重難專攻（十二）概率與統(tǒng)計的綜合問題概率與統(tǒng)計的綜合問題是命制生活實踐情境類試題的最佳切入點，所考查內(nèi)容涉及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點之一，處理此類問題的關鍵是把握概率、統(tǒng)計的本質(zhì)，合理構(gòu)造模型，正確進行數(shù)學運算和必要的邏輯推理.統(tǒng)計圖表與概率的綜合問題【例1】（2022·新高考Ⅱ卷19題）在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6％.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.解：（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡x＝10×（5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002）＝47.9.（2）由于患者的年齡位于區(qū)間[20，70）是由患者的年齡位于區(qū)間[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70）組成的，且相互獨立，所以所求概率P＝1－（0.001＋0.002＋0.006＋0.002）×10＝0.89.（3）設從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間[40，50）為事件A，患這種疾病為事件B，則P（A）＝16％，由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區(qū)間[40，50）的概率為0.023×10＝0.23，結(jié)合該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，可得P（AB）＝0.1％×0.23＝0.00023，所以從該地區(qū)任選一人，若年齡位于區(qū)間[40，50），則此人患這種疾病的概率為P（B｜A）＝P（AB）P解題技法統(tǒng)計圖表與概率綜合問題的求解策略（1）正確識讀統(tǒng)計圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計原理即用樣本數(shù)字特征估計總體的思想，結(jié)合樣本中各統(tǒng)計量之間的關系構(gòu)造數(shù)學模型（函數(shù)模型、不等式模型、二項分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進行運算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據(jù)估計總體或作出科學的決策與判斷.（2024·六盤水第一次?？迹┙?jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲得利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元.根據(jù)以往資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X（單位：t，100≤X≤150）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.（1）將T表示為X的函數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；（3）在頻率分布直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若需求量X∈[100，110），則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的頻率），求T的均值.解：（1）當X∈[100，130）時，T＝500X－300（130－X）＝800X－39000.當X∈[130，150]時，T＝500×130＝65000.所以T＝800（2）由（1）知當且僅當120≤X≤150時利潤T不少于57000元.由頻率分布直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.（3）依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E（T）＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.回歸分析與概率的綜合問題【例2】（2024·煙臺一模）當下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收集了玩家對每一關的平均過關時間，如下表：關卡x123456平均過關時間y（單位：秒）5078124121137352計算得到一些統(tǒng)計量的值為：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中u（1）若用模型y＝aebx擬合y與x的關系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗回歸方程；（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關的平均過關時間內(nèi)通過可獲得積分2分并進入下一關，否則獲得－1分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習，前3關都能在平均時間內(nèi)過關，后面3關能在平均時間內(nèi)通過的概率均為45，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”的分布列和數(shù)學期望參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其經(jīng)驗回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計分別為b＝∑i=1nxiyi解：（1）對y＝aebx兩邊取對數(shù)可得lny＝ln（aebx）＝lna＋lnebx，即lny＝lna＋bx，令ui＝lnyi，所以u＝bx＋lna，由u＝16∑i=16x＝16×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝3.5，∑i=16xi2＝12＋22＋32＋42＋所以b＝∑i=1nxi又u＝bx＋lna，即4.75＝0.36×3.5＋lna所以lna＝3.49，所以a＝e3.49.所以y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝e0.36x＋3.49.（2）由題知，甲獲得的積分X的所有可能取值為5，7，9，12，所以P（X＝5）＝15，P（X＝7）＝45×15P（X＝9）＝（45）2×15＝16125，P（X＝12）＝（45）所以X的分布列為X57912P141664所以E（X）＝5×15＋7×425＋9×16125＋12×64解題技法回歸分析與概率綜合問題的解題思路（1）此類問題的特點為：同一生活實踐情境下設計兩類問題，即：①求經(jīng)驗回歸方程（預測）；②求某隨機變量的概率（范圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據(jù)（散點圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達到快速準確運算的目的；（3）明確所求問題所屬事件的類型，準確構(gòu)建概率模型.近年來，我國大學生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢，各省市出臺優(yōu)惠政策鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè).某市統(tǒng)計了該市其中四所大學2023年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千人），得到下表：A大學B大學C大學D大學2023年畢業(yè)生人數(shù)x/千人3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y/千人0.10.20.40.5（1）已知y與x具有較強的線性相關關系，求y關于x的經(jīng)驗回歸方程y＝a＋bx；（2）假設該市政府對選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補貼.①若該市E大學2023年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府要給E大學選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補貼的總金額；②若A大學的畢業(yè)生中小明、小紅選擇自主創(chuàng)業(yè)的概率分別為p，2p－1（12＜p＜1），該市政府對小明、小紅兩人的自主創(chuàng)業(yè)的補貼總金額的期望不超過1.4萬元，求p的取值范圍參考公式及參考數(shù)據(jù)：b＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nxi2解：（1）由題意得x＝3+4+5+64＝4.5，y＝0.1+0.2+0.4+0.54＝所以a＝y(tǒng)－bx＝0.3－0.14×4.5＝－故y關于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.14x－0.33.（2）①將x＝7代入得，y＝0.14×7－0.33＝0.65，所以估計該市政府需要給E大學選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補貼的總金額為0.65×1000×1＝650（萬元）.②設小明、小紅兩人中選擇自主創(chuàng)業(yè)的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝（1－p）（2－2p）＝2p2－4p＋2，P（X＝1）＝（1－p）（2p－1）＋p（2－2p）＝－4p2＋5p－1，P（X＝2）＝p（2p－1）＝2p2－p，則E（X）＝（2p2－4p＋2）×0＋（－4p2＋5p－1）×1＋（2p2－p）×2＝3p－1≤1.4，p≤45因為12＜p＜1，所以12＜p≤45，故p的取值范圍為（1獨立性檢驗與概率的綜合問題【例3】（2023·全國甲卷19題）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.809.2011.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對照組試驗組②根據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有95％的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2＝n（P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635.解：（1）X的所有可能取值為0，1，2，且P（X＝k）＝C2k·C3820－kC所以X的分布列為：X012P192019X的數(shù)學期望E（X）＝0×1978＋1×2039＋2×19（2）①根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可以知道40只小白鼠體重增加量的中位數(shù)m＝23.2+23列聯(lián)表如下：＜m≥m對照組614試驗組146②根據(jù)①中結(jié)果可得K2＝40×（6×6所以有95％的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.解題技法獨立性檢驗與概率綜合問題的解題思路本類題目以生活題材為背景，涉及獨立性檢驗及概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進行比較，其次再按照隨機變量滿足的概率模型求解.某種疾病可分為A，B兩種類型.為了解患該疾病的類型與患者性別是否相關，在某地區(qū)隨機抽取了若干名該疾病的患者進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者總?cè)藬?shù)是男性患者總?cè)藬?shù)的2倍，男性患A型疾病的人數(shù)占男性患者總?cè)藬?shù)的56，女性患A型疾病的人數(shù)占女性患者總?cè)藬?shù)的1（1）若本次調(diào)查得出“依據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨立性檢驗，認為所患疾病類型與性別有關”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人；（2）某團隊進行預防A型疾病的疫苗的研發(fā)試驗，試驗期間至多安排2個周期接種疫苗，每人每個周期接種3次，每次接種費用為m（m＞0）元.該團隊研發(fā)的疫苗每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為p（0＜p＜1），如果一個周期內(nèi)至少2次產(chǎn)生抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進入第二個周期.若p＝23，試驗人數(shù)為1000，試估計該試驗用于接種疫苗的總費用解：（1）設男性患者有x人，則女性患者有2x人，由題意得2×2列聯(lián)表如下：性別所患疾病類型合計A型疾病B型疾病男性5xx女性242x合計333x零假設為H0：患者所患疾病類型與性別之間無關聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得χ2＝3x（5要使依據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨立性檢驗可以認為所患疾病類型與性別有關，則2x3≥7.879，解得x≥因為x6∈N，x3∈N，所以x的最小整數(shù)值為所以被調(diào)查的男性患者至少有12人.（2）設該試驗每人的接種費用為ξ元，則ξ的可能取值為3m，6m.則P（ξ＝3m）＝C32p2（1－p）＋p3＝－2p3＋3p2，P（ξ＝6m）＝1－P（ξ＝3m）＝1＋2p3－3p所以E（ξ）＝3m·（－2p3＋3p2）＋6m·（1＋2p3－3p2）＝3m（2p3－3p2＋2），因為p＝23，試驗人數(shù)為1000，所以該試驗用于接種疫苗的總費用為1000E（ξ即1000×3m［2×（23）3－3×（23）2＋2］＝340009故估計該試驗用于接種疫苗的總費用為3400091.某校為了落實“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務工作，在某個星期內(nèi)，他們參與課后服務的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示.（1）求這25名教師在該星期參與課后服務的平均次數(shù)；（2）從這25名教師中任選2人，設這2人在該星期參與課后服務的次數(shù)之差的絕對值為X，求X的分布列與數(shù)學期望.解：（1）由統(tǒng)計圖可知，25名教師中，參與課后服務2次的有4人，參與課后服務3次的有5人，參與課后服務4次的有10人，參與課后服務5次的有6人，所以這25名教師在該星期參與課后服務的平均次數(shù)為2×4+3（2）由題可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝C42＋P（X＝1）＝C41CP（X＝2）＝C41CP（X＝3）＝C41C所以X的分布列為X0123P191372所以X的數(shù)學期望E（X）＝0×1975＋1×1330＋2×730＋3×22.為加快經(jīng)濟轉(zhuǎn)型升級，加大技術(shù)研發(fā)力度，某市建立了高新科技研發(fā)園區(qū)，并力邀某高校入駐該園區(qū).為了解教職工意愿，該高校在其所屬的8個學院的教職工中作了“是否愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)”的問卷調(diào)查，8個學院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：調(diào)查人數(shù)/x1020304050607080愿意整體搬遷人數(shù)/y817253139475566（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量y關于變量x的經(jīng)驗回歸方程y＝bx＋a（b保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字）；若該校共有教職工2500人，請預測該校教職工愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的人數(shù)；（2）若該校的8位院長中有5位院長愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)，現(xiàn)該校擬在這8位院長中隨機選取4位院長組成考察團赴研發(fā)園區(qū)進行實地考察，記X為考察團中愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的院長人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：b＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nxi2－n解：（1）由已知得x＝45，y＝36，b＝∑i=18xiyi－8xy∑i=18故變量y關于變量x的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.80x.所以當x＝2500時，y＝2500×0.80＝2000，所以該校教職工愿意將學校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的人數(shù)約為2000.（2）由題意可知X的可能取值為1，2，3，4.P（X＝1）＝C51·C33C84＝114，P（X＝2）＝C52·C32C84＝37，P（所以X的分布列為X1234P1331故E（X）＝1×114＋2×37＋3×37＋4×13.某數(shù)學興趣小組為研究本校學生數(shù)學成績與語文成績的關系，采取不放回地簡單隨機抽樣，從學校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：數(shù)學成績語文成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計90110200（1）根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，能否認為數(shù)學成績與語文成績有關聯(lián)？（2）在人工智能中常用L（B｜A）＝P（B｜A）P（B｜A）表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比.現(xiàn)從該校學生中任選一人，A表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，B表示“選到的學生數(shù)學成績不優(yōu)秀”，（3）現(xiàn)從數(shù)學成績優(yōu)秀的樣本中，按分層隨機抽樣的方法選出8人組成一個小組，從抽取的8人中再隨機抽取3人參加數(shù)學競賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學期望.附：χ2＝n（α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：（1）零假設為H0：數(shù)學成績與語文成績無關聯(lián).據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：χ2＝200×（50×80－30×根據(jù)小概率值α＝0.010的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為數(shù)學成績與語文成績有關聯(lián).（2）∵L（B｜A）＝P（B｜A）P（B｜A）∴估計L（B｜A）的值為83（3）按分層隨機抽樣的方法，抽取語文成績優(yōu)秀的有5人，語文成績不優(yōu)秀的有3人，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3.P（X＝0）＝C33C83＝156，P（X＝1P（X＝2）＝C52C31C83＝3056＝1528，P（X∴X的概率分布列為X0123P115155∴數(shù)學期望E（X）＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×54.某基地蔬菜大棚采用無土栽培的方式種植各類蔬菜.根據(jù)過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的有5周，不低于50小時且不超過70小時的有35周，超過70小時的有10周.根據(jù)統(tǒng)計，該基地的西紅柿增加量y（千克）與使用某種液體肥料的質(zhì)量x（千克）之間的關系為如圖所示的折線圖.（1）依據(jù)折線圖，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系？請計算樣本相關系數(shù)r并加以說明（精確到0.01）；（若｜r｜＞0.75，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）（2）蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如下關系：周光照量X/小時30＜X＜5050≤X≤70X＞70光照控制儀最多可運行臺數(shù)321若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元.以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的均值達到最大，應安裝光照控制儀多少臺？附：樣本相關系數(shù)r＝∑i參考數(shù)據(jù)：0.3≈0.55，0解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得x＝2+4+5+6+85＝5y＝3+4+4+4+55＝因為∑i=15（xi－x）（yi－y）＝（－3）×（－1）＋0＋0＋0＋3×1∑i=15（xi∑i=15（y所以樣本相關系數(shù)r＝∑i=15（xi因為r＞0.75，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關系.（2）記商家周總利潤為Y元，由條件可知至少需安裝1臺，最多安裝3臺光照控制儀.①安裝1臺光照控制儀可獲得周總利潤3000元.②安裝2臺光照控制儀的情形：當X＞70時，只有1臺光照控制儀運行，此時周總利潤Y＝3000－1000＝2000（元），P（Y＝2000）＝1050＝0.2當30＜X≤70時，2臺光照控制儀都運行，此時周總利潤Y＝2×3000＝6000（元），P（Y＝6000）＝4050＝0.8故Y的分布列為Y20006000P0.20.8所以E（Y）＝2000×0.2＋6000×0.8＝5200（元）.③安裝3臺光照控制儀的情形：當X＞70時，只有1臺光照控制儀運行，此時周總利潤Y＝1×3000－2×1000＝1000（元），P（Y＝1000）＝1050＝0.2當50≤X≤70時，有2臺光照控制儀運行，此時周總利潤Y＝2×3000－1×1000＝5000（元），P（Y＝5000）＝3550＝0.7當30＜X＜50時，3臺光照控制儀都運行，周總利潤Y＝3×3000＝9000（元），P（Y＝9000）＝550＝0.1故Y的分布列為Y100050009000P0.20.70.1所以E（Y）＝1000×0.2＋5000×0.7＋9000×0.1＝4600（元）.綜上可知，為使商家周總利潤的均值達到最大，應該安裝2臺光照控制儀.5.某病毒主要是在人與人之間進行傳播，可以通過飛沫、糞便、接觸等進行傳染，感染人群主要是年齡在40歲以上的群體.該病毒進入人體后有潛伏期（潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時期），潛伏期越長，感染到他人的可能性越高.現(xiàn)對200個病例的潛伏期Z（單位：天）進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期的中位數(shù)為5，平均數(shù)為7.1，方差為5.06.一般認為超過8天的潛伏期就屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本病例人數(shù)，如下表所示：長潛伏期非長潛伏期40歲以上3011040歲及40歲以下2040（1）依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為“長潛伏期”與年齡有關？（2）假設潛伏期服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差.①為有效防止該病毒的傳播，很多省份對入境人員一律要求隔離14天，請用概率和統(tǒng)計的知識解釋其合理性；②將頻率近似當作概率，設從這200個病例中另隨機抽取的25個病例中屬于“長潛伏期”的病例個數(shù)是X，X＝k（k∈N*，0≤k≤25）的概率記作P（X＝k）（k∈N*，0≤k≤25），試求X的數(shù)學期望以及當P（X＝k）取最大值時k的值.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(cα0.10.050.01xα2.7063.8416.635若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ－σ≤Z≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤Z≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤Z≤μ＋3σ）≈0.9973，5.06解：（1）零假設為H0：“長潛伏期”與年齡無關，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，χ2＝200×（30×40－110×20）根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認為“長潛伏期”與年齡無關.（2）①若潛伏期服從N（7.1，5.06），由P（Z≥13.85）≈1－0.得潛伏期超過14天的概率很低，因此隔離14天是合理的.②200個病例中有50個屬于“長潛伏期”，將樣本頻率近似當作概率，則一個患者屬于“長潛伏期”的概率是14所以另隨機抽取的25個病例中屬于“長潛伏期”的病例個數(shù)X～B（25，14）則E（X）＝254，且P（X＝k）＝C25k（14）k（34）25－k（k∈N*，0≤由C25k（14）k又k∈N*，所以k＝6.故X的數(shù)學期望是254，P（X＝k）取最大值時k的值為6.某汽車公司順應時代潮流，新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖的頻率分布直方圖：（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值x（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N（μ，σ2），用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標準差s作為σ的估計值，經(jīng)計算樣本標準差s的近似值為50，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)