第02講特殊的平行四邊形

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)速記：知識點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

一、平行四邊形的性質(zhì)與判定

1.平行四邊形的性質(zhì)：

（1）平行四邊形的概念：有的四邊形叫做平行四邊形．

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的．

②角：平行四邊形的．

③對角線：平行四邊形的．

（3）平行線間的距離處處．

（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積．

2.平行四邊形的判定：

（1）兩組對邊的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

1

（2）兩組對邊的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（3）一組對邊的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（4）兩組對角的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

（5）對角線的四邊形是平行四邊形．

符號語言：∵

∴四邊行ABCD是平行四邊形．

3.三角形的中位線：

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線，并且．

（2）幾何語言：

如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)

1

∴,DEBC

2

二、矩形的性質(zhì)與判定

1.矩形的性質(zhì)：

（1）矩形的定義：的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是；

③邊：鄰邊；

④對角線：矩形的對角線；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線；對稱

中心是兩條對角線的交點(diǎn)．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

2.矩形的判定：

①矩形的定義：的平行四邊形是矩形；

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③的平行四邊形是矩形（或“的四邊形是矩形”）

1.矩形的性質(zhì)：

（1）矩形的定義：的平行四邊形是矩形．

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是；

2

③邊：鄰邊；

④對角線：矩形的對角線；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的直線；對稱

中心是兩條對角線的交點(diǎn)．

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

2.矩形的判定：

①矩形的定義：的平行四邊形是矩形；

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③的平行四邊形是矩形（或“的四邊形是矩形”）

三、菱形的性質(zhì)與判定

1.菱形的性質(zhì)：

（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

（2）菱形的性質(zhì)：

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的都相等；

③菱形的兩條對角線，并且每一條對角線；

④菱形是圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．

（3）菱形的面積計(jì)算

1

①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=ab．（a、b是兩條對角線的長度）

2

2.菱形的判定：

①菱形定義：的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②都相等的四邊形是菱形．

③的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．

四、正方形的性質(zhì)與判定

1.正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對角線，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．

④兩條對角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．

2.正方形的判定：

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．

考點(diǎn)一：平行四邊形的性質(zhì)與判定

3

例1．（24-25八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD2AB，ECAB于

點(diǎn)E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，連接EF，CF．

BCD

(1)求的值．

DCF

(2)求證：EFCF．

【變式訓(xùn)練1】

1．（24-25八年級下·重慶·期中）如圖，在VABC中，ABAC，B，將VABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

DEC．連接AD，與線段CE交于點(diǎn)F．若CD∥AB，則EDF一定等于（）

A．2B．3C．1802D．1803

2．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）已知如圖，在ABCD中，ADAB，ABC為銳

角，將VABC沿對角線AC邊平移，得到ABC，連接AB和CD，若使四邊形ABCD

是菱形，需添加一個(gè)條件，現(xiàn)有三種添加方案，甲方案：ABDC；乙方案：BDAC；

丙方案：ACBACD；其中正確的方案是（）

A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲

3．（24-25八年級下·安徽黃山·期中）如圖，在VABC中，ACB90，M，N分別是AB,AC

1

的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)D，使CDBD，連接DM,DN,MN，若AC=8cm，BC=6cm，

3

則DN．

考點(diǎn)二：矩形的性質(zhì)與判定

4

例2．（24-25八年級下·北京·期中）如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,E為CD邊上一動點(diǎn)（不與

C、D重合），F(xiàn)在射線BC上，且OEOF，連接EF．

(1)如圖1，若E為CD的中點(diǎn)，AB4,BC3，則EF___________；

(2)如圖2，E為CD上一動點(diǎn)，

①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

②寫出DE、EF、BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【變式訓(xùn)練2】

1．（23-24八年級下·河北張家口·期中）如圖，在VABC中，AB3，AC4，BC5，P為邊BC上一動點(diǎn)，

PEAB于E，PFAC于F，M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值為（）

A．2.4B．2C．1.6D．1.2

2．（2024·重慶銅梁·一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線AC上一點(diǎn)，PEAB,PFBC，垂足

分別為E，F(xiàn)，連接EF．若BEF，則CDP一定等于（）

A．90B．2C．1803D．45

5

3（24-25八年級下·陜西延安·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DCBC，B=60，BC2AD，

點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，EF．

(1)求證：四邊形AFCD是矩形；

(2)求ADE的度數(shù)．

考點(diǎn)三：菱形的性質(zhì)與判定

例3．（24-25八年級下·全國·階段練習(xí)）如圖，在△ACB中，ACB90，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連

接CD，過點(diǎn)C作CE∥AB，過點(diǎn)A作AE∥CD，CE，AE交于點(diǎn)E，連接DE交AC于點(diǎn)O．

(1)求證：四邊形AECD是菱形；

(2)連接BE交AC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，若DECE，CD2，求OF的長．

【變式訓(xùn)練3】

1．（24-25八年級下·天津·期中）如圖，在ABCD中，以點(diǎn)D為圓心，CD的長為半徑作弧交AD于點(diǎn)G，

1

分別以點(diǎn)C，G為圓心，大于CG的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線DE交BC于點(diǎn)F，交CG于

2

點(diǎn)O，若AB13，GC24，則DF的長為（）

A．10B．9C．12D．6.5

6

2．（24-25八年級下·安徽黃山·期中）如圖，在菱形ABCD中，BAD60，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD

延長線上的一點(diǎn)，且CDDE，連接BE分別交AC，AD于點(diǎn)F，G，連接AE，則下列結(jié)論：①ACAE；

②DEG≌ABG；③OG∥AB；④四邊形ABDE是菱形．其中正確的有（）

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④

3．（24-25八年級下·全國·期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DE∥AC,CE∥BD．

(1)求證：四邊形OCED為菱形；

(2)求證：AEBE；

(3)若AB1,AC3，則菱形OCED的面積為_________．

考點(diǎn)四：正方形的性質(zhì)與判定

例4．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在矩形ABCD中，AD6，CD8，菱形EHQP的

三個(gè)頂點(diǎn)E、H、Q分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD上，BH2，連接DP．

(1)若CQ2，求證：四邊形EHQP為正方形；

(2)若DQ6，求PDQ的面積．

7

【變式訓(xùn)練4】

1．（24-25九年級上·遼寧沈陽·期末）如圖，VABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，BD平分ABC，過點(diǎn)D作DE∥BC，

與AB交于點(diǎn)E，作DF∥AB，與BC交于點(diǎn)F，連接EF．則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．四邊形BFDE是菱形

B．BD與EF互相垂直且平分

C．當(dāng)ABBC時(shí)，四邊形DEFC是菱形

D．若ABC90時(shí)，則四邊形BFDE是正方形

2．（2025·貴州·模擬預(yù)測）如圖，VABC是等腰直角三角形，ABC90，O是AC的中點(diǎn)，連接BO并延

長至D，使得DOBO，連接AD和CD．①以點(diǎn)D為圓心，DC的長為半徑畫弧交BD于點(diǎn)E；②分別

1

以點(diǎn)C、E為圓心，大于CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線DP交BC于點(diǎn)F，連接EF．若

2

AB222，CF．

3．（24-25八年級下·江蘇徐州·期中）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，CD上兩點(diǎn)，BE交AF于

點(diǎn)G，且DECF．

(1)判斷BE與AF之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由：

(2)當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，連接GD，求DGF的度數(shù)．

8

考點(diǎn)五：中點(diǎn)四邊形

例5．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，ACBD，ACa，BDb，

順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形

A2B2C2D2……如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBnCnDn．給出下列結(jié)論：①四邊形A3B3C3D3是矩形；②四邊形

abab

A4B4C4D4是菱形；③四邊形ABCD的周長是；④四邊形AnBnCnDn的面積是．其中，正確的結(jié)論

555542n1

有（）．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【變式訓(xùn)練5】

1．（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（）

A．正方形B．矩形C．菱形D．不能確定

2．（24-25八年級下·安徽淮北·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，下列結(jié)

論正確的是（）

A．若四邊形ABCD是平行四邊形，則四邊形EFGH是矩形

B．若四邊形ABCD是菱形，則四邊形EFGH是矩形

C．若四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD是矩形

D．若四邊形EFGH是正方形，則四邊形ABCD是正方形

3．（24-25八年級下·江蘇南京·期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線

ACBD，且ACBD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中

點(diǎn)．若ABCD的最小值是2，則BD的長度為（）

A．1B．2C．3D．4

9

考點(diǎn)六：四邊形與翻折問題

例6．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片ABCD沿過D的直

線折疊，使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)C處，得到折痕DE，然后再把紙片展平；第二步：如圖2，將圖1的矩形

紙片ABCD沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好落在CD上的點(diǎn)A處，得到折痕EF,BC交AB于點(diǎn)M，再把紙

片展平．問題解決：

(1)如圖1，求證：四邊形CDCE是正方形．

(2)如圖2，若CA3,DA6，求△ACM的面積．

【變式訓(xùn)練6】

1．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB16，BC8，將矩形沿AC折疊，

點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，且CE交AB于點(diǎn)F，則CF的長為（）

A．13B．10C．8D．6

2．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在矩形ABCD中，BC2AB，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，

OF

將VABC沿AC翻折，得到△AEC，其中，AD與CE相交于點(diǎn)F，連接OF，則為（）

DF

355

A．B．1C．D．

435

10

3．（23-24八年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，已知在正方形ABCD中，ABBCCDDA，

ABCD90．將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在DC邊的中點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在P處，折痕為

EF．已知BD長為82．

(1)求線段AB和線段CF的長；

(2)連接EQ，EQ．

考點(diǎn)七：四邊形與動點(diǎn)問題

例7．（24-25八年級下·河北唐山·期中）在四邊形ABCD中，AD∥BC，B90，AB4cm，

AD12cm，BC13cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A以0.5cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C以1.5cm/s的速度同時(shí)向

點(diǎn)B運(yùn)動．規(guī)定其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．

(1)求t為何值時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形？

(2)求t為何值時(shí)，四邊形PQBA是矩形？

(3)在整個(gè)運(yùn)動過程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四邊形PQCD是菱形；

(4)若只改變線段BC的長度，其余條件都不變，在整個(gè)運(yùn)動過程中，當(dāng)四邊形PQBA是正方形時(shí)，請你求出

t的值和線段BC的長度．

11

【變式訓(xùn)練7】

1．（22-23八年級下·江蘇常州·期中）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD(ABBC)的對稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB

向點(diǎn)B運(yùn)動，移動到點(diǎn)B停止，延長EO交CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀是下列圖形中的哪些：①平

行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形．（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

2．（2023·河北·二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB90，AD8cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，

以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)

時(shí)，兩個(gè)動點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（）

A．當(dāng)t3s時(shí)，四邊形ABMP為矩形B．當(dāng)t4s時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形

C．當(dāng)CDPM時(shí)，t3sD．當(dāng)CDPM時(shí)，t3s或5s

3．（24-25八年級下·浙江金華·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB2，BC22，B45，點(diǎn)E

為BC中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線EBBA以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動．作PEQ90，EQ交

邊AD或邊DC于點(diǎn)Q，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒．(t0)

(1)當(dāng)P在AB上運(yùn)動時(shí)，用含t的式子表示出線段BP的長；

PE

(2)當(dāng)Q點(diǎn)落在平行四邊形ABCD的某邊中點(diǎn)上時(shí)，求的值（用含t的代數(shù)式表示）；

PQ

(3)作點(diǎn)E關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)F，連接PF、QF，當(dāng)四邊形EPFQ和平行四邊形ABCD重疊部分圖形為軸

對稱四邊形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

12

考點(diǎn)八：四邊形與最值問題

例8．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝AC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接CE、AF．

（1）求證：四邊形AECF是矩形；

（2）當(dāng)平行四邊形ABCD的邊或角滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AECF是正方形？請說明理由．

（3）在（2）的條件下，若AE＝4，點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動時(shí)，求PE+PM的最小值．

【變式訓(xùn)練8】

1．（23-24八年級下·重慶·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)M在DC上，DM1，點(diǎn)N是AC

上的一個(gè)動點(diǎn)，那么DNMN的最小值是（）

A．3B．4C．13D．11

2．（22-23八年級下·湖北荊門·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB8，AD6，E，F(xiàn)分別是AB和DC上

的兩個(gè)動點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，則DEEFFM的最小值是．

13

3．（2021·山東濟(jì)寧·一模）如圖，菱形ABCD的邊長為1，ABC60，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，

線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點(diǎn)F，C，AE，EF的中點(diǎn)分別為M，N．

(1)求證：AFEF；

(2)求MNNG的最小值．

考點(diǎn)九：四邊形與垂直十字架模型

例9．如圖，將一邊長為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至DC邊上的點(diǎn)E，使DE5，若折

痕為PQ，則PQ的長為（）

A．13B．14C．15D．16

例9．

1.如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重

合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（）

A．210B．25C．6D．5

14

2.如圖1，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作BGAE于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G．

(1)求證：AEBG；

(2)如圖2，連接AG、GE，點(diǎn)M、N、P、Q分別是AB、AG、GE、EB的中點(diǎn)，試判斷四邊形MNPQ的形狀，

并說明理由；

(3)如圖3，點(diǎn)F、R分別在正方形ABCD的邊AB、CD上，把正方形沿直線FR翻折，使得BC的對應(yīng)邊恰好

經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AOFR于點(diǎn)O，若AB1，正方形的邊長為3，求線段OF的長．

考點(diǎn)十：四邊形與對角互補(bǔ)模型

例10．如圖，在四邊形ABCD中，ABBC,ABCCDA90,BEAD于E,S四邊形ABCD10，則BE

的長為

【變式訓(xùn)練10】

1.（2021八年級·全國·專題練習(xí)）已知：ABCADC90,ADDC，求證：BCAB2BD．

15

2.問題背景

如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊

1

分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．

2

（1）特殊情景

在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時(shí)”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間

的數(shù)量關(guān)系為______．

（2）類比猜想

類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，

請你幫助小明完成證明；若不成立，請說明理由．

（3）解決問題

如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD2，請

直接寫出DE的長．

16

考點(diǎn)十一：四邊形與半角模型

例11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OD上，連接AP并延長

交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AP交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①APPF；

②DEBFEF；③PBPD2BF；④SAEF為定值；⑤S四邊形PEFGS△APG．以上結(jié)論正確的有（）

A．①②③B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤

【變式訓(xùn)練11】

1.如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，連接

BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，下列說法：

①EAF45；

②連接MG，NG，則MGN為直角三角形；

③AMN∽AFE；

5

④若BE2，F(xiàn)D3，則MN的長為2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

2

A．4B．3C．2D．1

17

2.在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．

(1)作△APB≌△AND（如圖①），求證：△APM≌△ANM；

(2)求證：MN2BM2DN2；

(3)矩形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如圖②），請你直接寫出線段MN，

BM，DN之間的數(shù)量關(guān)系．

18

考點(diǎn)十二：四邊形與新定義模型

例12．（23-24八年級下·江蘇淮安·期末）定義：有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形稱為“等補(bǔ)四邊

形”．

(1)下列選項(xiàng)中一定是“等補(bǔ)四邊形”的是______．

A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形

(2)如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，E為CD邊上一動點(diǎn)（E不與C、D重合），AE交BD于點(diǎn)F，

過F作FHAE交BC于點(diǎn)H．

①試判斷四邊形AFHB是否為“等補(bǔ)四邊形”，并說明理由；

②如圖2，連接EH，求△CEH的周長；

③若四邊形ECHF是“等補(bǔ)四邊形”，求CE的長．

19

【變式訓(xùn)練12】

1.（23-24八年級下·江蘇鹽城·期末）定義圖形

如圖1，在四邊形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，連接MN．若MN兩側(cè)的圖形面積相等，則

稱MN為四邊形ABCD的“對中平分線”

提出問題

有對中平分線的四邊形具有怎樣的性質(zhì)呢?

分析問題

（1）如圖2，MN為四邊形ABCD的“對中平分線”，連接AN，DN，由M為AD的

中點(diǎn)，知AMN與DMN的面積相等，則AD，BC有怎樣的位置關(guān)系呢?請說明理由．

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，小明提出了下列三個(gè)命題，其中假命題的是_____（請把你認(rèn)為假命題的序號都填

上）

①若MNAB，則四邊形ABCD是平行四邊形；

②若MNAB，則四邊形ABCD是菱形；

③若MNBC，則四邊形ABCD是矩形．

深入探究

如圖3，四邊形ABCD有兩條對中平分線，分別是MN，EF，且相交于點(diǎn)O，若MNEF．請?zhí)剿魉倪呅?/p>

ABCD的形狀并說明理由．

20

2.（20-21八年級上·江蘇淮安·期末）問題背景

定義：若兩個(gè)等腰三角形有公共底邊，且兩個(gè)頂角的和是180，則稱這兩個(gè)三角形是關(guān)于這條底邊的互補(bǔ)

三角形．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，ABAC，DBDC，且AD180，則VABC

與△DBC是關(guān)于BC的互補(bǔ)三角形．

(1)初步思考：如圖2，在VABC中，ABAC，ABC30，D、E為VABC外兩點(diǎn)，EBEC，EBC45，

△DBC為等邊三角形．則VABC關(guān)于BC的互補(bǔ)三角形是______，并說明理由．

(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，在長方形ABCD中，AB8，AD10．點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AD邊上，若△BEF

與VBCF是關(guān)于BF互補(bǔ)三角形，試求AE的長．

(3)思維探究：如圖4，在長方形ABCD中，AB8，AD10．點(diǎn)E是線段AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一

點(diǎn)，△BEP與BCP是關(guān)于BP的互補(bǔ)三角形，直線CP與直線AD交于點(diǎn)F．在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，線段BE與

線段AF的長度是否會相等？若相等，請直接寫出AE的長；若不相等，請說明理由．

21

一、單選題

1．（24-25八年級下·重慶·期中）下列說法不正確的是（）

A．正方形的對角線相等且互相垂直平分

B．菱形的四條邊都相等

C．矩形的對角線相等且互相平分

D．平行四邊形、矩形、菱形都是軸對稱圖形

2．（24-25八年級下·福建廈門·期中）四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，下列條件中不一定能判

定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）

A．BADBCD，ABCADCB．AD∥BC，ABDC

C．ABDC，ADBCD．OAOC，OBOD

3．（24-25八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，在菱形ABCD中，若AB5，AC6，則菱

形ABCD的面積是（）

A．12B．24C．30D．48

4．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古通遼·期中）如圖，矩形ABCD中，AB5，BC3，將矩形

沿BE折疊，使頂點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)F處，其中E在AD上連接AF，則AE（）．

538

A．B．C．D．1

323

5．（2025八年級下·內(nèi)蒙古·專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O，AB6,BC8，過點(diǎn)

O作OEAC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EFBD，垂足為F，則OEEF的值為（）

2448

A．B．C．20D．12

55

22

6．（24-25八年級下·湖北荊州·期中）如圖，P,Q分別為ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn)，O為PQ與AC的交點(diǎn)，

在此基礎(chǔ)上，下面兩位同學(xué)進(jìn)行了補(bǔ)充作圖．

聰聰：明明：

以點(diǎn)O為圓心，OP的長為半徑作弧，交AC分別過點(diǎn)P,Q作PMAC于點(diǎn)M，

于點(diǎn)M,N．QNAC于點(diǎn)N．

下列關(guān)于以M,P,N,Q為頂點(diǎn)的四邊形的說法正確的是（）

A．聰聰作的四邊形MPNQ是菱形B．明明作的四邊形MPNQ是菱形

C．聰聰作的四邊形MPNQ是矩形D．明明作的四邊形MPNQ是矩形

7．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，則下列說法

正確的是（）

A．若ACBD，則四邊形EFGH為矩形

B．若ACBD，則四邊形EFGH為菱形

C．若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分

D．若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等

8．（2025·四川綿陽·三模）如圖，在菱形ABCD中，A60，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且AEDF，

連接BF，交DE于點(diǎn)G，連接GC．現(xiàn)有下列結(jié)論：①BGD120；②GC平分BGD；③CGDGBG；

32．其中正確的結(jié)論有（）

④S四邊形CG

DGBC4

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

23

二、填空題

9．（24-25八年級下·重慶·期中）在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．若AC102，則OB的長

為．

10．（24-25八年級下·山東濟(jì)寧·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A2,7，B4,6，C1,2，若以A、B、

C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

11．（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，M、N、P分別是AD、BC、

BD的中點(diǎn)，ABD20，BDC70，則PMN的度數(shù)為．

12．（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形ABCD是邊長為6的正方形，E為CB延長線上一點(diǎn)，以

BE為邊，在直線CE上方作正方形BEFG，連接DF，取DF的中點(diǎn)M，連接BM．若FMB60，則

BE．

13．（2025·江蘇常州·一模）如圖1，VABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從VABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿ACD

的路線以每秒1