極值的題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=0$處（）A.有極大值B.有極小值C.無極值D.無法判斷答案：B2.函數(shù)$y=x^3-3x$的極大值點是（）A.1B.-1C.0D.2答案：B3.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$的極小值為（）A.-4B.4C.8D.-8答案：A4.函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}(x>0)$的最小值是（）A.1B.2C.3D.4答案：B5.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的極大值是（）A.1B.-1C.2D.-2答案：C6.函數(shù)$y=e^x-x$的極小值是（）A.1B.0C.-1D.2答案：A7.函數(shù)$f(x)=x\lnx$的極小值點是（）A.$e$B.$\frac{1}{e}$C.1D.2答案：B8.函數(shù)$y=x^2-2x+3$的最小值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B9.函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在$[0,2\pi]$上的極大值為（）A.$\sqrt{2}$B.1C.0D.-1答案：A10.函數(shù)$y=x^4-2x^2+5$的極小值是（）A.4B.5C.6D.7答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)在指定區(qū)間存在極值的有（）A.$y=x^2-2x+1$在$(-\infty,+\infty)$B.$y=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$C.$y=x^3$在$(-\infty,+\infty)$D.$y=x-\sinx$在$(0,2\pi)$答案：ABD2.函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的極值情況是（）A.極大值為2B.極小值為-2C.極大值點為$x=0$D.極小值點為$x=2$答案：ABCD3.函數(shù)$y=x^3-3x^2-9x+5$的極值點有（）A.$x=-1$B.$x=3$C.$x=0$D.$x=1$答案：AB4.對于函數(shù)$f(x)=x^2e^{-x}$，以下說法正確的是（）A.有極大值B.有極小值C.極大值點為$x=2$D.極小值點為$x=0$答案：ABCD5.函數(shù)$y=\frac{x}{1+x^2}$的極值情況是（）A.有極大值B.有極小值C.極大值為$\frac{1}{2}$D.極小值為$-\frac{1}{2}$答案：ABCD6.函數(shù)$f(x)=x^3-ax^2-x+1$（$a$為常數(shù)）可能存在極值的條件是（）A.$a>\sqrt{3}$B.$a<-\sqrt{3}$C.$-\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$D.$a=\pm\sqrt{3}$答案：AB7.函數(shù)$y=\lnx-x$的極值情況是（）A.有極大值B.有極小值C.極大值為-1D.無極小值答案：ACD8.函數(shù)$f(x)=x^4-4x^3+4x^2$的極值點有（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$答案：ABC9.函數(shù)$y=x^2+\frac{1}{x}$（$x>0$）的極值情況是（）A.有極小值B.極小值為3C.有極大值D.極大值為1答案：AB10.函數(shù)$f(x)=x+\frac{a}{x}$（$a>0$，$x>0$）的極值情況是（）A.有極小值B.極小值為$2\sqrt{a}$C.有極大值D.極大值為$-2\sqrt{a}$答案：AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)在某點導(dǎo)數(shù)為0，則該點一定是極值點。（）答案：×2.函數(shù)的極值點處導(dǎo)數(shù)一定為0。（）答案：×3.函數(shù)$y=x^3$在$x=0$處有極值。（）答案：×4.函數(shù)$f(x)=x^2+1$在$x=0$處有極小值1。（）答案：√5.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則極值點是區(qū)間內(nèi)的駐點或不可導(dǎo)點。（）答案：√6.函數(shù)$y=\sinx$在$x=\frac{\pi}{2}$處有極大值1。（）答案：√7.函數(shù)$f(x)=x^4$在$x=0$處導(dǎo)數(shù)為0，所以$x=0$是極大值點。（）答案：×8.函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$在$x=1$處取得極小值2。（）答案：√9.函數(shù)的極大值一定大于極小值。（）答案：×10.函數(shù)$y=e^x$無極值。（）答案：√四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的極值。答案：先求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-3$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=\pm1$。當(dāng)$x<-1$時，$f^\prime(x)>0$；當(dāng)$-1<x<1$時，$f^\prime(x)<0$；當(dāng)$x>1$時，$f^\prime(x)>0$。所以極大值$f(-1)=2$，極小值$f(1)=-2$。2.簡述求函數(shù)極值的一般步驟。答案：第一步，求函數(shù)定義域；第二步，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)；第三步，令導(dǎo)數(shù)為0求出駐點，找出導(dǎo)數(shù)不存在的點；第四步，用駐點和不可導(dǎo)點劃分定義域區(qū)間，判斷導(dǎo)數(shù)在各區(qū)間的正負，進而確定極值點及極值。3.函數(shù)$y=x^2-4x+5$是否有極值？若有，求出極值。答案：求導(dǎo)$y^\prime=2x-4$，令$y^\prime=0$，得$x=2$。當(dāng)$x<2$時，$y^\prime<0$；當(dāng)$x>2$時，$y^\prime>0$。所以函數(shù)有極小值，極小值為$y(2)=1$。4.已知函數(shù)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$x=1$和$x=-1$處有極值，求$a$、$b$、$c$的關(guān)系。答案：求導(dǎo)$f^\prime(x)=3ax^2+2bx+c$，因為在$x=1$和$x=-1$處有極值，所以$f^\prime(1)=3a+2b+c=0$，$f^\prime(-1)=3a-2b+c=0$，兩式相減得$4b=0$即$b=0$，此時$3a+c=0$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3a^2x$的極值情況。答案：求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-6ax+3a^2=3(x-a)^2$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=a$。當(dāng)$x\neqa$時，$f^\prime(x)>0$，所以函數(shù)在$x=a$處無極值，在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。2.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x^2-1}$的極值情況。答案：函數(shù)定義域為$x\neq\pm1$。求導(dǎo)$y^\prime=\frac{-2x}{(x^2-1)^2}$。令$y^\prime=0$，得$x=0$。當(dāng)$x<0$且$x\neq-1$時，$y^\prime>0$；當(dāng)$x>0$且$x\neq1$時，$y^\prime<0$。所以在$x=0$處有極大值$y(0)=-1$。3.討論函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$的極值情況。答案：定義域為$x>0$，求導(dǎo)$f^\prime(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=1$。當(dāng)$0<x<1$時，$f^\prime(x)<0$；當(dāng)$x>1$時，$f^\prime(x)>0$。所以在$x=1$處有極小值$f(1)=1$。4.討論函數(shù)$y=x^2e^x$的極值情況。答案：求導(dǎo)$y^\prim