第五節(jié)空間向量與線、面位置關(guān)系1.了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量與平面的法向量，能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直關(guān)系.4.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.1.已知空間向量a＝（1，1，0），b＝（0，－1，4），則｜a＋b｜＝（）A.15 B.15C.17 D.17解析：Da＋b＝（1，1，0）＋（0，－1，4）＝（1，0，4），所以｜a＋b｜＝12＋42＝2.在△ABC中，已知AB＝（2，4，0），BC＝（－1，3，0），則∠ABC＝（）A.π4 B.πC.2π3 解析：Dcos＜AB，BC＞＝AB·BC｜AB｜·｜BC｜＝（2，4，0）·(-1，3，0）4+16×1+9＝－2+1225×10＝23.在空間直角坐標(biāo)系中，a＝（1，2，1）為直線l的一個(gè)方向向量，n＝（2，t，4）為平面α的一個(gè)法向量，且l∥α，則t＝（）A.3 B.1C.－3 D.－1解析：C因?yàn)閘∥α，所以a＝（1，2，1）與n＝（2，t，4）垂直，故a·n＝（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3，故選C.4.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn).若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，用基底{a，b答案：－12a－12b解析：如圖，連接A1M，A1C1，C1M＝A1M－A1C1＝A1A＋AM－（A1B1＋A1D1）＝A1A＋12（A1B1＋A1D1）在空間中，P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1），O為空間任意一點(diǎn).O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且OP＝14OA＋18OB＋tOC，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)答案：5解析：由結(jié)論可知14＋18＋t＝1，所以t＝空間向量的線性運(yùn)算1.如圖，三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，設(shè)OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，則NM＝（）A.12（－a＋b＋cB.12（a＋b－cC.12（a－b＋cD.12（－a－b＋c解析：BNM＝NA＋AM＝（OA－ON）＋12AB＝OA－12OC＋12（OB－OA）＝12OA＋12OB－122.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn)，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，則實(shí)數(shù)x＋y＝（A.－32 B.－1C.12 D.解析：DAP＝AD＋DD1＋D1P＝AD＋AA1＋12AB＝AD＋xAB＋yAA1，故x＝12，3.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).用AB，AD，AA1表示OC1，則答案：12AB＋1解析：∵OC＝12AC＝12（AB＋AD），∴OC1＝OC＋CC1＝12（AB＋AD）＋練后悟通空間向量線性運(yùn)算中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)共線、共面向量定理的應(yīng)用【例1】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足OM＝13（OA＋OB＋OC）（1）判斷MA，MB，MC三個(gè)向量是否共面；（2）判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解：（1）由題知OA＋OB＋OC＝3OM，所以O(shè)A－OM＝（OM－OB）＋（OM－OC），即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，所以MA，MB，MC共面.（2）法一由（1）知，MA，MB，MC共面且過(guò)同一點(diǎn)M，所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).法二因?yàn)镺M＝13（OA＋OB＋OC）＝13OA＋13OB＋13OC，又因?yàn)?3＋13＋13＝1，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).解題技法證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較1.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三點(diǎn)共線，則m＋n＝.答案：－3解析：∵AB＝（3，－1，1），AC＝（m＋1，n－2，－2），且A，B，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得AC＝λAB，即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴m+1=3λ，n－2=－λ2.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足OM＝15OA＋45OB＋25BC，則點(diǎn)M（填“∈”或“?答案：∈解析：OM＝15OA＋45OB＋25BC＝15OA＋45OB＋25（OC－OB）＝15OA＋25OB＋25OC，∵15＋25＋25空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例2】如圖，正四面體ABCD（所有棱長(zhǎng)均相等）的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，試采用向量法解決下列問(wèn)題：（1）求EF的模長(zhǎng)；（2）求EF，GH的夾角.解：（1）因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，AB＝a，AC＝b，AD＝c，所以BE＝12BC＝12（AC－AB）＝12（b－a），AF＝1所以EF＝EB＋BA＋AF＝－12（b－a）－a＋12c＝12（c－a所以｜EF｜2＝14（c－a－b）2＝14（c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）＝14（1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°）故｜EF｜＝22（2）在正四面體ABCD中，EF＝12（c－a－b），｜EF｜＝2同理，GH＝12（b＋c－a），｜GH｜＝2所以cos＜EF，GH＞＝EF·GH｜EF||GH｜＝12（c－a－b）·12（b＋c－a）22×22＝12[（c－a）2－b2]＝12（c2所以EF與GH的夾角為90°.解題技法空間向量數(shù)量積的3個(gè)應(yīng)用（1）求夾角：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝a·b｜（2）求長(zhǎng)度（距離）：利用公式｜a｜2＝a·a，可將線段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題；（3）解決垂直問(wèn)題：利用a⊥b?a·b＝0（a≠0，b≠0），可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°.（1）求AC1的長(zhǎng)；（2）求BD1與AC夾角的余弦值.解：（1）記AB＝a，AD＝b，AA1＝則｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12｜AC1｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（12＋12＋1∴｜AC1｜＝6，即AC1的長(zhǎng)為6（2）∵BD1＝b＋c－a，AC＝a＋∴｜BD1｜＝2，｜AC｜＝BD1·AC＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝∴cos＜BD1，AC＞＝BD∴AC與BD1夾角的余弦值為66利用空間向量證明平行、垂直【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明：（1）BE⊥DC；（2）BE∥平面PAD；（3）平面PCD⊥平面PAD.證明：依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.由E為棱PC的中點(diǎn)，得E（1，1，1）.（1）向量BE＝（0，1，1），DC＝（2，0，0），故BE·DC＝0，所以BE⊥DC.（2）因?yàn)锳B⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量AB＝（1，0，0）為平面PAD的一個(gè)法向量，而B(niǎo)E·AB＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.（3）由（2）知平面PAD的法向量為AB＝（1，0，0），向量PD＝（0，2，－2），DC＝（2，0，0），設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），則n·PD不妨令y＝1，可得n＝（0，1，1）為平面PCD的一個(gè)法向量.且n·AB＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，所以n⊥AB.所以平面PCD⊥平面PAD.解題技法利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟如圖，在多面體ABC-A1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，B1C1∥BC且B1C1＝12BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求證（1）A1B1⊥平面AA1C；（2）AB1∥平面A1C1C.證明：由二面角A1-AB-C是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，可得AA1⊥平面ABC.又∵AB＝AC，BC＝2AB，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB，∴AB，AC，AA1兩兩互相垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝2，則A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2），B1（0，2，2）.（1）A1B1＝（0，2，0），A1A＝（0，0，－2），AC＝（2設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），則n·A1A=0，n·AC=0，即－2z=0，2x=0∴A1B1＝2n，即A1B1∥n，∴A1B1（2）易知AB1＝（0，2，2），A1C1＝（1，1，0），A1C＝（2，0，－2），設(shè)平面A1C1C的一個(gè)法向量為m＝（x1則m·A1C1=0，m則y1＝－1，z1＝1，即m＝（1，－1，1）.∴AB1·m＝0×1＋2×（－1）＋2×1＝0，∴AB1⊥m.又AB1?平面A1C1C，∴AB1∥平面A11.直線l的一個(gè)方向向量為（2，1，1），平面α的一個(gè)法向量為（4，2，2），則（）A.l∥αB.l⊥αC.l∥α或l?αD.l與α的位置關(guān)系不能判斷解析：B直線l的一個(gè)方向向量為（2，1，1），平面α的一個(gè)法向量為（4，2，2），顯然它們共線，所以l⊥α.故選B.2.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c三向量共面，則λ＝（）A.9 B.－9C.－3 D.3解析：B由題意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y（－1，2，3），∴2x－y=73.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖，四棱錐P-ABCD為陽(yáng)馬，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若DE＝xAB＋yAC＋zAP，則x＋y＋z＝（）A.1 B.2C.13 D.解析：A∵EC＝2PE，∴PE＝13PC，∴DE＝AE－AD＝AP＋PE－AD＝AP＋13PC－AD＝AP＋13（AC－AP）－AD＝23AP＋13AC－AD＝23AP＋13AC－BC＝23AP＋13AC－（AC－AB）＝23AP－23AC＋AB，∴x＝4.在正三棱錐P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則PO·PA＝（）A.59 B.C.423 解析：D∵P-ABC為正三棱錐，O為△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，∴PO·OA＝0，｜AO｜＝23·｜AB｜·sin60°＝233，故PO·PA＝PO·（PO＋OA）＝｜PO｜2＝｜AP｜2－｜AO｜2＝4－43＝5.（多選）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則（A.（a＋b）·c＝0 B.＜a＋b，b＋c＞＝πC.AC1＝a＋b－c D.BD1＝b解析：ABD如圖，對(duì)于A，（a＋b）·c＝a·c＋b·c＝AB·AA1＋AD·AA1＝0，故A正確；對(duì)于B，a＋b＝AB＋AD＝AC，b＋c＝AD＋AA1＝AD1，易知AC＝AD1＝CD1＝2AB，則△ACD1為等邊三角形，∴＜AC，AD1＞＝π3，即＜a＋b，b＋c＞＝π3，故B正確；對(duì)于C，AC1＝AC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，BD1＝AD1－AB＝6.（多選）已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），則下列結(jié)論正確的有（）A.AB與AC是共線向量B.與AB共線的單位向量是（1，1，0）C.AB與BC夾角的余弦值是－55D.平面ABC的一個(gè)法向量是（1，－2，5）解析：CD對(duì)于A，AB＝（2，1，0），AC＝（－1，2，1），不存在實(shí)數(shù)λ，使得AB＝λAC，所以AB與AC不是共線向量，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)锳B＝（2，1，0），所以與AB共線的單位向量為255，55，0或－255,-55，0，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量AB＝（2，1，0），BC＝（－3，1，1），所以cos＜AB，BC＞＝AB·BC｜AB||BC｜＝－5511，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)平面ABC的法向量是n＝（x，y，z），因?yàn)锳B＝（2，1，0），AC＝（－1，2，1），7.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上，且AM＝12MC1，N為B1B的中點(diǎn)，則｜MN答案：216解析：如圖所示，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則｜MN｜＝｜MA＋AB＋BN｜＝｜－13AC1＋AB＋12BB1｜＝｜－13（a＋b＋c）＋a＋12c｜＝｜23a－13b＋16c｜，∴｜MN｜2＝（23a－8.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn).（1）求BN的長(zhǎng)；（2）求cos＜BA1，CB（3）求證：A1B⊥C1M.解：（1）由題意知，CA，CB，CC1兩兩互相垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則B（0，1，0），N（1，0，1），BN＝（1，－1，1），∴｜BN｜＝12＋(（2）∵A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴BA1＝（1，－1，2），CB1＝（0，∴BA1·CB1＝3，｜BA1｜＝6，∴cos＜BA1，CB1＞＝（3）證明：易知C1（0，0，2），M（12，12，∴A1B＝（－1，1，－2），C1M＝（12∴A1B·C1M＝－12＋∴A1B⊥C1M，∴A1B⊥9.如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點(diǎn)，AF＝13AD，AG＝2GA1，AC1與平面EFG交于點(diǎn)M，則AMA.113 B.C.213 D.解析：C由題圖知，設(shè)AM＝λAC1（0＜λ＜1），由已知AC1＝AB＋AD＋AA1＝2AE＋3AF＋32AG，所以AM＝2λAE＋3λAF＋3λ2AG，因?yàn)镸，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，所以2λ＋10.定義兩個(gè)向量u與v的向量積u×v是一個(gè)向量，它的模｜u×v｜＝｜u｜·｜v｜sin＜u，v＞，它的方向與u和v同時(shí)垂直，且以u(píng)，v，u×v的順序符合右手法則（如圖），在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，則（AB×AD）·AC＝（）A.42 B.4C.43 D.23解析：A｜AB×AD｜＝｜AB｜·｜AD｜·sin＜AB，AD＞＝2×2×32＝23，設(shè)底面△ABD的中心為O，連接CO，AO，則OC⊥平面ABD，又AO，AB，AD?平面ABD，故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，AO＝32×AB×23＝233，OC＝AC2－AO2＝4－43＝263，在△ACO中，cos∠ACO＝OCAC＝2632＝63，則cos＜AC，OC＞＝cos∠ACO＝63，又AB×AD的方向與OC相同11.（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.若D1M⊥MN，則下列命題正確的是（）A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MCC.線段BN長(zhǎng)度的最大值為3D.三棱錐C1-A1D1M體積不變解析：ACD在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A1（3，0，3），D1（0，0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），設(shè)M（3，y，0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），D1M＝（3，y，－3），MN＝（0，3－y，z），而D1M⊥MN，則D1M·MN＝y(tǒng)（3－y）－3z＝0，即z＝13y（3－y）.對(duì)于A選項(xiàng)，A1M＝（0，y，－3），則A1M·MN＝y(tǒng)（3－y）－3z＝0，則A1M⊥MN，MN⊥A1M，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，CM＝（3，y－3，0），CM·MN＝（y－3）（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM與MN不垂直，從而MN與平面D1MC不垂直，B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，BN＝（0，0，z），則線段BN長(zhǎng)度｜BN｜＝z＝13［－（y－32）2＋94］≤34，當(dāng)且僅當(dāng)y＝32時(shí)等號(hào)成立，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，不論點(diǎn)M如何移動(dòng)，點(diǎn)M到平面A1D1C1的距離均為3，而VC1-A1D1M12.如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）.若AM⊥MP，則點(diǎn)P在圓錐底面上形成的軌跡的長(zhǎng)度為.答案：7解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－1，0），B（0，1，0），S（0，0，3），M（0，0，32），設(shè)P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，則AM＝（0，1，32），MP＝（x，y，－32）.由于AM⊥MP，所以（0，1，32）·（x，y，－32）＝0，即y＝34，此為P點(diǎn)的軌跡方程，13.已知空間向量PA，PB，PC的模長(zhǎng)分別為1，2，3，且兩兩夾角均為60°.點(diǎn)G為△ABC的重心，若PG＝xPA＋yPB＋zPC，x，y，z∈R，則x＋y＋z＝，｜PG｜＝.答案：15解析：根據(jù)題意得，點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)BC中點(diǎn)為D，則AG＝23AD＝13（AB＋AC），所以PG－PA＝13（PB－PA＋PC－PA），所以PG＝13PA＋13PB＋13PC，所以x＝y(tǒng)＝z＝13，所以x＋y＋z＝1.｜PG｜2＝（13）2×（12＋22＋32＋2×1×2×12＋2×1×3×12＋214.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.解：（1）證明：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，a2，0），P（0，0，a），F(xiàn)（a2，a2EF＝（－a2，0，a2），DC＝（0，a，0∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD.（2）設(shè)G（x，0，z），則FG＝（x－a2，－a2，z－a若使GF⊥平面PCB，則需FG·CB＝0且FG·CP＝0.由FG·CB＝（x－a2，－a2，z－a2）·（a，0，0）＝a（x－a2）＝0，得由FG·CP＝（x－a2，－a2，z－a2）·（0，－a，a）＝a22＋a（z－a2）＝∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（a2，0，0），即G為AD的中點(diǎn)15.已知三棱錐P-ABC的體積為13，M是空間中一點(diǎn)，PM＝－113PA＋313PB＋413