第12章全等三角形12.1命題、定義、定理與證明命題：數(shù)學(xué)中的命題是能判斷真假的陳述句。一般形式為“如果...那么...”。定義：對某個概念進(jìn)行明確說明，用以區(qū)分其他概念。定理：經(jīng)過邏輯推理證明為真的命題。證明：通過一系列邏輯推理步驟確認(rèn)某一命題的真實(shí)性。12.2三角形全等的判定全等三角形的判定條件：兩個三角形全等表示它們可以完全重合。邊角邊（SAS）：兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。角邊角（ASA）：兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。邊邊邊（SSS）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。斜邊直角邊（HL）：在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。12.3等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)：兩腰相等。底角相等。頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩條邊相等，則這個三角形是等腰三角形。如果一個三角形有兩個角相等，則這個三角形是等腰三角形。12.4逆命題和逆定理互逆命題和互逆定理：原命題與其逆命題的關(guān)系應(yīng)明確。線段垂直平分線：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。角平分線：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。一、命題部分易錯點(diǎn)：1學(xué)生可能難以區(qū)分命題與非命題，例如，他們可能會錯誤地認(rèn)為描述性語言或疑問句是命題。2在理解真命題與假命題時，學(xué)生可能會混淆條件與結(jié)論，導(dǎo)致判斷錯誤。二、定義、定理與證明部分易錯點(diǎn)：1學(xué)生可能對定理和定義的理解不夠深入，導(dǎo)致在證明過程中無法準(zhǔn)確應(yīng)用。2在證明過程中，學(xué)生可能會忽略某些已知條件或中間步驟，導(dǎo)致證明不完整或錯誤。三、全等三角形的判定條件易錯點(diǎn)：1學(xué)生可能會混淆不同的判定條件，例如將邊角邊與角邊角混淆。2在應(yīng)用判定條件時，學(xué)生可能會忽略某些細(xì)節(jié)，如對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角必須完全相等。四、邊角邊、角邊角、邊邊邊、斜邊直角邊判定易錯點(diǎn)：1在使用邊角邊判定時，學(xué)生可能會錯誤地認(rèn)為只要兩邊及夾角相等，兩個三角形就一定全等，而忽略了這兩邊必須是對應(yīng)邊。2在使用角邊角判定時，學(xué)生可能會忽略角必須是兩邊的夾角這一條件。3邊邊邊判定相對簡單，但學(xué)生可能會在應(yīng)用時忽略所有三邊必須對應(yīng)相等。4斜邊直角邊判定專用于直角三角形，學(xué)生可能會在非直角三角形中錯誤地應(yīng)用此判定。五、等腰三角形的性質(zhì)易錯點(diǎn)：1學(xué)生可能會混淆等腰三角形的底角和頂角，導(dǎo)致在應(yīng)用性質(zhì)時出錯。2學(xué)生可能會忽略等腰三角形的對稱性，導(dǎo)致在解決問題時無法準(zhǔn)確利用這一性質(zhì)。六、等腰三角形的判定易錯點(diǎn)：1在使用等腰三角形的判定定理時，學(xué)生可能會忽略條件中的“在同一個三角形中”這一前提。2學(xué)生可能會混淆等腰三角形的判定與性質(zhì)，導(dǎo)致在證明過程中無法準(zhǔn)確應(yīng)用。七、互逆命題和互逆定理易錯點(diǎn)：1學(xué)生可能會難以理解互逆命題的概念，即原命題的條件與結(jié)論互換后形成的命題。2在判斷逆命題的真假時，學(xué)生可能會忽略對原命題的深入理解和分析。八、線段垂直平分線、角平分線易錯點(diǎn)：1學(xué)生可能會混淆線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用場景。2在應(yīng)用這些性質(zhì)時，學(xué)生可能會忽略某些細(xì)節(jié)，如垂直平分線必須平分線段且垂直于該線段等。題型01真、假、逆命題1.下列命題是假命題的是（

）A．同位角相等，兩直線平行C．經(jīng)過同一平面內(nèi)三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)一定能畫三條直線D．所有實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，反過來，數(shù)軸上的所有點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)【答案】C【分析】本題考查了命題與定理之真假命題，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)有理數(shù)的加法可判斷B，利用舉反例的方法可判斷C，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可判斷D，進(jìn)而可得答案．【詳解】A．同位角相等，兩直線平行，是平行線的判定方法之一，正確，是真命題．C．若三點(diǎn)共線，則經(jīng)過任意兩點(diǎn)只能畫一條直線，而非三條，因此命題不成立，是假命題．D．所有實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，反過來，數(shù)軸上的所有點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，正確，是真命題．故選C．2.下列命題是真命題的是（

）A．相等的角是對頂角【答案】B【分析】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．根據(jù)對頂角的概念、線段中點(diǎn)的概念、平方根的概念逐一判斷．【詳解】解：A、相等的角不一定是對頂角，例如，兩直線平行時的同位角相等，但并非對頂角，故A為假命題；故選：B．3.把“對頂角相等”，改寫成“如果……那么……”的形式【答案】如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等【分析】本題考查了把一個命題寫成“如果?那么?”的形式，命題中的條件是兩個角相等，放在“如果”的后面，結(jié)論是這兩個角的補(bǔ)角相等，應(yīng)放在“那么”的后面即可．【詳解】解：把命題“對頂角相等”改寫成“如果?那么?”的形式為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．故答案為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．【答案】真【分析】本題考查的是命題的逆命題，真假命題的判定，先寫出命題的逆命題，再判斷即可.逆命題是真命題；故答案為：真5.已知命題“等底等高的兩個三角形的面積相等”．(1)此命題是真命題還是假命題？若是真命題，請給予證明；若是假命題，請舉出一個反例．(2)寫出此命題的逆命題，并判斷此逆命題的真假．若是真命題，請給予證明；若是假命題，請舉出一個反例．【答案】(1)真命題，證明見解析(2)逆命題為：如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形是等底等高的三角形，此命題是假命題；舉例見解析【分析】本題主要考查命題真假的判斷和逆命題的知識，解題的關(guān)鍵是熟知課本中有關(guān)的定義和性質(zhì)定理；（1）判斷命題，需要分析由題設(shè)是否能推出結(jié)論，若為真，然后證明即可；（2）先寫出逆命題，再按照由題設(shè)是否能推出結(jié)論進(jìn)行判斷，在舉出反例即可．【詳解】（1）解：真命題，證明如下：故命題為真命題；（2）解：逆命題為：如果兩個三角形的面積相等，那么這兩個三角形是等底等高的三角形，此命題是假命題；故逆命題為假命題．題型02全等三角形的性質(zhì)

A． B． C． D．【答案】C故選：C．A．24 B．23 C．22 D．26【答案】A故選：A．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)．直接根據(jù)全等三角形的性質(zhì)作答即可．故答案為：．【答案】2故答案為：2．(2)試判斷與之間的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)96【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算，垂線定義理解，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．題型03全等三角形的判定——邊角邊1.如圖，在方格紙上的圖形中，以下說法正確的是（

）【答案】A故選：A．2.要測量A，B間的距離（無法直接測出），兩位同學(xué)提供了如下測量方案：方案Ⅰ①如圖1，選定點(diǎn)O；③連接，測量的長度即可．方案Ⅱ①如圖2，選定點(diǎn)O；③連接，測量的長度即可．對于方案Ⅰ，Ⅱ，下列說法正確的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行.故選：D．

【答案】9∵是、的中點(diǎn)，故答案為：9．【答案】38m即測出的長即為雕塑底座兩端A、B間的距離．題型04全等三角形的判定——邊角邊A．18 B．24 C．36 D．48【答案】A故選A．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)．故選：B．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形成為解題的關(guān)鍵．故答案為：．【答案】故答案為：．【答案】(1)見解析(3)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】（1）證明：∵，分別是邊，邊上的高，點(diǎn)是的中點(diǎn)題型05全等三角形的判定——角邊角與角角邊①以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E；②以點(diǎn)C為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，以的長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)P；④作射線；

下列結(jié)論不一定正確的是（

）【答案】C故選：C.A．30 B．28 C．24 D．20【答案】A故選：A．【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，故答案為：．【答案】15或30【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，故答案為：15或30．5.閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)全等四邊形任務(wù)：【答案】(1)見解析(2)不能【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，全等四邊形的判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．題型06全等三角形的判定——斜邊直角邊【答案】A故選：A．【答案】D故選：D．【答案】25故答案為：25．【答案】故答案為：【答案】見解析題型07等腰與等邊三角形的性質(zhì)與判定A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故選：B．【答案】B∵對頂角相等，故選：B．【答案】或或故答案為：或或．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【答案】(1)(2)見詳解(3)4則點(diǎn)A到的距離與點(diǎn)N到的距離之和4．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉倍長中線和半角求解的常見做法．題型08角平分線與線段垂直平分線結(jié)合

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】解：如圖，連接，，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．A．32 B．34 C．22 D．16【答案】A【詳解】解：如圖，連接，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練使用各性質(zhì)定理．【答案】∵是的垂直平分線，故答案為：．【答案】【詳解】解：如圖，連接、，是的垂直平分線，故答案為：．5.如圖，ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分別為F、G．(1)求證：BG＝CF；(2)若AB＝18，AC＝6，求AF的長度．(3)直接寫出∠ADB、∠ADC、∠ADG之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析(2)AF=6【分析】（1）連接BD、CD，然后結(jié)合垂直平分線定理得到BD=CD，角平分線定理得到DG=DF，進(jìn)而得證DBGDCF，最后得到BG=CF；（2）結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得到BG=CF，然后證明DGADFA得到AG=AF，進(jìn)而利用已知條件求出AF的長；【詳解】（1）證明：連接BD、CD，∵ABC的外角平分線AD與邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DF⊥CA，DG⊥AB，∴BD=CD，DG=DF，∠DGB=∠DFC=90°，∴RtDBGRtDCF（HL），∴BG=CF．（2）解：∵AD平分∠BAF，∴∠DAG=∠DAF，∵DF⊥CA，DG⊥AB，∴∠DGA=∠DFA=90°，DG=DF，∴DGADFA（AAS），∴AG=AF，∵BG=ABAG，CF=AF+AC，CF=BG，∴ABAF=AF+AC，∵AC=6，AB=18，∴18AF=AF+6，∴AF=6．（3）解：∵DBGDCF，∵DGADFA，【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)定理、角平分線性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接BD、CD構(gòu)造全等三角形．題型09全等模型（一線三等角，手拉手，倍長中線等）

【答案】B可判斷A正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，平角的定義等知識點(diǎn)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D所以①正確，所以②正確，所以③正確，所以④正確，故選：D．【詳解】解：連接，如圖所示：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)，連接，∵為定值，∵兩點(diǎn)之間線段最短，【答案】①②③④綜上所述，正確的有①②③④；故答案為：①②③④．(2)見解析∵是邊上的中線，∵是邊上的中線，（3）解：如（2）圖，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解倍長中線法證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型10全等與等腰三角形動點(diǎn)求t【答案】D故選D．A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或10【答案】D∴點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)以及解直角三角形，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【答案】2，6，8故答案為：2，6，8．【答案】2或或12【分析】分點(diǎn)在上，點(diǎn)在上；點(diǎn)與點(diǎn)重合；與重合三種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，③如圖3，當(dāng)點(diǎn)與重合時，故答案為：2或或12．(3)cm【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可求解；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得方程，即可求解；（3）分兩種情況