專題01一元二次方程（8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練+2大易錯(cuò)點(diǎn)+過關(guān)檢測(cè)）

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的概念

1.定義等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并

且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程

2.一元二次方程的“三要素”

一是整式方程，二是只含一個(gè)未知數(shù)，三是整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2

3.對(duì)“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”的理解

(1)該項(xiàng)系數(shù)不為0:

(2)該項(xiàng)未知數(shù)指數(shù)為2;

(3)當(dāng)方程中的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí),字母取值不確定,這個(gè)方程不一定是一元二次方程.如

mx24x50,當(dāng)m=0時(shí),屬于一元一次方程.

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式

1.一般形式

一元二次方程的一般形式是ax2bxc0(a≠0).其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是

一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).

2.一元二次方程的一般形式的特點(diǎn):方程右邊是0,左邊是關(guān)于x的二次整式,且二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

3.特殊形式

1

二次項(xiàng)系數(shù)不為0,當(dāng)b取0或c取0時(shí),一元二次方程的一般形式呈現(xiàn)如下情況:

4.注意事項(xiàng)

確定一元二次方程的各項(xiàng)和各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要丟掉前面的符號(hào).一般情況下,將一元二次方程整理為一般

形式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù),要乘“-1”把它轉(zhuǎn)化為正數(shù),若有的項(xiàng)系數(shù)是分?jǐn)?shù),要把它轉(zhuǎn)化為整數(shù).

知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解(根)

1.概念

使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

如x=2和x=5都是方程x27x100的解(根).

2.一元二次方程的解(根)滿足的條件(1)未知數(shù)的值;(2)使方程左右兩邊相等

3.判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解(根)的方法

4.方法技巧

利用一元二次方程的根求字母的值或代數(shù)式的值的方法

（1）求字母的值：可根據(jù)一元二次方程的根的定義，把這個(gè)根代入原

方程，得到一個(gè)含字母的方程，直接解這個(gè)方程求出字母的值，

（2）求代數(shù)式的值：把待求式靈活變形，運(yùn)用代入法求值

1．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）下列方程是一元二次方程的是（）

1

A．x210B．x20

x

2

C．x1x2D．x2y10

2

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的判斷，根據(jù)只含有一個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次冪為2的整

式方程，叫做一元二次方程，進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：A、是一元二次方程，符合題意；

B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；

C、原方程化簡(jiǎn)得：2x10，不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，不符合題意；

D、含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；

故選A．

2．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）下列方程中是一元二次方程的是（）

1

A．x22x3B．x24C．x2y25D．x2

x2

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即形如ax2bxc0a0的整式方程叫做一元二次方程判斷．

本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：

A.x22x3，不是一元二次方程，不符合題意；

B.x24，是一元二次方程，符合題意；

C.x2y25，不是一個(gè)未知數(shù)，不符合題意；

1

D.x2，不是一元二次方程，不符合題意；

x2

故選：B．

3．（2024八年級(jí)上·上?！ｎ}練習(xí)）判斷下列方程是否為一元二次方程：

①1x20；

②2x213y；

③2x23x10；

12

④0；

x2x

22

⑤x3x3；

⑥9x254x．

【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是

【分析】本題利用了一元二次方程的概念．根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判定即可求解．只有一個(gè)未知數(shù)

且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2bxc0(a0)．特別要注意a0的

條件，這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．

【詳解】解：①1x20是一元二次方程；

3

②2(x21)3y中有2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；

③2x23x10是一元二次方程；

12

④0中未知數(shù)在分母上，是分式方程，不是一元二次方程；

x2x

22

⑤x3x3，即x26x9x26x9不是一元二次方程；

⑥9x254x是一元二次方程；

綜上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是．

【方法點(diǎn)睛】

一元二次方程的概念可利用口訣記憶：

等號(hào)兩邊是整式，

化簡(jiǎn)整理右邊0，

只含1個(gè)未知數(shù)，

最高次數(shù)是2次

4．（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）已知一元二次方程3x22x10，則它的一次項(xiàng)系數(shù)為（）

A．1B．2C．2D．2x

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的概念，形如ax2bxc0a0，且a，b，c為常數(shù)，分別稱為二次

項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．據(jù)此即可求解．

【詳解】解：一元二次方程3x22x10，則它的一次項(xiàng)系數(shù)為2，

故選：B．

5．（24-25九年級(jí)上·廣西賀州·期中）方程xx54x10化為一元二次方程的一般形式是（）

A．x29x100B．x2x100

C．x29x100D．x2x100

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的一般形式，首先利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式把等號(hào)左邊展開，然后移項(xiàng)，把

等號(hào)右邊化為0，再化簡(jiǎn)即可．解題的關(guān)鍵是掌握：任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如

下形式ax2bxc0a0，這種形式叫一元二次方程的一般形式．

【詳解】解：xx54x10，

x25x4x10，即x25x4x100，

∴x29x100，

∴方程xx54x10化為一元二次方程的一般形式是x29x100．

故選：A．

4

6．（2023九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、

一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．

(1)3x225x；

(2)9x216；

(3)2x(3x+1)=17；

(4)(3x-5)(x+1)=7x-2.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

(4)見解析

【分析】先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱．

【詳解】（1）解：方程化為一般形式為3x25x20，二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是5，常數(shù)項(xiàng)是2；

（2）解：方程化為一般形式為9x2160，二次項(xiàng)系數(shù)是9，一次項(xiàng)系數(shù)是0，常數(shù)項(xiàng)是16；

（3）解：方程化為一般形式為6x2+2x-17=0，二次項(xiàng)系數(shù)是6，一次項(xiàng)系數(shù)是2，常數(shù)項(xiàng)是17；

（4）解：方程化為一般形式為3x2-9x-3=0，二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是9，常數(shù)項(xiàng)是3．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2bxc0（a，b，c是常數(shù)且a0）特別要注意a0

的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其

中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．特別要注意確認(rèn)各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一定要包括前面

的符號(hào)．

【方法點(diǎn)睛】

確足一元一次萬程的各貝及具系數(shù)，三點(diǎn)注意莫忽視

(1)先把方程化為一般形式，如果二次項(xiàng)系數(shù)小于0，一般把方程兩邊同乘一1，將其二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化

為大于0的數(shù)

(2)指出一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，注意帶上前面的符號(hào)，不要漏掉.

(3)特例：若沒有出現(xiàn)一次項(xiàng)bx,則b=0:若沒有出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，則c=0.

7．（2025·黑龍江佳木斯·二模）若關(guān)于x的方程k2x23x10是一元二次方程，則k的取值范圍是（）

A．k0B．k2C．k2D．k0

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，形如ax2bxc0a0的方程是一元二次方程，據(jù)此解答即

可求解，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵關(guān)于x的方程k2x23x10是一元二次方程，

∴k20，

5

∴k2，

故選：B．

2

8．（24-25九年級(jí)上·甘肅武威·階段練習(xí)）若方程m1xm1x20是關(guān)于x的一元二次方程，則

m．

【答案】1

【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次冪是2次的整式方程，

特別注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0，正確把握定義是解題關(guān)鍵．

根據(jù)一元二次方程的定義得到m212,m10，即可求解．

【詳解】解：由題意得，m212,m10，

解得：m1，

故答案為：1．

9．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期中）已知關(guān)于x的方程m21x2(m1)xm0.

(1)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？

(2)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．

【答案】(1)m1

(2)當(dāng)m1時(shí)，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為m21，常數(shù)項(xiàng)為m

【分析】此題考查了一元二次方程以及一元一次方程的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解本題的關(guān)鍵．

（1）利用一元一次方程的定義判斷即可；

（2）利用一元二次方程的定義判斷確定出m的值，進(jìn)而確定出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)即可．

【詳解】（1）解：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．

由題意得：m210且m10，

m1．

當(dāng)m1時(shí)此方程是一元一次方程；

（2）由題意得：m210，

m1．

當(dāng)m1時(shí)，此方程是一元二次方程．

此一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為m21，常數(shù)項(xiàng)為m.

【方法點(diǎn)睛】

確定一元二次方程待定字母的值（或取值范圍）的步驟

(1)列：根據(jù)一元二次方程的定義，未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，二次項(xiàng)系數(shù)不為零，列出關(guān)于某個(gè)字母

的方程或不等式組；

(2)解：解方程或不等式組：

(3)定：確定字母的值（或取值范圍）.

6

10．（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·期中）下列各數(shù)中，哪個(gè)是方程x2x1的解（）

A．1B．1C．0D．2

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的解的定義，判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解，將此數(shù)代入這個(gè)一元

二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握

一元二次方程的解的定義解題的關(guān)鍵．將各選項(xiàng)中的x的值一一代入方程x2x1進(jìn)行驗(yàn)證即可作出判斷．

【詳解】解：A．當(dāng)x1時(shí)，

左邊1213，右邊1，左邊≠右邊，

∴x1不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意；

B．當(dāng)x1時(shí)，

左邊1211，右邊1，左邊＝右邊，

∴x1是方程的解，故此選項(xiàng)符合題意；

C．當(dāng)x0時(shí)，

左邊0200，右邊1，左邊≠右邊，

∴x0不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意；

D．當(dāng)x2時(shí)，

左邊2220，右邊1，左邊≠右邊，

∴x2不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意．

故選：B．

11．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列哪些數(shù)是一元二次方程x24x3的根？

2,0,1,2,3．

【答案】1和3

【分析】本題考查的是一元二次方程的解的含義，逐一把數(shù)據(jù)代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

【詳解】解：當(dāng)x2時(shí)，左邊(2)24212．

左邊右邊，

2不是一元二次方程x24x3的根．

當(dāng)x0時(shí)，左邊02400，

∵左邊右邊，

0不是一元二次方程x24x3的根．

當(dāng)x1時(shí)，左邊12413．

左邊=右邊，

1是一元二次方程x24x3的根．

7

當(dāng)x2時(shí)，左邊22424．

左邊右邊，

2不是一元二次方程x24x3的根．

當(dāng)x3時(shí)，左邊32433．

左邊=右邊，

3是一元二次方程x24x3的根．

綜上可知，1和3是一元一次方程x24x3的根．

12．（20-21九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）在下列各方程后面的括號(hào)內(nèi)分別給出了一組數(shù)，從中找出方程的解：

（1）2x260,(3,6,3,6)；

（2）2(x5)224,(523,523,523,523)．

【答案】（1）3；（2）235．

【分析】（1）根據(jù)方程的解的定義，把括號(hào)內(nèi)的數(shù)分別代入已知方程，進(jìn)行一一驗(yàn)證即可．

（2）根據(jù)方程的解的定義，把括號(hào)內(nèi)的數(shù)分別代入已知方程，進(jìn)行一一驗(yàn)證即可

【詳解】解：（1）把x＝3代入原方程，

2

左邊＝2×3?6＝0，右邊＝0，

∵左邊＝右邊

∴3是方程的解．

把x＝6代入原方程，

2

左邊＝2×6?6≠0，右邊＝0，

∵左邊≠右邊

∴6不是方程的解．

把x＝?3代入原方程，

2

左邊＝2×3?6＝0，右邊＝0，

∵左邊＝右邊

∴?3是方程的解．

把x＝?6代入原方程，

2

左邊＝2×6?6≠0，右邊＝0，

∵左邊≠右邊

∴?6不是方程的解．

（2）把x＝5＋23代入原方程，

2

左邊＝2×523≠24，右邊＝24，

8

∵左邊≠右邊

∴5＋23不是方程的解．

把x＝5?23代入原方程，

2

左邊＝2×523≠24，右邊＝24，

∵左邊≠右邊

∴5?23不是方程的解．

把x＝?5＋23代入原方程，

2

左邊＝2×523＝24，右邊＝24，

∵左邊＝右邊

∴?5＋23是方程的解．

把x＝?5?23代入原方程，

2

左邊＝2×523＝24，右邊＝24，

∵左邊＝右邊

∴?5?23是方程的解．

【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，學(xué)會(huì)利用代入法進(jìn)行驗(yàn)證一個(gè)數(shù)是不是方程的解．

【方法點(diǎn)睛】

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的解，

只需要代入原方程看是否左右相等.

13．（24-25九年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期末）在估算一元二次方程x212x150的解時(shí)，小明列表如下：

x1.11.21.31.4

x212x1500.590.842.293.76

請(qǐng)判斷其中一個(gè)解x的大致范圍是（）

A．0x1.1B．1.1x1.2C．1.2x1.3D．1.3x1.4

【答案】B

【分析】本題主要考查了估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是掌握估算一元二次方程近似解的方

法．結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，根據(jù)代數(shù)式x212x15的值的變化趨勢(shì)，即可進(jìn)行解答．

【詳解】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：x1.1時(shí)，x212x150.59；

x1.2時(shí)，x212x150.84，

故一元二次方程x212x150的一個(gè)解x的范圍是1.1x1.2．

故選：B．

9

14．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期中）觀察下面的表格：

x10.500.51

x23x152.7510.251

判斷方程x23x10的其中一個(gè)解的范圍是（）

A．0.5x0B．0x0.5C．1x2.75D．0.5x1

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的近似解，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．觀察表格可以發(fā)現(xiàn)

x23x10的值1和0.25最接近0，再看對(duì)應(yīng)的x的值即可得．

【詳解】解：由表格可知，當(dāng)x0時(shí)，x23x11；當(dāng)x0.5時(shí)，x23x10.25；

當(dāng)x23x10時(shí)，0x0.5，

故選：B．

15．（24-25九年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）根據(jù)下面表格中的信息，判斷關(guān)于x的方程

ax2bxc0.02a0的一個(gè)解x的范圍是（）

x3.243.253.26

ax2bxc0.020.010.03

A．x3.24B．3.24x3.25

C．3.25x3.26D．x3.26

【答案】C

【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．由表中數(shù)據(jù)得到x3.25時(shí)，

ax2bxc0.01；x3.26時(shí)，ax2bxc0.03，則取3.25到3.26之間的某一個(gè)數(shù)時(shí)，使ax2bxc0.02，

于是可判斷關(guān)于x的方程ax2bxc0.02a0的一個(gè)解x的范圍．

【詳解】解：x3.25時(shí)，ax2bxc0.01；x3.26時(shí)，ax2bxc0.03，

關(guān)于x的方程ax2bxc0.02a0的一個(gè)解x的范圍是3.25x3.26．

故選：C．

16．（24-25九年級(jí)上·遼寧大連·期中）若x1是關(guān)于x的一元二次方程x2mx40的一個(gè)根，則m的值

是（）

A．3B．2C．2D．3

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程解的定義，解題關(guān)鍵是將已知根代入方程，構(gòu)建關(guān)于m的一元一次方程并

求解．

根據(jù)方程根的定義，將x1代入方程x2mx40得到關(guān)于m的方程，再求解該方程即可．

10

【詳解】解：∵x1是方程x2mx40的一個(gè)根，

∴把x1代入方程x2mx40，得到12m140，

1m40．

解得m3．

故選：A．

17．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2kx10的一個(gè)根為1，則k的值

為．

【答案】3

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的定義，熟練掌握一元二次方程的根即能夠使方程左右兩邊相

等的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．

將x1代入原方程即可求解．

【詳解】解：將x1代入方程2x2kx10，得：2k10，

解得：k3．

故答案為：3．

18．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知x1是關(guān)于x的一元二次方程x2mx30的一個(gè)根，則m．

【答案】4

【分析】本題考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含義是解題的關(guān)鍵．

把x1代入原方程可得答案．

【詳解】解：把x1代入原方程：1m30，

m4．

故答案為：4．

【方法點(diǎn)睛】

已知方程的一個(gè)根，求代數(shù)式或待定系數(shù)的值時(shí)，可根據(jù)一元二次方程的根的定義，把根代入原方

程，得到一個(gè)關(guān)于某個(gè)字母的方程，通過方程巧求代數(shù)式的值或解方程求字母的值

19．（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知a是方程x22x3的一個(gè)根，則代數(shù)式2a24a2025的值為．

【答案】2031

【分析】本題考查了一元二次方程的根的定義，求代數(shù)式的值，根據(jù)一元二次方程的根的定義得出a22a3，

2

然后把2a24a2025變形為2a2a2025，再把a(bǔ)22a3整體代入計(jì)算即可．

【詳解】解：∵a是方程x22x3的一個(gè)根，

∴a22a3，

∴2a24a2025

2a22a2025

11

232025

2031，

故答案為：2031．

20．（2025·山東威?！ざ＃┮阎P(guān)于x的一元二次方程x2b2xa0的一個(gè)根是xaa0，則ab

的值為．

【答案】1

【分析】此題考查一元二次方程的解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義求解即可．

【詳解】解：將xa代入x2b2xa0，

得a2b2aa0，即a2abaaab10，

∵a0，

∴ab1，

故答案為：1．

21．（24-25九年級(jí)上·北京·期中）已知m是方程x23x70的根，求代數(shù)式m3m3mm6的

值．

【答案】5

【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解．先根據(jù)一元二次方程根的定義得到m23m1，再把所求代數(shù)式變形，然后利用整體代入的方法計(jì)算．

【詳解】解：m是方程x23x70的根，

m23m7，

m3m3mm6

m29m26m

2m26m9

2(m23m)9

279

5．

22．（2025·四川綿陽·一模）臨近6月，九年級(jí)的同學(xué)就要畢業(yè)了，在畢業(yè)典禮中某班每一位同學(xué)都將自己

的照片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，該班共送了2652張照片．設(shè)該班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出

方程應(yīng)為（）

2

A．x22652B．xx12652C．x12652D．2xx12652

【答案】B

【分析】本題主要考查了列一元二次方程，根據(jù)每一位同學(xué)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張留作

紀(jì)念，即設(shè)全班有x名學(xué)生，則每人要贈(zèng)送x1張相片，據(jù)此根據(jù)照片總數(shù)量為2652張列一元二次方程

12

即可．

【詳解】解：設(shè)全班有x名學(xué)生，則每人要贈(zèng)送x1張相片，

根據(jù)題意可得出xx12652，

故選：B

23．（24-25九年級(jí)下·重慶江津·期中）在研究物體的放射性衰變時(shí)，我們常常關(guān)注放射性物質(zhì)質(zhì)量隨時(shí)間

的變化．假設(shè)在2023年初，有一塊質(zhì)量為500克的某種放射性同位素．由于放射性衰變，其質(zhì)量會(huì)逐年減

少．到2025年初，經(jīng)過精確測(cè)量，該放射性同位素的質(zhì)量降至405克．設(shè)這種放射性同位素質(zhì)量的年平均

減少率為x，則下列方程正確的是（）

22

A．5001x405B．5001x405

22

C．4051x500D．4051x500

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握利用增長(zhǎng)率和減少率列一元二次方程是解題的關(guān)

2

鍵．設(shè)這種放射性同位素質(zhì)量的年平均減少率為x，則2024年初為5001x，2025年初為5001x，即

可解答．

【詳解】解：設(shè)這種放射性同位素質(zhì)量的年平均減少率為x，

2

根據(jù)題意，得；5001x405，

故選：B．

24．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形草坪的長(zhǎng)和寬分別為30m，20m，若將該草坪的長(zhǎng)和寬各增加xm，

擴(kuò)建后增加的面積是原來矩形草坪面積的1．根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

2

33

A．20x30x2030B．20x30x2030

22

11

C．x22030D．20x30x2030

22

【答案】A

1

【分析】由題意“擴(kuò)建后增加的面積是原來矩形草坪面積的”，可知擴(kuò)建后草坪的面積是原來矩形草坪面積

2

33

的，由此可得方程為20x30x2030．本題考查了列一元二次方程解應(yīng)用題，讀懂題意，找

22

等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

13

【詳解】解：設(shè)該草坪的長(zhǎng)和寬各增加xm，根據(jù)題意得

3

20x30x2030，

2

故選：A．

【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽略一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件

當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)或未知數(shù)的最高次數(shù)含字母時(shí)，必須保證二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且未知數(shù)的

最高次數(shù)為2

2

1．方程(m1)xm1(m3)x10．

（1）當(dāng)m取何值時(shí)是一元二次方程？

（2）當(dāng)m取何值時(shí)是一元一次方程？

【答案】（1）m1；

（2）m0或m1．

【分析】（1）只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此求出m的值

即可；

（2）只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次方程，據(jù)此分m0和m0兩種情

況討論求解即可．

2

【解答】解：（1）方程(m1)xm1(m3)x10是一元二次方程，

m212

，

m10

m1；

（2）當(dāng)m0時(shí)，原方程為x3x10，是一元一次方程，符合題意；

當(dāng)m0時(shí)，

2

方程(m1)xm1(m3)x10，

m10

，

m30

m1；

綜上所述，m0或m1．

2．已知關(guān)于x的方程(m23)x2(m3)x20．

（1）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？

（2）當(dāng)m為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？

【答案】（1）3；

（2）m3．

14

【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義解答即可；

（2）根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．

【解答】解：（1）方程(m23)x2(m3)x20是一元一次方程，

則m230，且m30．

解得m3；

（2）方程(m23)x2(m3)x20是一元二次方程，

則m230，

解得m3．

【易錯(cuò)點(diǎn)2】未整理成一般形式就確定方程的項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)而出錯(cuò)

一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)是針對(duì)一元二次方程的一般形式定義的，因此確定一元

二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)時(shí)，若方程不是一般形式，需將這個(gè)一元二次方程化為一般

形式.同時(shí)要注意，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)包括它們前面的符號(hào).不含一次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)時(shí)，一次項(xiàng)

系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)為0

3．關(guān)于x的一元二次方程2(x1)2b(x1)c0化為一般形式后為2x23x10，試求b，c的值．

【答案】b1，c2．

【分析】先利用乘法公式展開，再合并得到一般式為2x2(b4)x2bc0，于是得到b43，

2bc1，然后解方程得到b、c的值．

【解答】解：2(x22x1)bxbc0，

2x2(b4)x2bc0，

所以b43，2bc1，

解得b1，c2．

4．設(shè)a，b，c分別是一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)下列條件，寫

出該一元二次方程．

（1）a:b:c3:4:5，且abc36；

（2）(a2)2|b4|c60．

【分析】（1）設(shè)一份為k，表示出a，b及c，代入abc36列出關(guān)于k的方程，求出方程

的解得到k的值，確定出a，b及c的值，寫出方程即可；

（2）利用非負(fù)數(shù)之和為0，非負(fù)數(shù)分別為0求出a，b及c的值，寫出方程即可．

【解答】解：（1）設(shè)一份為k，則a3k，b4k，c5k，

3k4k5k12k36，

15

解得：k3，

a9，b12，c15，

則方程為9x212x150；

（2）(a2)2|b4|c60，

a20，b40，c60，

解得：a2，b4，c6，

則方程為2x24x60．

一、單選題

1．（24-25九年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）下列方程是一元二次方程的是（）

21

A．x20B．x26x80C．x310D．x6

x

【答案】B

16

【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義，根據(jù)“含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式

方程”進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：A、x20是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合題意；

B、x26x80是一元二次方程，故符合題意；

C、x310，未知數(shù)的最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，故不符合題意；

1

D、x26該方程含有分式，不是一元二次方程，故不符合題意；

x

故選：B．

2．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期中）關(guān)于x的方程a1x2x20是一元二次方程，則a滿足（）

A．a(chǎn)1B．a(chǎn)1C．a(chǎn)1D．為任意實(shí)數(shù)

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知一元二次方程的定式是解題的關(guān)鍵；

一般地形如ax2bxc0（a，b，c都是常數(shù)，且a0）的方程叫做一元二次方程，據(jù)此解答即可．

【詳解】方程a1x2x20是關(guān)于x的一元二次方程，

a10，

解得a1．

故選：A．

3．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期中）已知xm是一元二次方程x2x10的一個(gè)根，則代數(shù)式m2m2022

的值為（）

A．2021B．2022C．2023D．2024

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次

方程的解，解題時(shí)應(yīng)注意把m2m當(dāng)成一個(gè)整體，利用了整體的思想．

將xm代入原方程求出m2m1，然后整體代入代數(shù)式求解即可．

【詳解】解：將xm代入方程x2x10，

得m2m10，即m2m1，

∴m2m2022120222023，

故選：C．

4．（24-25九年級(jí)上·甘肅酒泉·期中）若關(guān)于x的一元二次方程2x23xk0的一個(gè)根為1，則k的值為（）

17

A．1B．2C．D．

22

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值，據(jù)此把x1代入原方程中求解即可．

17

【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x23xk0的一個(gè)根為1，

∴把x1代入2x23xk0中得：21231k0，解得k1，

故選：A．

5．（24-25九年級(jí)上·甘肅酒泉·期中）根據(jù)表格，判斷關(guān)于x的方程ax2bxc0a0的一個(gè)解x的取值

范圍為（）

x1.11.21.31.4

ax2bxc-0.590.842.293.76

A．0.59x0.84B．1.1x1.2

C．1.2x1.3D．1.3x1.4

【答案】B

【分析】本題考查了用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程

兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時(shí)，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得：x1.1和x1.2時(shí)，

代數(shù)式ax2bxc的值一個(gè)小于0，一個(gè)大于0，從而可判斷當(dāng)1.1x1.2的某個(gè)值時(shí)，代數(shù)式ax2bxc

的值為0．

【詳解】解：當(dāng)x1.1時(shí)，ax2bxc0.590，

當(dāng)x1.2時(shí)，ax2bxc0.840，

所以方程ax2bxc0a0的一個(gè)解x的取值范圍為：1.1x1.2，

故選：B．

6．（2025·山西呂梁·二模）太原的名優(yōu)特產(chǎn)老陳醋醋香四溢，具有軟化血管等功效．一位經(jīng)銷商在直播平

臺(tái)經(jīng)營(yíng)某種老陳醋禮盒，其進(jìn)價(jià)為每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20盒．若該經(jīng)銷商想要平均每天獲利2240元，每盒老

陳醋禮盒應(yīng)降價(jià)多少元？若設(shè)每盒老陳醋禮盒應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）

xx

A．70x50100202240B．70x50100202240

22

xx

C．70x50100202240D．70x50100202240

22

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意設(shè)每盒應(yīng)降價(jià)x元，再根據(jù)利潤(rùn)（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）銷

量即可列出方程．

【詳解】解：設(shè)每盒應(yīng)降價(jià)x元，

∵商場(chǎng)平均每天可銷售老陳醋禮盒100盒，如果降價(jià)2元，則每天可多售出20盒，

x

∴銷量為：10020盒，

2

18

∵平均每天盈利2240元，

x

∴70x50100202240，

2

故選：B．

二、填空題

7．（24-25九年級(jí)上·江西宜春·階段練習(xí)）已知一元二次方程3x25x10的二次項(xiàng)系數(shù)為3，則一次項(xiàng)系

數(shù)為．

【答案】5

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，多項(xiàng)式的項(xiàng)和單項(xiàng)式的系數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，注意：找多項(xiàng)式的

項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，帶著前面的符號(hào)．根據(jù)一元二次方程的一般形式得出答案即可．

【詳解】解：∵一元二次方程3x25x10的二次項(xiàng)的系數(shù)為3，

∴一次項(xiàng)的系數(shù)為5，

故答案為：5．

mm21

8．（24-25九年級(jí)上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）若m1x2mx10是關(guān)于x的一元二次方程，則m

的值是．

【答案】1或3

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解法，理解一元二次方程的定義和解法是解答

關(guān)鍵．

根據(jù)一元二次方程的定義，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程列出方

程來求解．

mm21

【詳解】解：m1x2mx10是關(guān)于x的一元二次方程，

m10

，

mm212

解得m1或m3．

故答案為：1或3．

9．（23-24九年級(jí)上·廣西河池·期中）若m是方程2x23x10的一個(gè)根，則6m29m2的值．

【答案】1

【分析】本題考查一元二次方程的根，代數(shù)式求值，根據(jù)方程的根得到2m23m10，進(jìn)而得到2m23m1，

整體代入法求出代數(shù)式的值即可．

【詳解】解：由題意，得：2m23m10，

∴2m23m1，

∴6m29m232m23m23121，

故答案為：1．

19

10．（24-25九年級(jí)上·廣東惠州·階段練習(xí)）一次會(huì)議上，每?jī)蓚€(gè)參加會(huì)議的人都相互握一次手，有人統(tǒng)計(jì)

一共握手56次，設(shè)這次參加會(huì)議有x人，那么可以列方程為．

1

【答案】xx156

2

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)到會(huì)的人數(shù)為x人，則每個(gè)人握手x1次，根據(jù)題意列出一

元二次方程，即可求解．

【詳解】解：設(shè)到會(huì)的人數(shù)為x人，則每個(gè)人握手x1次，

1

根據(jù)題意得，xx156

2

1

故答案為：xx156．

2

11．（24-25九年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中記錄了

這樣一個(gè)問題：“直田積八百六十四步，只云闊與長(zhǎng)共六十步，問闊及長(zhǎng)各幾步？”其大意是：矩形面積是

864平步，其中寬與長(zhǎng)的和為60步，問寬和長(zhǎng)各幾步？若設(shè)矩形的長(zhǎng)為x步，根據(jù)題意可列方程．

【答案】x(60x)864

【分析】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，是解題

的關(guān)鍵．由寬和長(zhǎng)共六十步，可得出寬為60x步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一

元二次方程．

【詳解】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x步，則寬為60x步，根據(jù)題意得：

x60x864．

故答案為：x60x864．

三、解答題

12．（22-23八年級(jí)下·浙江·課后作業(yè)）判斷下列各式哪些是一元二次方程．

11

①x2x1；②9x26x0；③y20；④5x240；

22x

⑤x2xy3y20；⑥3y22；⑦(x1)(x1)x2．

【答案】②③⑥.

【分析】直接根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．

【詳解】解：①x2x1不是方程；

1

④5x240不是整式方程；

2x

⑤x2xy3y20含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元方程；

⑦(x1)(x1)x2化簡(jiǎn)后沒有二次項(xiàng)，不是2次方程，

②③⑥符合一元二次方程的定義．

20

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的辨別，熟練掌握一元二次方程的定義是解答此題的關(guān)鍵．

13．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出二次項(xiàng)系數(shù)、一

次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．

(1)3x212x；

(2)xx24x23x；

(3)關(guān)于x的方程mx2nxmxnx2qpmn0．

【答案】(1)3x2-2x-1=0，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為2，常數(shù)項(xiàng)為1

(2)3x2x0，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0

(3)mnx2mnxpq0，二次項(xiàng)系數(shù)為(m+n)，一次項(xiàng)系數(shù)為m