九七年高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.不等式|2x-1|<3的解集是（）

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,1)

D.(-2,2)

3.拋物線y=x^2-4x+3的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,0)

B.(2,-1)

C.(2,0)

D.(1,-1)

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.65°

C.70°

D.80°

5.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，則向量a+b的模長(zhǎng)是（）

A.√5

B.√10

C.√15

D.√20

6.函數(shù)f(x)=log_a(x)在x>1時(shí)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

7.已知直線l1:y=kx+1與直線l2:y=x-1垂直，則k的值是（）

A.-1

B.1

C.-2

D.2

8.設(shè)集合A={x|x^2-x-6>0}，集合B={x|2<x<4}，則A∩B是（）

A.(-∞,-2)∪(3,+∞)

B.(-2,3)

C.(2,4)

D.(-2,-1)∪(3,4)

9.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，q=2，則S4的值是（）

A.15

B.31

C.63

D.127

10.已知圓O的方程為x^2+y^2=9，則過(guò)點(diǎn)P(1,2)的圓的切線方程是（）

A.x+2y=5

B.2x+y=4

C.x-2y=-3

D.2x-y=0

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=3^x

D.y=log_1/2(x)

2.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則（）

A.△ABC是直角三角形

B.角A是銳角

C.角B是鈍角

D.角C是銳角

3.下列不等式成立的有（）

A.(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)

B.log_3(9)>log_3(8)

C.sin(π/6)<sin(π/3)

D.arctan(1)>arctan(0)

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則（）

A.f(x)在x=1處取得極大值

B.f(x)在x=-1處取得極小值

C.f(x)的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)

D.f(x)的圖像與y軸的交點(diǎn)是(0,2)

5.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若a>b，則a^3>b^3

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>b，則|a|>|b|

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)f(x)=tan(x)-sin(x)在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)的值域是________。

2.已知直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行，則a的值是________。

3.在等差數(shù)列{an}中，若a1=5，d=-2，則a10的值是________。

4.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則圓心C的坐標(biāo)是________。

5.不等式|3x-2|>5的解集是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.求極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)。

2.解方程sin(2x)=cos(x)，其中0≤x<2π。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2+1)/(x^3+3x)dx。

4.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊c=√2，求邊a的長(zhǎng)度。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，其最小正周期為2π。

2.C

解析：由|2x-1|<3得-3<2x-1<3，解得-1<x<2。

3.C

解析：拋物線y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。

4.A

解析：由角A+角B+角C=180°得角C=180°-60°-45°=75°。

5.C

解析：向量a+b=(1+3,2-1)=(4,1)，其模長(zhǎng)為√(4^2+1^2)=√17。

6.A

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x)在x>1時(shí)單調(diào)遞減，則0<a<1。

7.A

解析：由k*1=-1得k=-1。

8.C

解析：集合A={x|x<-2或x>3}，A∩B={x|2<x<4}。

9.B

解析：S4=a1(1-q^4)/(1-q)=1*(1-2^4)/(1-2)=31。

10.A

解析：圓心(0,0)，半徑3。過(guò)點(diǎn)P(1,2)的切線方程為x+2y-5=0。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C

解析：y=2x+1是正比例函數(shù)，單調(diào)遞增；y=3^x是指數(shù)函數(shù)，單調(diào)遞增。

2.A,B,D

解析：由a^2+b^2=c^2得△ABC是直角三角形。角A=arccos(3/5)是銳角，角B=arccos(4/5)是銳角，角C=arccos(0)是直角。

3.A,B,C

解析：(1/2)^(-3)=8>4=(1/2)^(-2)；log_3(9)=2>log_3(8)≈1.893；sin(π/6)=1/2<1/2=sin(π/3)。arctan(1)=π/4>π/4=arctan(0)不成立。

4.A,B,C,D

解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0。f(0)=2，f(2)=-2。f(x)在x=0處取極大值2，在x=2處取極小值-2。f(x)=0即x^3-3x^2+2=0，因式分解得(x-1)^2(x+1)=0，有三個(gè)實(shí)根。圖像與y軸交點(diǎn)是(0,2)。

5.B,C

解析：若a>b>0，則a^2>b^2。若a>b>0，則a^3>b^3。若a>b>0，則1/a<1/b。若a>b，則|a|≥|b|，不一定成立，如a=3,b=-4時(shí)|a|=3<4=|b|。

三、填空題答案及解析

1.(-∞,√2)

解析：在(0,π/2)內(nèi)，sin(x)∈(0,1)，tan(x)∈(0,+∞)。tan(x)-sin(x)=sin(x)(1/cos(x)-1)=sin(x)(1-cos(x))/cos(x)<0。且tan(x)-sin(x)=sin(x)/cos(x)-sin(x)=sin(x)(1/cos(x)-1)=(1-cos^2(x))/cos(x)=(1-cos(x))(1+cos(x))/cos(x)。令g(x)=(1-cos(x))(1+cos(x))/cos(x)，g'(x)=(2sin(x)cos(x)+(1-cos^2(x))(-sin(x)/cos^2(x)))/cos^2(x)=(sin(x)(2cos^2(x)-sin^2(x)-sin(x)/cos^2(x)))/cos^2(x)。在(0,π/2)內(nèi)，sin(x)>0,cos(x)>0。2cos^2(x)-sin^2(x)>0(因?yàn)閏os^2(x)+sin^2(x)=1,2cos^2(x)>sin^2(x)在(0,π/2)內(nèi))。-sin(x)/cos^2(x)<0。所以g'(x)>0，g(x)在(0,π/2)內(nèi)單調(diào)遞增。g(x)<g(π/2)=1*(1+0)/0=+∞。更準(zhǔn)確的方法是：令h(x)=tan(x)-sin(x)，h'(x)=sin(x)/cos^2(x)-cos(x)=(sin(x)-cos^2(x))/cos^2(x)=(sin(x)-(1-sin^2(x)))/cos^2(x)=(2sin^2(x)-1)/cos^2(x)=(2sin(x)-1)(sin(x)+1)/cos^2(x)。在(0,π/2)內(nèi)，sin(x)∈(0,1)。當(dāng)x∈(0,π/2)時(shí)，sin(x)+1>0。當(dāng)x∈(0,π/6)時(shí)，sin(x)<1/2，2sin(x)-1<0，h'(x)<0。當(dāng)x∈(π/6,π/2)時(shí)，sin(x)>1/2，2sin(x)-1>0，h'(x)>0。所以h(x)在(0,π/6)內(nèi)單調(diào)遞減，在(π/6,π/2)內(nèi)單調(diào)遞增。h(x)的最小值是h(π/6)=√3/2-1/2=(√3-1)/2。h(x)<h(π/2)=1*1-0=1。又因?yàn)閔(x)在(0,π/6)內(nèi)遞減，所以h(x)<h(0)=0*1-0=0。綜上，h(x)<min(0,1)=0。所以值域是(-∞,0)。但這個(gè)結(jié)論與直覺(jué)（sin和tan都大于0）矛盾，且計(jì)算過(guò)程有誤。更正思路：考慮tan(x)-sin(x)=sin(x)/cos(x)-sin(x)=sin(x)(1/cos(x)-1)=sin(x)(1-cos(x))/cos(x)。在(0,π/2)內(nèi)，sin(x)>0,cos(x)>0,1-cos(x)>0。所以tan(x)-sin(x)>0。又tan(x)-sin(x)=(1-cos^2(x))/cos(x)=(1-cos(x))(1+cos(x))/cos(x)。當(dāng)x∈(0,π/2)時(shí)，1-cos(x)>0,1+cos(x)>0,cos(x)>0。所以tan(x)-sin(x)>0。又當(dāng)x→0時(shí)，tan(x)-sin(x)→0。當(dāng)x→π/2時(shí)，tan(x)→+∞,sin(x)→1,tan(x)-sin(x)→+∞。所以在(0,π/2)內(nèi)，tan(x)-sin(x)>0。那么值域應(yīng)該是(0,+∞)？但檢查發(fā)現(xiàn)計(jì)算tan(x)-sin(x)=sin(x)/cos(x)-sin(x)=sin(x)(1/cos(x)-1)=sin(x)(1-cos(x))/cos(x)有誤。正確定義是tan(x)-sin(x)=sin(x)/cos(x)-sin(x)=sin(x)/cos(x)-sin(x)*cos(x)/cos(x)=sin(x)(1/cos(x)-cos(x))=sin(x)(1-cos^2(x))/(cos^2(x))=sin^3(x)/cos^2(x)。在(0,π/2)內(nèi)，sin^3(x)>0,cos^2(x)>0。所以tan(x)-sin(x)>0。又當(dāng)x→0時(shí)，tan(x)→0,sin(x)→0,tan(x)-sin(x)→0。當(dāng)x→π/2時(shí)，tan(x)→+∞,sin(x)→1,tan(x)-sin(x)→+∞。所以值域是(0,+∞)。但參考答案給出(-∞,√2)。重新審視：tan(x)-sin(x)=sin(x)/cos(x)-sin(x)=sin(x)(1/cos(x)-1)=sin(x)(1-cos(x))/cos(x)。令y=tan(x)-sin(x)。求y的范圍。y>0。令g(x)=tan(x)-sin(x)。g'(x)=sin(x)/cos^2(x)-cos(x)=(sin(x)-cos^2(x))/cos^2(x)=(sin(x)-(1-sin^2(x)))/cos^2(x)=(2sin^2(x)-1)/cos^2(x)。令h(x)=2sin^2(x)-1=cos(2x)。g'(x)=cos(2x)/cos^2(x)。在(0,π/2)內(nèi)，cos(2x)<0,cos^2(x)>0。所以g'(x)<0。g(x)在(0,π/2)內(nèi)單調(diào)遞減。g(x)<g(0)=0*1-0=0。又當(dāng)x→π/2時(shí)，g(x)→+∞。所以y=g(x)∈(0,+∞)。但參考答案(-∞,√2)矛盾?？赡軈⒖即鸢赣姓`。題目本身可能想考察特定技巧或簡(jiǎn)化?？紤]極限lim(x→0)(tan(x)-sin(x))/x=lim(x→0)(sin(x)/cos(x)-sin(x))/x=lim(x→0)(sin(x)/x(1-cos(x)))=1*1/(1*0)=+∞。這個(gè)極限發(fā)散，似乎不支持值域是(0,+∞)?；蛟S題目有筆誤或想考察其他性質(zhì)。另一個(gè)思路：令t=tan(x)。當(dāng)x∈(0,π/2)時(shí)，t∈(0,+∞)。y=t-sin(atan(t))。sin(atan(t))=t/sqrt(1+t^2)。y=t-t/sqrt(1+t^2)=t(1-1/sqrt(1+t^2))=t(sqrt(1+t^2)-1)/sqrt(1+t^2)=t(sqrt(1+t^2-1)/sqrt(1+t^2))=t*sqrt(t^2)/sqrt(1+t^2)=t^2/sqrt(1+t^2)。y=t^2/sqrt(1+t^2)。當(dāng)t→0時(shí)，y→0。當(dāng)t→+∞時(shí)，y→+∞。所以y∈(0,+∞)。這個(gè)分析支持(0,+∞)。與參考答案(-∞,√2)仍矛盾。最終，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分析，值域應(yīng)為(0,+∞)。題目可能有誤，或考察簡(jiǎn)化技巧。如果題目意圖是考察特定區(qū)間值，可能需要更精確的題目設(shè)定。在此假設(shè)題目有誤，按標(biāo)準(zhǔn)分析結(jié)果(0,+∞)填寫，但指出與參考答案的矛盾。題目原意可能是求極限lim(x→0)(tan(x)-sin(x))=0？但題目是求值域。按標(biāo)準(zhǔn)分析，值域(0,+∞)。

2.-2

解析：兩直線平行，則它們的斜率相等或都為0。l1的斜率為-ax/2。l2的斜率為-(a+1)。所以-ax/2=-(a+1)。若a=0，則l1:y=1/2，l2:x+y+4=0，即y=-x-4，不平行。所以a≠0。消去a得x/2=1/(a+1)，即a=1-2/x。這與a=0矛盾。所以a=-2。

3.-13

解析：a10=a1+(10-1)d=5+9(-2)=5-18=-13。

4.(1,-2)

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。圓心坐標(biāo)為(h,k)。由(x-1)^2+(y+2)^2=4得圓心(1,-2)，半徑2。

5.(-∞,-1)∪(3/2,+∞)

解析：由|3x-2|>5得3x-2>5或3x-2<-5。解得x>7/3或x<-3/2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

2.解：sin(2x)=cos(x)。利用二倍角公式sin(2x)=2sin(x)cos(x)。所以2sin(x)cos(x)=cos(x)。若cos(x)=0，則x=kπ+π/2，k∈Z。在0≤x<2π內(nèi)，x=π/2,3π/2。若cos(x)≠0，則2sin(x)=1，sin(x)=1/2。在0≤x<2π內(nèi)，x=π/6,5π/6。綜上，解集為{x|x=π/6,π/2,5π/6,3π/2}。

3.解：∫(x^2+1)/(x^3+3x)dx=∫(x^2+1)/(x(x^2+3))dx。令x^2+3=t，則2xdx=dt，xdx=dt/2。當(dāng)x=0時(shí)，t=3。當(dāng)x→+∞時(shí)，t→+∞。原式=∫(t-3+1)/(x(x^2+3))xdx=∫(t-2)/(t(x^2+3))xdx=∫(t-2)/(t*t)dt/2=1/2∫(t-2)/tdt=1/2∫(1-2/t)dt=1/2(t-2ln|t|)+C=1/2((x^2+3)-2ln|x^2+3|)+C=1/2(x^2+3-2ln(x^2+3))+C。

4.解：由正弦定理a/sin(A)=c/sin(C)。sin(C)=sin(180°-A-B)=sin(A+B)=sin(60°+45°)=sin(105°)=sin(90°+15°)=cos(15°)=cos(45°-30°)=cos(45°)cos(30°)+sin(45°)sin(30°)=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。a/c=sin(60°)/sin(105°)=(√3/2)/(√6+√2)/4=2√3/(√6+√2)。a=c*(2√3/(√6+√2))=√2*(2√3/(√6+√2))=2√6/(√6+√2)。有理化分母：a=(2√6/(√6+√2))*(√6-√2)/(√6-√2)=2√6*(√6-√2)/(6-2)=2√6*(√6-√2)/4=√6*(√6-√2)/2=(√36-√12)/2=(6-2√3)/2=3-√3。所以邊a的長(zhǎng)度為(3-√3)。

5.解：f(x)=x^3-3x^2+2。求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。求二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-6。當(dāng)x=0時(shí)，f''(0)=-6<0，所以x=0是極大值點(diǎn)。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。所以極大值是2。當(dāng)x=2時(shí)，f''(2)=6*2-6=6>0，所以x=2是極小值點(diǎn)。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。所以極小值是-2。極值點(diǎn)為x=0和x=2，對(duì)應(yīng)的極值分別為2和-2。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.函數(shù)：包括基本初等函數(shù)（三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）的性