－x)＋f(x)＝0，f(x)＝－f

(－x)，符合奇函數(shù)定義函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱函數(shù)

y＝f(x)在定義域內(nèi)恒滿足的條件函數(shù)

y＝f(x)的圖象的對稱中心f(a＋x)＋f(a－x)＝2b點(diǎn)(a，b)f(x)