等比數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)課題名稱等比數(shù)列前n項(xiàng)和教材分析等比數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要知識(shí)之一，數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維，抽象思維，歸納思維的良好題材，在生活中有廣泛的應(yīng)用，另外，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，它還有著承前啟后的作用，加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，是這一部分內(nèi)容與前面的知識(shí)連接的更緊密。錯(cuò)位相減法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是求解一類混合數(shù)列前N項(xiàng)和的重要方法。此本節(jié)課具有承上啟下的作用。等比數(shù)列可以和等差數(shù)列行，類比拓展學(xué)生，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的能力。等比數(shù)列前N項(xiàng)和在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，比如說(shuō)儲(chǔ)蓄，分期，付款等，而且公式的推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比劃歸分類討論，整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中的必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。內(nèi)容出處人教版選擇性必修第二冊(cè)4.3.2學(xué)情分析學(xué)生在之前學(xué)習(xí)過(guò)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，等著等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的形成特點(diǎn)有了一些了解。所以說(shuō)與等差數(shù)列形成過(guò)程進(jìn)行類比學(xué)生容易理解。但是本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，怎樣由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)類比到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過(guò)程，這是對(duì)學(xué)生思維的一種突破。且等比數(shù)列前n項(xiàng)和當(dāng)q=1時(shí)，這是一個(gè)特殊情況，學(xué)生經(jīng)常會(huì)容易忽視。尤其是在后面的使用過(guò)程中容易出錯(cuò)。學(xué)生此時(shí)具有了一定分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但是由于年齡的原因，思維盡管活躍敏捷，但是卻缺乏冷靜、深刻，因此片面不嚴(yán)謹(jǐn)。教學(xué)目標(biāo)掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及錯(cuò)位相減法滲透特殊到一般，類比與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生分類與討論的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生抽樣概括和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，體味“一以貫之”思想，3.通過(guò)數(shù)學(xué)史上豐富的情景問(wèn)題激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。通過(guò)探索學(xué)習(xí)模式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。通過(guò)知識(shí)思考，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法難點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)錯(cuò)位相減法的理解教法分析情景激思：通過(guò)請(qǐng)教問(wèn)題引發(fā)人的思考，在由學(xué)生自主探究得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法。類比生思：通過(guò)從幾何類比較代數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。追問(wèn)拓思：通過(guò)詢問(wèn)學(xué)生還有什么方法促進(jìn)學(xué)生在深度廣度上探究。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖【問(wèn)題探究】（15min）桂林山水甲天下。信步外出，前方有9條堤岸，每條堤上有9棵樹木，每棵樹上有9個(gè)樹枝，每個(gè)樹枝上有9個(gè)鳥巢，每個(gè)鳥巢里有9只大鳥，每只大鳥都孵出了9只小鳥，每只小鳥都長(zhǎng)出了9片羽毛，每片羽毛上都有9種顏色。問(wèn)這個(gè)人望見(jiàn)的樹、枝、巢、大鳥、小鳥、小鳥羽毛及羽毛上的顏色，一共是多少？要求：如果項(xiàng)數(shù)比較少，我們可以直接算出每一項(xiàng)相加求和，但是如果項(xiàng)數(shù)比較多的時(shí)候我們?cè)撛趺辞蠛?？今天我們就?lái)探討等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?！咎岢鰡?wèn)題】已知等比數(shù)列{an},首項(xiàng)為a1公比為q（q≠0），求:在學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)我們用更簡(jiǎn)單的方式表示出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和，那我們能不能用簡(jiǎn)得方式表示出等比數(shù)列前n項(xiàng)和？同學(xué)們有沒(méi)有什么方法？我們?cè)谕茖?dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和學(xué)習(xí)了倒序相加法，等比數(shù)列能不能用倒序相加法？我們來(lái)試一下，我們發(fā)現(xiàn)相加之后并沒(méi)有什么規(guī)律，所以倒序相加法是不能用的。同學(xué)們思考一下，我們倒序相加法從幾何上看是不是對(duì)求和式翻了個(gè)個(gè)。我們能否將這種思想運(yùn)用到等比數(shù)列這里？老師在這就要給大家拓展一下了，在分形幾何中有這樣一個(gè)性質(zhì)：自相似性，在數(shù)學(xué)中，一個(gè)自相似的物體與它自身的某一部分完全或近似的相似。比如說(shuō)我們的雪花圖像，分形樹，同學(xué)們來(lái)觀察一下這個(gè)分形樹：我們分形樹的主枝放大和縮小一定的倍數(shù)都和我們的主枝相似。從幾何上看，等比數(shù)列每一項(xiàng)在形式上都是相似的，前一項(xiàng)比上后一項(xiàng)的比值為q，乘以q和除以q之后可以和前一項(xiàng)或后一項(xiàng)相互轉(zhuǎn)化。那我們Sn能不能和分形樹一樣，通過(guò)左右兩邊同時(shí)乘以q和除以q也會(huì)和原來(lái)的Sn在形式上相似呢？下邊老師左手邊的同學(xué)將Sn左右兩邊同時(shí)乘以q，右手邊的同學(xué)將Sn左右兩邊同時(shí)除以q。觀察一下變換后的式子和變換前的式子?！緦W(xué)生展示】左右兩邊同時(shí)乘以q左右兩邊同時(shí)除以q：【總結(jié)】：我們可以發(fā)現(xiàn)，不管是左右兩邊同時(shí)乘以q還是同時(shí)除以q，變換前后兩式右邊有很多相同的項(xiàng)。這時(shí)用變換之前的式子減去變換之后的式子就能消去這些相同的項(xiàng)。我們能得到經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)最終的結(jié)果都為這就是當(dāng)q≠1時(shí)的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。其中我們得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法為錯(cuò)位相減法。那么當(dāng)q=1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和怎么表示呢？其實(shí)那我們等比數(shù)列前n項(xiàng)和就為【思考】（10min）我們剛剛得到等比數(shù)列前n項(xiàng)和所用的方法叫做錯(cuò)位相減法。同學(xué)們還有沒(méi)有別的方式得到我們等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式？在幾百年之后，在《蘭德紙草書》也有一個(gè)類似的問(wèn)題：有7個(gè)人，每人養(yǎng)7只貓，每只貓吃7只老鼠，每只老鼠吃7棵麥穗，每顆麥穗可以長(zhǎng)成7個(gè)量器的大麥，問(wèn)人，貓，老鼠，麥穗，大麥共有多少？古埃及人這樣解決的：古埃及人解決方法本質(zhì)是提取公因式，同學(xué)們可不可以也用這種方法推導(dǎo)出我們等比數(shù)列前n項(xiàng)和？【展示】方法一：再提取一次公因式：錯(cuò)位相減后得到化簡(jiǎn)得到我們等比數(shù)列前n項(xiàng)和法二：在方法一中我們使用了兩次提取公因式，同學(xué)們是不是沒(méi)有想到，這就給我們一個(gè)提醒，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同一個(gè)方法可以多次使用。好了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，現(xiàn)在大家來(lái)鞏固一下新的知識(shí)吧?！眷柟绦轮?20min)【例一】：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列。解：【思考】對(duì)于等比數(shù)列的相關(guān)量a1,an,q,n,Sn,已知幾個(gè)量就可以確定其他量？其實(shí)就是解方程組問(wèn)題，已知其中的三個(gè)量，即可求出其他兩個(gè)量。解：所以q≠1?！纠浚阂阎缺葦?shù)列{an}的公比q≠1，前n項(xiàng)和為Sn，證明Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的公比。證明：當(dāng)q=1時(shí)所以Sn,S2nSn,S3nS2n成等比數(shù)列，公比為1.當(dāng)q≠1時(shí)所以qn為常數(shù)，所以成Sn,S2nSn,S3nS2n等比數(shù)列，公比為qn。我們來(lái)回顧一下今天學(xué)習(xí)了什么，我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法錯(cuò)位相減法，還總結(jié)了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。同學(xué)們不僅要會(huì)背公式還要掌握怎么去用。通過(guò)情景問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的興趣和對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的思考。讓學(xué)生先嘗試倒序相加法推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)倒序相加法得不到想要的結(jié)果，進(jìn)而引入新的方法。通過(guò)將倒序相加法類比到“幾何”旋轉(zhuǎn)，再引出由“幾何”自相似性類比到等比數(shù)列。學(xué)生更容易理解推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)為什么要乘以q。通過(guò)左右兩邊同時(shí)乘以q或除以q之間的對(duì)比，讓學(xué)生更好的理解錯(cuò)位相減法。通過(guò)蘭德紙草書內(nèi)容引起學(xué)生的思考，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其他推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，提高學(xué)生知識(shí)運(yùn)用能力和創(chuàng)新性，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。同時(shí)在法一中使用了“一以貫之”的思想，提取了兩次公因式，