教考銜接8破解解析幾何問題常見的技巧真題展示【例】（2023·全國(guó)乙卷11題）設(shè)A，B為雙曲線x2－y29＝1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（A.（1，1） B.（－1，2）C.（1，3） D.（－1，－4）解析：D由雙曲線方程x2－y29＝1知a＝1，b＝3，則其漸近線方程為y＝±3x.觀察選項(xiàng)知，四個(gè)點(diǎn)均在雙曲線外，∴點(diǎn)A，B分別在雙曲線的兩支上，∴－3＜kAB＜3.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x12－y129=1，x22－y229=1，作差得（x12－x22）－y12－y229＝0，則kAB＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝9（x1＋x2）y1＋y2.對(duì)于A，x1＋x2=2，y1＋y2=2，則kAB＝9，∵kAB＝9＞3，∴A不滿足題意.對(duì)于B，x1＋x2＝－2，y1＋y2=4，則kAB＝－92，∵kAB＝－92＜－3，∴B不滿足題意.對(duì)于C，x1＋x2=2，y1解法分析解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題中中學(xué)數(shù)學(xué)的重要分支，解題的第一步通常是把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，即轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題；第二步再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)與求值.因其條件復(fù)雜，運(yùn)算量大，一直是學(xué)生的“痛點(diǎn)”.如何在求解解析幾何問題時(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，減少運(yùn)算量，提升解題效率，下面就從常見的五種技巧入手，予以例析.破解解析幾何問題常見的技巧技巧1回歸定義，化繁為簡(jiǎn)回歸定義的實(shí)質(zhì)是重新審視概念，并用相應(yīng)的概念解決問題，是一種樸素而又重要的策略和思想方法.圓錐曲線的定義既是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點(diǎn)，又是新知識(shí)、新思維的生長(zhǎng)點(diǎn).對(duì)于相關(guān)的圓錐曲線中的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知條件，巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果.【例1】如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：x24＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是（A.2 B.3C.32 D.解析：D由已知，得F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0），設(shè)雙曲線C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，可得｜AF1｜＋｜AF2｜=4，｜AF2|-|AF反思感悟本題巧妙運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義建立｜AF1｜，｜AF2｜的等量關(guān)系，從而快速求出雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)a的值，進(jìn)而求出雙曲線的離心率，大大降低了運(yùn)算量.技巧2設(shè)而不求，整體代換對(duì)于直線與圓錐曲線相交所產(chǎn)生的中點(diǎn)弦問題，在涉及求中點(diǎn)弦所在直線的方程或弦的中點(diǎn)的軌跡方程等問題時(shí)，常用“點(diǎn)差法”求解.【例2】已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－1），A.x245＋y236＝1 B.xC.x227＋y218＝1 D.x解析：D設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，x12a2＋y12b2=1，①x22a2＋y22b2=1，②①－②得（x1＋x2)(x1－x2）a2＋（y1＋y2)(y1－y2）b2＝0反思感悟本題設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，卻不求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，巧妙地表達(dá)出直線AB的斜率，通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問題.技巧3巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”化繁為簡(jiǎn)某些涉及線段長(zhǎng)度關(guān)系的問題可以通過解方程、求坐標(biāo)，用距離公式計(jì)算長(zhǎng)度的方法來(lái)解；也可以利用一元二次方程，使相關(guān)的點(diǎn)的同名坐標(biāo)為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根間的關(guān)系或有關(guān)線段長(zhǎng)度間的關(guān)系.后者往往計(jì)算量小，解題過程簡(jiǎn)捷.【例3】已知橢圓x24＋y2＝1的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條互相垂直的弦AM，AN交橢圓于M，N（1）當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí)，直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.解：（1）直線AM的斜率為1時(shí)，直線AM的方程為y＝x＋2，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－65，所以M－（2）設(shè)直線AM的斜率為k，直線AM的方程為y＝k（x＋2），聯(lián)立方程y化簡(jiǎn)得（1＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－4＝0.則xA＋xM＝－16k21+4k2，則xM＝－xA－16k21+4k2＝2同理，可得xN＝2k由（1）知若存在定點(diǎn)，則此點(diǎn)必為P－6證明如下：因?yàn)閗MP＝y(tǒng)MxM＋6同理可計(jì)算得kPN＝5k所以直線MN過x軸上的一定點(diǎn)P－6反思感悟本例在第（2）問中可應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求出xM＝2－8k21+4k2，這體現(xiàn)了整體思想.這是解決解析幾何問題時(shí)常用的方法技巧4巧妙“換元”減少運(yùn)算量變量換元的關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而將非標(biāo)準(zhǔn)型問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型問題，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.變量換元法常用于求解復(fù)合函數(shù)的值域、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)或求值等問題.【例4】已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0），過點(diǎn)F2的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M，N.當(dāng)直線l的斜率為－1時(shí)（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求△F1MN的內(nèi)切圓半徑r最大時(shí)，直線l的方程.解：（1）由題意知c＝3，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x12a2＋y1x22a2＋y2①－②得（x1＋x2)(x當(dāng)y1－y2x1－x2＝－1時(shí)，x1＋x2＝8代入③，化簡(jiǎn)得a2＝4b2，又a2＝b2＋c2，c＝3，所以b2＝1，a2＝4，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2（2）依題意知△F1MN的周長(zhǎng)為｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜NF1｜＋｜NF2｜＝4a＝8，所以S△F1MN＝12×8×r＝4r，所以△F1MN內(nèi)切圓半徑r最大，即S△F設(shè)直線l的方程為x＝my＋3（m≠0），由x＝my＋3，x24＋y2=1，得（m2＋4）y2＋則y1＋y2＝－23mm2+4，y所以S△F1MN＝12｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝3·（y1令t＝m2+1（t＞1），則m2＝t2－所以S△F1MN＝43tt2+3＝43t＋3t≤4323此時(shí)m＝±2，直線l的方程為x±2y－3＝0.反思感悟破解此類問題的關(guān)鍵：一是利用已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程，解方程，求出參數(shù)的值，二是通過變量換元法將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化為值域容易確定的另一函數(shù)，求得其值域，從而求得原函數(shù)的值域，形如y＝ax＋b±cx＋d（a，b，c，d均為常數(shù)，且ac≠0）的函數(shù)常用此法求解，但在換元時(shí)一定要注意新元的取值范圍，以保證等價(jià)轉(zhuǎn)化，技巧5妙借向量，更換思路平面向量是銜接代數(shù)與幾何的紐帶，溝通“數(shù)”與“形”，融數(shù)形于一體，是數(shù)形結(jié)合的典范，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)和聯(lián)系多項(xiàng)知識(shí)的媒介.妙借向量，可以有效提升圓錐曲線的解題方向與運(yùn)算效率，達(dá)到良好效果.【例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，直線y＝b2與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠答案：6解析：把y＝b2代入橢圓x2a2＋y2b2＝1，可得x＝±32a，則B－32a，b2，C32