江西自主命題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-ax+1=0},且A∪B={1,2},則a的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+\infty)

D.(0,1)∪(1,+\infty)

3.已知向量a=(1,2),b=(x,1),且a·b=3,則向量b的模長(zhǎng)為（）

A.√2

B.√5

C.2√2

D.√10

4.不等式|x-1|>2的解集為（）

A.(-∞,-1)∪(3,+\infty)

B.(-1,3)

C.(-∞,1)∪(1,+\infty)

D.(-∞,-3)∪(3,+\infty)

5.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1,公差為2,則前n項(xiàng)和S_n=（）

A.n(n+1)

B.n^2

C.n(n-1)

D.n^2+n

6.已知圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓，則圓上一點(diǎn)P(x,y)到直線x-y=0的距離為（）

A.√2

B.2√2

C.3√2

D.9

7.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于哪條直線對(duì)稱（）

A.x=π/4

B.x=-π/4

C.x=π/2

D.x=-π/2

8.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,則三角形ABC的面積為（）

A.6

B.12

C.15

D.30

9.函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)f'(x)等于（）

A.e^x

B.e^x+1

C.e^x-1

D.-e^x

10.已知直線l1:y=2x+1和直線l2:y=-x+3,則l1和l2的夾角θ為（）

A.π/4

B.π/3

C.π/2

D.3π/4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的有（）

A.y=x^2

B.y=1/x

C.y=e^x

D.y=lnx

2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則下列關(guān)于f(x)的說(shuō)法正確的有（）

A.f(0)=0

B.f(-x)=-f(x)

C.f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減

D.f(x)在R上單調(diào)遞增

3.已知向量a=(1,k),b=(k,1),且a//b，則k的取值有（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

4.下列不等式成立的有（）

A.log_2(3)>log_2(4)

B.2^3<3^2

C.sin(π/6)<cos(π/6)

D.tan(π/3)>tan(π/4)

5.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.圓心C的坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為2

C.圓C與x軸相切

D.圓C與y軸相交

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x)+2，且f(1)=3，則f(5)=________。

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的概率是________。

3.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則向量AB的坐標(biāo)表示為_(kāi)_______，向量AB的模長(zhǎng)為_(kāi)_______。

4.不等式|3x-1|<5的解集是________。

5.已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，則該數(shù)列的前3項(xiàng)和S_3=________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.計(jì)算不定積分：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

4.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊BC=10，求邊AB和邊AC的長(zhǎng)度。

5.將函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像向右平移π/4個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)，求g(x)的解析式，并指出其周期和振幅。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：A={1,2}，由A∪B={1,2}可知B必須包含1和2，且B中的元素必須滿足x^2-ax+1=0。將x=1代入得1-a+1=0，即a=2。將x=2代入得4-2a+1=0，即a=5/2。由于a必須同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以不存在這樣的a，說(shuō)明題目可能有誤，但根據(jù)題意最可能的答案是基于A的元素，故選C。

2.D

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減，需要a滿足0<a<1。因?yàn)楫?dāng)0<a<1時(shí)，隨著x的增加，log_a(x+1)的值會(huì)減小。故選D。

3.B

解析：a·b=1*x+2*1=3，即x+2=3，解得x=1。向量b=(1,1)，其模長(zhǎng)|b|=√(1^2+1^2)=√2。故選B。

4.A

解析：不等式|x-1|>2可以分解為兩個(gè)不等式：x-1>2或x-1<-2。解得x>3或x<-1。故選A。

5.D

解析：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和公式為S_n=n/2*(首項(xiàng)+末項(xiàng))。首項(xiàng)a_1=1，公差d=2，第n項(xiàng)a_n=1+(n-1)*2=2n-1。所以S_n=n/2*(1+(2n-1))=n/2*(2n)=n^2+n。故選D。

6.A

解析：圓心到直線x-y=0的距離公式為d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)，其中直線方程為Ax+By+C=0，點(diǎn)(x1,y1)為圓心。代入得d=|0*0+(-1)*0+0|/√(1^2+(-1)^2)=0/√2=0。但這是點(diǎn)在直線上時(shí)的距離，對(duì)于圓上的點(diǎn)P(x,y)，其到直線的距離應(yīng)為圓的半徑3與點(diǎn)在直線上方或下方的垂直距離之差，即√2。故選A。

7.C

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于直線x=π/4對(duì)稱，因?yàn)閟in函數(shù)的圖像關(guān)于π/2+kπ（k為整數(shù)）對(duì)稱，而x+π/4=π/2+kπ時(shí)，x=π/4+kπ-π/4=kπ。故選C。

8.B

解析：三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，滿足勾股定理，所以是直角三角形，直角邊為3和4。面積為1/2*3*4=6。故選B。

9.A

解析：函數(shù)f(x)=e^x的導(dǎo)數(shù)f'(x)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則為e^x。故選A。

10.C

解析：直線l1:y=2x+1的斜率k1=2，直線l2:y=-x+3的斜率k2=-1。兩直線的夾角θ滿足tanθ=|(k1-k2)/(1+k1k2)|=|(2-(-1))/(1+2*(-1))|=|3/-1|=-3。但夾角應(yīng)為銳角，所以取補(bǔ)角π-θ，此時(shí)tan(π-θ)=-tanθ=3，即θ=π/2。故選C。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C,D

解析：y=x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=1/x在(0,+∞)上單調(diào)遞減；y=e^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增。故選A,C,D。

2.A,B,C

解析：奇函數(shù)f(x)滿足f(0)=0；奇函數(shù)定義f(-x)=-f(x)；奇函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則在(-∞,0)上單調(diào)遞減。但奇函數(shù)在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)。故選A,B,C。

3.A,B

解析：向量a=(1,k),b=(k,1)平行，則1*1=k*k，即1=k^2，解得k=1或k=-1。故選A,B。

4.A,C

解析：log_2(3)<log_2(4)因?yàn)?<4；2^3=8,3^2=9,8<9；sin(π/6)=1/2,cos(π/6)=√3/2,1/2<√3/2；tan(π/3)=√3,tan(π/4)=1,√3>1。故選A,C。

5.A,B,D

解析：圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，圓心為(1,-2)，半徑為2。圓心到x軸的距離為2，等于半徑，所以與x軸相切；圓心到y(tǒng)軸的距離為1，小于半徑，所以與y軸相交。故選A,B,D。

三、填空題答案及解析

1.9

解析：f(x+1)=f(x)+2，所以f(5)=f(4)+2=f(3)+4=f(2)+6=f(1)+8=3+8=11。故答案為11。

2.1/2

解析：骰子有6個(gè)面，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的情況有3種（2,4,6），所以概率為3/6=1/2。故答案為1/2。

3.(-2,-2),√8

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，模長(zhǎng)|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。故答案為(2,-2),2√2。

4.(-4,6)

解析：|3x-1|<5可以分解為-5<3x-1<5，解得-4<3x<6，即-4/3<x<2。故答案為(-4/3,2)。

5.20

解析：等比數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和S_3=a_1(1-r^3)/(1-r)=2*(1-3^3)/(1-3)=2*(1-27)/(-2)=2*(-26)/(-2)=26。故答案為26。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x=1

解析：2^(x+1)-5*2^x+2=0可以變形為2*2^x-5*2^x+2=0，即-3*2^x+2=0，解得2^x=2/3。由于2^x是指數(shù)函數(shù)，單調(diào)遞增，所以只有一個(gè)解x=1。故答案為x=1。

2.最大值f(3)=0，最小值f(-1)=-1

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-1,f(0)=2,f(2)=-4,f(3)=0。所以最大值為f(3)=0，最小值為f(2)=-4。故答案為最大值0，最小值-4。

3.x^2/2+x+3ln|x+1|+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx可以通過(guò)長(zhǎng)除法分解為∫(x+1+2)/(x+1)dx=∫(1+2/(x+1))dx=x+2ln|x+1|+C。故答案為x+2ln|x+1|+C。

4.AB=√7,AC=2√2

解析：由正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，即sin60°/10=sin45°/AC，解得AC=10*sin45°/sin60°=10*√2/√3=10√6/3。由余弦定理，AB^2=AC^2+BC^2-2*AC*BC*cosA，即AB^2=(10√6/3)^2+10^2-2*(10√6/3)*10*cos60°，解得AB=√7。故答案為AB=√7,AC=2√2。

5.g(x)=sin(2(x-π/4)+π/3)=sin(2x-π/2+π/3)，周期T=π，振幅A=1

解析：g(x)=sin(2x-π/6)。周期T=2π/|ω|=2π/2=π。振幅A=1。故答案為周期π，振幅1。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.函數(shù)與方程：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性，函數(shù)的圖像變換，函數(shù)與方程的關(guān)系。

2.向量：向量的坐標(biāo)表示，向量的模長(zhǎng)，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積。

3.不等式：絕對(duì)值不等式，一元二次不等式，分式不等式。

4.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的遞推關(guān)系。

5.解析幾何：直線與圓的方程，點(diǎn)到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系。

6.微積分：導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，不定積分的概念與計(jì)算，定積分的概念與計(jì)算。

7.三角函數(shù)：三角函數(shù)的定義與性質(zhì)，三角函數(shù)的圖像與變換，解三角形。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選擇