習(xí)題課——二項式定理的應(yīng)用課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解二項式系數(shù)的性質(zhì),學(xué)會求二項展開式系數(shù)最值問題.2.掌握“賦值法”并會靈活應(yīng)用.3.會用二項式定理解決整除問題.

二項展開式的應(yīng)用1.利用通項公式

求指定項、特征項(常數(shù)項,有理項等)或特征項的系數(shù).2.近似計算,當(dāng)|a|與1相比較很小且n不大時,常用近似公式(1±a)n≈1±na,使用公式時要注意a的條件以及對計算精確度的要求.知識梳理

3.整除性問題與求余數(shù)問題,對被除式進行合理的變形,把它寫成恰當(dāng)?shù)亩検降男问?使其展開后的每一項含有除式的因式或只有一、二項不能整除.4.解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般方法是:觀察——分析,試驗——猜想結(jié)論——證明,要得出楊輝三角中的數(shù)字的諸多排列規(guī)律,取決于我們的觀察能力,注意觀察方法:橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看,從多角度觀察.【做一做1】

設(shè)a∈Z,且0≤a<13,若512016+a能被13整除,則a=(

)A.0 B.1 C.11 D.12答案:D答案:2【做一做3】

(1+2x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x3與x4項的二項式系數(shù)相等,則系數(shù)最大項為

.

答案:672x5探究一探究二探究三思維辨析

【例1】

在(3x-2y)20中,求:(1)二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)絕對值最大的項;(3)系數(shù)最大的項.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析【例2】

(1)用二項式定理證明1110-1能被100整除;(2)求9192被100除所得的余數(shù).分析利用二項式定理證明整除問題關(guān)鍵是判斷所證式子與除數(shù)之間的聯(lián)系,要掌握好對式子的拆分,如本例的第(1)小題,可以利用1110=(10+1)10的展開式進行證明,第(2)小題則可利用9192=(100-9)92的展開式,或利用(90+1)92的展開式進行求解.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

1.整除性問題或求余數(shù)問題的處理方法(1)解決這類問題,必須構(gòu)造一個與題目條件有關(guān)的二項式.(2)用二項式定理處理這類問題,通常把被除數(shù)的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再用二項式定理展開,只考慮后面(或者是前面)的幾項就可以了.(3)要注意余數(shù)的范圍,a=c·r+b這式子中b為余數(shù),b∈[0,r),r是除數(shù),利用二項式定理展開式變形后,若剩余部分是負(fù)數(shù)要注意轉(zhuǎn)換.2.利用二項式證明多項式的整除問題關(guān)鍵是將被除式變形為二項式的形式,使其展開后每一項均含有除式的因式.若f(x),g(x),h(x),r(x)均為多項式,則(1)f(x)=g(x)·h(x)?f(x)被g(x)整除.(2)f(x)=g(x)·h(x)+r(x)?r(x)為g(x)除f(x)后得的余式.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析【例3】若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,則實數(shù)m的值為(

)A.1或-3 B.-1或3 C.1 D.-3解析令x=0,得到a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令x=-2,得到a0-a1+a2-a3+…-a9=m9,所以有(2+m)9·m9=39,即m2+2m=3,解得m=1或-3.答案A當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析互動探究本例變?yōu)?若(x+2+m)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,則實數(shù)m的值為

.

解析:令x=2,得到a0+a1+a2+…+a9=(4+m)9,令x=0,得到a0-a1+a2-a3+…-a9=(m+2)9,所以有(4+m)9(m+2)9=39,即m2+6m+5=0,解得m=-1或m=-5.答案:-1或-5當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟

1.二項式定理給出的是一個恒等式,對于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時,令a,b等于多少時,應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,-1或0”,有時也取其他值.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測A.x=5,n=5 B.x=5,n=4C.x=4,n=4 D.x=4,n=3答案:B探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測2.在(1+x)2n+1的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是(

)A.第n項和第n+1項

B.第n-1項和第n項C.第n+1項和第n+2項

D.第n+2項和第n+3項答案:C探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測3.已知(2-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,則a1+a2+…+a9=

.

解析:由題意,