專題05根與系數(shù)的關(guān)系（8大類型精準(zhǔn)練+過關(guān)檢測(cè)）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

bc

如果方程ax2bxc0(a0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x，x那么xx，xx

12，12a12a

文字語言：一元二次方程的兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)

項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比

使用條件：

(1)方程是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)a≠0：

(2)方程有實(shí)數(shù)根，即△≥0

2.有關(guān)根與系數(shù)的關(guān)系的兩個(gè)重要推論

（）以，為實(shí)數(shù)根的一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為是2

1x1x2(1)xx1x2xx1x20;

（）如果方程2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，

2xmxn0;x1x2，x1x2mx1x2n

3.幾種主要的代數(shù)式求值問題

1

【課前熱身】

1．判別下列方程根的情況．若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求出兩個(gè)根的和與積．

（1）x24x10；

（2）x22x10；

（3）x23x20；

（4）x24x0．

．已知，是方程2的兩根，求下列各式的值：

2x1x22x6x30

（）

1x1x2

（）

2x1x2

（）22．

3x1x2

3．已知關(guān)于x的一元二次方程3x219xm0的一個(gè)根是1，求它的另一個(gè)根及m的值．

4．方程ax2bx100(a0)的兩根之和與兩根之積都等于10，求a，b的值．

【題型1】不解方程求兩根之和與兩根之積

．（?匯川區(qū)四模）已知，是方程2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為

12025x1x2x3x10x1x2()

A．1B．1C．3D．3

2．（2025春?界首市期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2mx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，則．

3．不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積．

（1）(x1)(x2)2；

（2）3x27x6．

4．求下列方程兩根的和與兩根的積：

（1）x24x10；

（2）2x23x2；

（3）3x22x0；

（4）4x21．

2

【題型2】利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值

．（春?天津校級(jí)月考）已知，分別是方程2的兩個(gè)根，則代數(shù)式33的值為

52025x1x2x4x30()

x1x2

A．4B．5C．2D．6

6．（2025春?泉州期中）設(shè)a，b是方程x2x20180的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2aab的值為()

A．0B．1C．4036D．2018

．（春?馬邊縣期中）已知一元二次方程2的兩根為，，則2的值為．

72025x3x10x1x2x15x12x2

．（秋?天河區(qū)校級(jí)月考）設(shè)，是方程2的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列

82024x1x22x4x30

各式的值：

（）；

1(x12)(x22)

xx

（2）21．

x1x2

．（春?濉溪縣期中）設(shè)，是方程2的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式

92025x1x22x4x30

的值．

（）；

1(x11)(x21)

11

（2）．

x1x2

【題型3】已知代數(shù)式的值求參數(shù)

m

10．（2025?聊城模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2(m2)x0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x，x．若

412

11

4m，則m的值是()

x1x2

A．2B．1C．2或1D．不存在

．（?綏化二模）設(shè)，是關(guān)于的方程2的兩個(gè)根，且，則．

112025x1x2xx4xm0x1x2x1x22m

．（春?北侖區(qū)期中）已知關(guān)于的一元二次方程2有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．實(shí)數(shù)滿

122025xxmx2m10x1x2m

6

足(x1)(x1)，則實(shí)數(shù)m的值為．

12m1

3

13．（2025?和平區(qū)校級(jí)模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x24x2m50有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍：

（）若、是該方程的兩個(gè)根，且滿足2，求的值．

2x1x2x1x2x1x2m6m

．（?和平區(qū)校級(jí)一模）關(guān)于的一元二次方程22有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．

142025xx(2m1)xm0x1x2

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（）當(dāng)時(shí)，求的值．

2x1x2x1x22m

．（?高密市三模）已知關(guān)于的一元二次方程2有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．

152025xx2xk10x1x2

（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（）若兩個(gè)實(shí)數(shù)根和滿足，求的整數(shù)值．

2x1x2x1x2x1x24k

【題型4】已知方程的一根求另一個(gè)根

16．（2025?鹿城區(qū)校級(jí)三模）若x3是關(guān)于x的一元二次方程x2mx30的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)

根是()

A．x1B．x4C．x1D．x2

17．（2025春?鳳陽(yáng)縣校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程ax22axk20有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）若方程的一個(gè)根為2，求方程的另一個(gè)根；

（2）當(dāng)a1時(shí)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

4

18．（2024秋?潮陽(yáng)區(qū)期末）若x1是關(guān)于x的方程(m1)x2x20的一個(gè)根，求m的值和方程的另

一根．

19．（2025春?永康市期中）已知關(guān)于x的方程x2mxm30．

（1）若該方程有一個(gè)根為3，求方程的另一根；

（2）求證：不論m取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

【題型5】已知兩根求一元二次方程

20．（2024秋?平頂山期末）已知一元二次方程的兩根分別是3和2，則這個(gè)一元二次方程是()

A．x2x60B．x25x60C．x2x60D．x2x60

21．（2024秋?即墨區(qū)期中）已知一元二次方程的兩根分別是2和3，則這個(gè)一元二次方程

是．

22．（2010春?懷化校級(jí)期中）已知一元二次方程的兩根為：75,75，則這個(gè)方程是．

23．（2024秋?輝縣市校級(jí)月考）解某個(gè)一元二次方程時(shí)，甲看錯(cuò)了方程的常數(shù)項(xiàng)，因而得出的兩根為8和

2；乙看錯(cuò)了方程的一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得出兩根為9或1，那么正確的方程為()

A．x210x90B．x210x90C．x210x90D．x210x90

24．已知一元二次方程的兩根都是整數(shù)，且不相等，若其中一根是另一根的整數(shù)倍，則稱該方程是整根方

程．例如：2的兩根為，．因?yàn)槭堑谋?，所?是整根方程．

xx20x11x22212xx20

（1）求證：方程x23x180是整根方程；

（2）若存在正整數(shù)m，使關(guān)于x的一元二次方程x2(m5)x4m40是整根方程，且關(guān)于x的一元二

次方程x24x2m0有實(shí)數(shù)根，求m的值．

5

【題型6】判別式和根與系數(shù)的關(guān)系綜合問題

．（春?崇川區(qū)校級(jí)月考）關(guān)于的一元二次方程2的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，．

252025xmx2mxm20x1x2

（1）求m的取值范圍；

（）若，求的值．

2|x1x2|1m

26．（2025?邗江區(qū)校級(jí)二模）已知關(guān)于x的方程：x22kxk230，其中k是常數(shù)．

（1）求證：不論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若m、n是此方程的兩個(gè)根，當(dāng)k1時(shí)，求代數(shù)式2025m22m4n的值．

27．（2025?尤溪縣一模）已知實(shí)數(shù)k、m、n(mn)，且滿足m22m3k1，n22n3k1．

（1）求證：mn的值是定值；

（2）若m、n同號(hào)，求k的取值范圍；

mn

（3）當(dāng)m、n同號(hào)時(shí)，設(shè)p，求p的取值范圍．

nm

6

28．（2025?涼州區(qū)校級(jí)二模）已知關(guān)于x的方程x22axa2b0，其中a，b為實(shí)數(shù)．

（1）當(dāng)a3，b2時(shí)，求方程兩根的平方和．

（2）當(dāng)a0時(shí)，若方程有一個(gè)根為2a，判斷a與b的大小關(guān)系并說明理由．

（3）若對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，此方程都有實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

【題型7】根與系數(shù)的關(guān)系與幾何問題

1

29．（2025春?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2mxm210．

4

（1）證明：該方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）已知該方程的兩根分別是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度，當(dāng)這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為10時(shí)，

求m的值．

30．（2025?五通橋區(qū)模擬）已知：平行四邊形ABCD的兩條邊AB，AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程

1

2x22mxm0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

2

（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形；

（2）若AB2，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

7

31．（2025春?杭州期中）已知ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x22(n1)xn22n0

的兩個(gè)根，第三邊BC的長(zhǎng)是10．

（1）求證：無論n取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）當(dāng)n為何值時(shí)，ABC為等腰三角形？并求ABC的周長(zhǎng)．

（3）當(dāng)n為何值時(shí)，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

【題型8】新定義探究問題

32．（2025春?溫州期中）定義：如果關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0(a，b，c均為常數(shù)，a0)有

兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．

（1）下列方程中，屬于“鄰根方程”的是（填序號(hào)）．

①x210；

②x26x90；

③x23x20．

（2）若(x2)(xn)0是“鄰根方程”，求n的值．

（3）若一元二次方程x2bxc0(b，c均為常數(shù)）為“鄰根方程”，請(qǐng)寫出b，c滿足的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由．

．（春?舟山期中）已知關(guān)于，是一元二次方程2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足，

332025x1x2axbxc0|x1x2|1

則此類方程叫做差根方程．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：

（1）下列是“差根方程”的是；（填寫序號(hào)）

①x2x0；②x24x50

（2）已知關(guān)于x的方程x22ax0是“差根方程”，求a的值．

（3）已知△ABC是直角三角形，BC的長(zhǎng)為5，若△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是一個(gè)“差根方程”的

兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求出這個(gè)差根方程．

8

一．選擇題（共6小題）

．（?柳州三模）若、是方程2的兩個(gè)根，則的值為

12025x1x2xx60x1x2()

A．1B．1C．6D．6

．（?秦皇島模擬）已知，是關(guān)于的方程22的兩個(gè)根，下列結(jié)論一定正確的是

22025x1x2xx(k1)xk0

()

．．．，．

Ax1x2Bx1x2Cx1x20Dx1x20

3．（2025?綿陽(yáng)三模）已知a和b是方程x22025x30的兩個(gè)解，則a22024ab的值為()

A．2020B．2024C．2026D．2028

4．（2025?西陵區(qū)模擬）已知一元二次方程x23xm0的一個(gè)根為1，則它的另一個(gè)根是()

A．2B．1C．1D．2

5．（2025?江陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知四邊形ABCD是菱形，菱形的兩邊AB、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方

m1

程x2mx0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的值為()

24

A．2B．1C．1D．2

6．（2025?市中區(qū)模擬）關(guān)于x的方程x22k1x2k0的兩實(shí)根異號(hào)，則k滿足的條件是()

9

A．k1B．1k1C．k0D．1k0

二．填空題（共6小題）

7．（2025?信都區(qū)二模）若關(guān)于x的一元二次方程x2mx30的兩個(gè)根分別為1，a，則a1．

8．（2025?天河區(qū)校級(jí)二模）已知a，b(ab)是方程x2x20240的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式a22025b

的值為．

．（?青羊區(qū)校級(jí)模擬）若，是方程2的兩個(gè)根，則22．

92025x1x22x3x103x13x1x2

10．（2025?郫都區(qū)校級(jí)模擬）若一元二次方程x24x20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是某直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)，

則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為．

11．（2025?廣州模擬）對(duì)于字母m、n，定義新運(yùn)算m☆nmnmn，若方程x23x10的解為a、

b，則a☆b2的值為．

12．（2025?鎮(zhèn)江模擬）定義：若一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的整數(shù)倍，則稱該

方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程2的兩個(gè)根為，，因?yàn)槭堑谋叮?/p>

x3x20x11x22x2x12

所以方程x23x20是“一元二次倍根方程”．已知n是正整數(shù)，若關(guān)于x的一元二次方程

x2(n4)x3n30是“一元二次倍根方程”，且關(guān)于y的一元二次方程y25yn0總有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根，則n的值為．

三．解答題（共6小題）

13．（2025春?昭平縣期中）已知關(guān)于x的一元二次方程(m1)x23x20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（1）求m的取值范圍；

（）在（）的條件下，若取最大正整數(shù)值，設(shè)、是該方程的兩根，求22的值．

21mx1x2x1x2x1x25

．（?南充）設(shè)，是關(guān)于的方程2的兩根．

142025x1x2x(x1)(x2)m

（）當(dāng)時(shí)，求及的值．

1x11x2m

（）求證：．

2(x11)(x21)0

．（?舒城縣模擬）已知關(guān)于的一元二次方程2為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和

152025xxpx10(px1

．

x2

（1）若方程有一個(gè)根為2，求p的值；

（）敏敏求出，老師說敏敏的這個(gè)答案一定有誤，你同意老師的觀點(diǎn)嗎？并給出理由．

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