第四節(jié)事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義；結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率、了解條件概率，能計(jì)算簡單隨機(jī)事件的條件概率.2.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會用乘法公式計(jì)算概率.3.結(jié)合古典概型，會利用全概率公式計(jì)算概率.1.甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人都中靶的概率為（）A.0.26 B.0.98C.0.72 D.0.9解析：C甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，顯然甲中靶的事件與乙中靶的事件相互獨(dú)立，所以甲、乙兩人都中靶的概率為0.8×0.9＝0.72，故選C.2.夏季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為13和14，且兩地同時下雨的概率為16，則夏季的一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為A.112 B.C.23 D.解析：C記事件A為甲地下雨，事件B為乙地下雨，∴P（A）＝13，P（B）＝14，P（AB）＝16.在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為P（A｜B）＝P（AB）P3.已知P（A）＝58，P（B｜A）＝35，P（B｜A）＝13，則P（B答案：1解析：由全概率公式，得P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（A）P（B｜A）＝58×35＋38×14.兩臺機(jī)床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0.04，第二臺的廢品率為0.07，加工出來的零件混放，且第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍，現(xiàn)任取一零件，則它是合格品的概率為.答案：0.95解析：令B＝取到的零件為合格品，Ai＝零件為第i臺機(jī)床的產(chǎn)品，i＝1，2.由全概率公式得：P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝23×0.96＋13×0.931.事件A與事件B是互斥事件，則A與B不相互獨(dú)立.2.已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（B｜A）＝P（B），則P（A｜B）＝P（A）.1.一個質(zhì)地均勻的正方體，六個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，拋擲這個正方體一次，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字得到樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，設(shè)事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，則（）A.E與F不是互斥事件 B.F與G是對立事件C.E與F是獨(dú)立事件 D.F與G是獨(dú)立事件解析：A因?yàn)镋∩F＝{1}，所以E與F不是互斥事件，A正確；由F∩G＝?，即F與G互斥，但F∪G≠Ω，即F與G不是對立事件，B錯誤；由P（E）＝13，P（F）＝13，P（EF）＝16≠P（E）·P（F），故E與F不是獨(dú)立事件，C錯誤；由結(jié)論1，F(xiàn)與G不是獨(dú)立事件，D錯誤2.（2024·煙臺一模）已知P（B｜A）＝P（B）且P（A）＝23，則P（A｜B）＝答案：1解析：∵P（B｜A）＝P（B），∴P（AB）＝P（A）P（B），∴A，B相互獨(dú)立.由結(jié)論2，P（A｜B）＝P（A）＝1－P（A）＝1－23＝1相互獨(dú)立事件的概率【例1】（1）設(shè)M，N為兩個隨機(jī)事件，則以下命題是真命題的為（）A.若M，N為互斥事件，且P（M）＝15，P（N）＝14，則P（M∪NB.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝16，則事件MC.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝16，則事件MD.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝23，則事件（2）（2022·全國乙卷10題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大答案：（1）B（2）D解析：（1）對于A，由互斥事件的概率加法公式得P（M∪N）＝15＋14＝920，故A是假命題；對于B，因?yàn)镻（MN）＝P（M）P（N）＝16，所以事件M，N相互獨(dú)立，故B是真命題；對于C，由P（N）＝13得P（N）＝1－P（N）＝23，P（MN）＝16≠P（M）P（N）＝12×23＝13，所以事件M，N不相互獨(dú)立，故C是假命題；對于D，由題意得，P（M）＝12，P（N）＝23，若M，N相互獨(dú)立，則P（MN）＝P（M）（2）法一設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為P甲，在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為P乙，在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為P丙，由題意可知，P甲＝2p1[p2（1－p3）＋p3（1－p2）]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1（1－p3）＋p3（1－p1）]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1（1－p2）＋p2（1－p1）]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2（p3－p1）＞0，P丙－P乙＝2p1（p3－p2）＞0，所以P丙最大，故選D.法二（特殊值法）不妨設(shè)p1＝0.4，p2＝0.5，p3＝0.6，則該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率P甲＝2p1[p2（1－p3）＋p3（1－p2）]＝0.4；在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率P乙＝2p2[p1（1－p3）＋p3（1－p1）]＝0.52；在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率P丙＝2p3[p1（1－p2）＋p2（1－p1）]＝0.6.所以P丙最大，故選D.解題技法求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的步驟（1）確定各事件是相互獨(dú)立的；（2）確定各事件會同時發(fā)生；（3）求每個事件發(fā)生的概率，再用公式求解.1.（2021·新高考Ⅰ卷8題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立解析：B事件甲發(fā)生的概率P（甲）＝16，事件乙發(fā)生的概率P（乙）＝16，事件丙發(fā)生的概率P（丙）＝56×6＝536，事件丁發(fā)生的概率P（?。?6×6＝16.事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A錯誤；事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為16×6＝136，P（甲?。絇（甲）P（?。?，故B正確；事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為16×6＝136，P（乙丙）≠P（乙）2.（2024·益陽模擬）公司要求甲、乙、丙3人在各自規(guī)定的時間內(nèi)完成布置的任務(wù)，已知甲、乙、丙在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)的概率分別為25，23，14，則3人中至少2答案：2解析：3人中至少2人在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)，即在規(guī)定時間內(nèi)3人中恰有2人完成任務(wù)或3人都完成任務(wù).概率為P＝25×23×（1－14）＋25×（1－23）×14＋（1－25）×23×14條件概率【例2】（1）（2023·全國甲卷6題）某地的中學(xué)生中有60％的同學(xué)愛好滑冰，50％的同學(xué)愛好滑雪，70％的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（）A.0.8 B.0.6C.0.5 D.0.4（2）在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為.答案：（1）A（2）4解析：（1）法一如圖，左圓表示愛好滑冰的學(xué)生所占比例，右圓表示愛好滑雪的學(xué)生所占比例，A表示愛好滑冰且不愛好滑雪的學(xué)生所占比例，B表示既愛好滑冰又愛好滑雪的學(xué)生所占比例，C表示愛好滑雪且不愛好滑冰的學(xué)生所占比例，則0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若該學(xué)生愛好滑雪，則他也愛好滑冰的概率為BB＋C＝0.4法二令事件A，B分別表示該學(xué)生愛好滑冰、該學(xué)生愛好滑雪，事件C表示該學(xué)生愛好滑雪的條件下也愛好滑冰，則P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（AB）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4，所以P（C）＝P（A｜B）＝P（AB）P（B）（2）法一（應(yīng)用條件概率公式求解）設(shè)事件A為“第一次取到不合格品”，事件B為“第二次取到不合格品”，則所求的概率為P（B｜A），因?yàn)镻（AB）＝A52A1002＝1495，P（A）＝C51C1001＝120，所以P法二（縮小樣本空間求解）第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，還有99件產(chǎn)品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率為499解題技法求條件概率的常用方法（1）利用定義，分別求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝P（（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的樣本點(diǎn)個數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的樣本點(diǎn)個數(shù)，即n（AB），得P（B｜A）＝n（1.某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是45，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是12，已知該選手某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是（A.25 B.C.12 D.解析：B設(shè)該選手某次擊中10環(huán)為事件A，隨后一次擊中10環(huán)為事件B，則P（A）＝45，P（AB）＝12，∴某次擊中10環(huán)，隨后一次擊中10環(huán)的概率是P（B｜A）＝P（AB）2.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為.答案：0.72解析：設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件B（發(fā)芽又成長為幼苗）.依題意P（B｜A）＝0.8，P（A）＝0.9.根據(jù)條件概率公式P（AB）＝P（B｜A）·P（A）＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.全概率公式【例3】（1）（2024·威海質(zhì)檢）某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時，答對的概率為100％，而不知道正確答案時猜對的概率為0.25，那么他答對題目的概率為（）A.0.625 B.0.75C.0.5 D.0（2）（教材題改編）某學(xué)校有A，B兩家餐廳，甲同學(xué)第一天午餐時隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8.則甲同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率為.答案：（1）A（2）0.7解析：（1）用A表示事件“考生答對了”，用B表示“考生知道正確答案”，用B表示“考生不知道正確答案”，則P（B）＝0.5，P（B）＝0.5，P（A｜B）＝100％，P（A｜B）＝0.25，則P（A）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A｜B）·P（B）＋P（A｜B）P（B）＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.（2）設(shè)A1＝“第1天去A餐廳用餐”，B1＝“第1天去B餐廳用餐”，A2＝“第2天去A餐廳用餐”，則Ω＝A1∪B1，且A1與B1互斥，根據(jù)題意得，P（A1）＝P（B1）＝0.5，P（A2｜A1）＝0.6，P（A2｜B1）＝0.8，由全概率公式，得P（A2）＝P（A1）P（A2｜A1）＋P（B1）P（A2｜B1）＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.解題技法應(yīng)用全概率公式求概率的思路（1）按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式計(jì)算.1.某?；@球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí)，如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為34；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為14.若他第1球投進(jìn)的概率為34，則他第2球投進(jìn)的概率為A.34 B.C.716 D.解析：B記事件A為“第1球投進(jìn)”，事件B為“第2球投進(jìn)”，P（B｜A）＝34，P（B｜A）＝14，P（A）＝34，由全概率公式可得P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（A）P（B｜A）＝342＋12.（2024·六盤水第一次模考）播種用的一批一等葫蘆種子中混有2％的二等種子，1.5％的三等種子，1％的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實(shí)的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，則這批種子所生長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實(shí)的概率為（）A.0.3815 B.0.4815C.0.3825 D.0.4825解析：D設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件分別是A1，A2，A3，A4，則Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4兩兩互斥，設(shè)B表示“從這批種子中任選一顆，所生長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實(shí)”，則P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＋P（A4）P（B｜A4）＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825.1.從應(yīng)屆高中生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為13，視力合格的概率為16，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為15，從中任選一名學(xué)生，則該生各項(xiàng)均合格的概率為（假設(shè)各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響A.49 B.C.45 D.解析：B各項(xiàng)均合格的概率為13×16×152.（2024·酒泉模擬）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記兩枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則在2x＋y＝12的條件下，x與y不相等的概率是（）A.112 B.C.13 D.解析：D記“2x＋y＝12”為事件A，“x與y不相等”為事件B，則P（B｜A）＝P（AB）P（3.（2024·武漢一模）某社區(qū)舉行“喜迎五一”書畫作品比賽，參加比賽的老年人占35，中年人占15，小朋友占15，經(jīng)評審，評出一、二、三等獎作品若干，其中老年人、中年人、小朋友的作品獲獎的概率分別為0.6，0.2，0.1.現(xiàn)從所有作品中任取一件，則取到獲獎作品的概率為A.0.21 B.0.4C.0.42 D.0.58解析：C現(xiàn)從所有作品中任取一件，則取到獲獎作品的概率為P＝35×0.6＋15×0.2＋15×0.1＝4.甲、乙兩人參加“社會主義核心價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為23和34，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨(dú)立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為（A.34 B.C.57 D.解析：D設(shè)甲、乙獲一等獎的概率分別是P（A）＝23，P（B）＝34，不獲一等獎的概率是P（A）＝1－23＝13，P（B）＝1－34＝14，則這兩人中恰有一人獲一等獎的事件的概率為P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝13×34＋5.（多選）（2024·黃岡一模）設(shè)A，B是兩個事件，且B發(fā)生A必定發(fā)生，0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，給出下列各式，其中正確的是（）A.P（A＋B）＝P（B） B.P（B｜A）＝PC.P（A｜B）＝1 D.P（AB）＝P（A）解析：BC∵B發(fā)生A必定發(fā)生，∴B?A，P（A＋B）＝P（A），P（AB）＝P（B），故A、D不正確；P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A），故B正確；P（A｜B6.（多選）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別用A1，A2和A3表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，用B表示從乙罐取出的球是紅球，則下列結(jié)論中正確的是（）A.P（B｜A1）＝5B.P（B）＝2C.事件B與事件A1相互獨(dú)立D.A1，A2，A3兩兩互斥解析：AD由題意知A1，A2，A3兩兩互斥，故D正確；P（A1）＝510＝12，P（A2）＝210＝15，P（A3）＝310，P（B｜A1）＝P（BA1）P（A1）＝12×51112＝511，故A正確；P（B｜A2）＝411，P（B｜A3）＝411，P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P（A3B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＝12×511＋15×411＋3107.人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60％，利率不變的概率為40％.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，人們估計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80％，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40％，則該支股票價格上漲的概率為.答案：64％解析：設(shè)A＝“利率下調(diào)”，A＝“利率不變”，B＝“股票價格上漲”.依題意知P（A）＝60％，P（A）＝40％，P（B｜A）＝80％，P（B｜A）＝40％，則P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（A）P（B｜A）＝60％×80％＋40％×40％＝64％.8.在①A與B相互獨(dú)立，②P（B）＝12，P（B｜A）＝23，③P（B｜A）＝14，P（A）＝2P（B），這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中問題：已知P（A｜B）＝710，，求P（A）注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分.解：選擇①，由P（A｜B）＝710，得P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝3因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，所以P（A）＝P（A｜B）＝310選擇②，因?yàn)镻（A｜B）＝710所以P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝310，即P（AB又P（B）＝12，所以P（AB）＝3因?yàn)镻（B｜A）＝23，所以P（B｜A）＝13，即P（AB）P（A）＝1選擇③，因?yàn)镻（A｜B）＝P（ABP（B｜A）＝P（AB所以P（A）＝145P（B又P（A）＝2P（B），P（A）＋P（A）＝1，所以P（A）＝5129.（多選）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中（有3道選擇題和2道填空題），不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（）A.P（A）＝35 B.P（AB）＝C.P（B｜A）＝12 D.P（B｜A）＝解析：ABCP（A）＝C31C51＝35，故A正確；P（AB）＝C31C21C51C41＝310，故B正確；P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝31035＝12，故C正確；P（A）＝C21C51＝210.設(shè)0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，則“P（A｜B）＋P（A｜B）＝1”是“A與B相互獨(dú)立”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：C若P（A｜B）＋P（A｜B）＝1，則P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝P（A｜B），即B發(fā)生與否對A不影響，故A與B相互獨(dú)立；若A與B相互獨(dú)立，則A與B相互獨(dú)立，則P（A｜B）＝P（A），P（A｜B）＝P（A），所以P（A｜B）＋P（A｜B）＝1.所以“P（A｜B）＋P（A｜B）＝1”是“A與B相互獨(dú)立”的充要條件.故選C.11.若將整個樣本空間看成一個邊長為1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積.則如圖所示的陰影部分的面積表示（）A.事件A發(fā)生的概率B.事件B發(fā)生的概率C.在事件B不發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率D.事件A，B同時發(fā)生的概率解析：A因?yàn)镻（B）＝1－P（B），故由題圖可知陰影部分的面積為P（A｜B）P（B）＋P（A｜B）·（1－P（B））＝P（AB）P（B）×P（B）＋P（AB）P（B）×P（B）＝P（AB12.（多選）（2023·新高考Ⅱ卷12題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1－α；發(fā)送1時，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（）A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1－α）（1－β）2B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1－β）2C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1－β）2＋（1－β）3D.當(dāng)0＜α＜0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率解析：ABD對于A，因?yàn)樾盘柕膫鬏斒窍嗷オ?dú)立的，所以采用單次傳輸方案依次發(fā)送1，0，1，依次收到1，0，1的概率p＝（1－β）（1－α）（1－β）＝（1－α）（1－β）2，則A正確；對于B，因?yàn)樾盘柕膫鬏斒窍嗷オ?dú)立的，所以采用三次傳輸方案發(fā)送1，即發(fā)送3次1，依次收到1，0，1的概率p＝（1－β）·β（1－β）＝β（1－β）2，則B正確；對于C，因?yàn)樾盘柕膫鬏斒窍嗷オ?dú)立的，所以采用三次傳輸方案發(fā)送1，譯碼為1包含兩種情況：2次收到1，3次都收到1.而這兩種情況是互斥的，所以采用三次傳輸方案發(fā)送1，收到譯碼為1的概率p＝C32（1－β）2β＋C33（1－β）3＝3β（1－β）2＋（1－β）3，則C錯誤；對于D，設(shè)“采用單次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0”為事件B，則P（B）＝1－α.設(shè)采用三次傳輸方案發(fā)送0，收到的信號為0的次數(shù)為X，則P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝C32（1－α）2α＋C33（1－α）3＝（1＋2α）（1－α）2.又當(dāng)0＜α＜0.5時，P（X≥2）－P（B）＝（1＋2α）（1－α）2－（1－α）＝α（1－α）（1－2α）＞0，所以采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率，則D13.設(shè)兩個相互獨(dú)立事件A，B都不發(fā)生的概率為19，則A與B都發(fā)生的概率的取值范圍是答案：［0，49解析：設(shè)事件A，B發(fā)生的概率分別為P（A）＝x，P（B）＝y(tǒng)，則P（AB）＝P（A）·P（B）＝（1－x）·（1－y）＝19，∴1＋xy＝19＋x＋y≥19＋2xy（當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取“＝”），∴xy≤23或xy≥43（舍），∴0≤xy≤49，∴P（AB）＝P（A）·P（B）14.甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品.（1）從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率；（2）若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率.解：（1）從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事件數(shù)為C82＝8×這2個產(chǎn)品都是次品的事件數(shù)為C32∴這2個產(chǎn)品都是次品的概率為328（2）設(shè)事件A為“從乙箱中取出的一個產(chǎn)品是正品”，事件B1為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”，事件B2為“從甲箱中取出1個正品1個次品”，事件B3為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是次品”，則事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.P（B1）＝C52C82＝514，P（B2P（B3）＝C32CP（A｜B1）＝23，P（A｜B2）＝59，P（A｜B3）＝∴P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）