第二節(jié)常用邏輯用語1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質(zhì)定理與充要條件、充分條件、必要條件的關(guān)系.2.通過已知的數(shù)學(xué)實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.1.“ac2＞bc2”是“a＞b”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A由ac2＞bc2，則c2＞0，所以a＞b，即ac2＞bc2?a＞b.反之，當(dāng)a＞b時，若c2＝0，則ac2＝bc2，即a＞b?/ac2＞bc2，所以ac2＞bc2是a＞b的充分不必要條件.2.已知命題p：?x∈R，sinx≥0，則下列說法正確的是（）A.p的否定是存在量詞命題，且是真命題B.p的否定是全稱量詞命題，且是假命題C.p的否定是全稱量詞命題，且是真命題D.p的否定是存在量詞命題，且是假命題解析：A命題p：?x∈R，sinx≥0，該命題為假命題.p的否定是存在量詞命題，且是真命題.故選A.3.若命題p：?x≥0，ex＋x－2≥0，則命題p的否定為（）A.?x＜0，ex＋x－2＜0 B.?x≥0，ex＋x－2≥0C.?x≥0，ex＋x－2＜0 D.?x＜0，ex＋x－2≥0解析：C由全稱量詞命題的否定規(guī)則知，命題p的否定為?x≥0，ex＋x－2＜0，故選C.4.（2023·天津高考2題）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件解析：B由a2＝b2，得a＝±b，當(dāng)a＝－b時，a2＋b2≠2ab.由a2＋b2＝2ab，得（a－b）2＝0，所以a＝b.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.故選B.5.（2024·安康中學(xué)模擬）使－2＜x＜2成立的一個充分條件是.（答案不唯一，寫出一個即可）答案：0＜x＜2（答案不唯一）解析：只要是{x｜－2＜x＜2}的一個子集都是使－2＜x＜2成立的充分條件，如－2＜x＜2，或0＜x＜2等.1.充分（必要、充要）條件與集合間的包含關(guān)系設(shè)A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：（1）若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）若A?B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；（3）若A＝B，則p是q的充要條件.2.等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件p是q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件.3.命題p和p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.1.命題“?x∈R，x2＋2x＋1＝0”的否定是命題（填“真”或“假”）.答案：假解析：因為當(dāng)x＝－1時，（－1）2＋2×（－1）＋1＝0，所以命題“?x∈R，x2＋2x＋1＝0”為真命題，命題的否定是“?x∈R，x2＋2x＋1≠0”，由結(jié)論3知，此命題的否定是假命題.2.已知命題p：｜x｜≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為.答案：（1，＋∞）解析：由｜x｜≤1，即－1≤x≤1，由結(jié)論1、2知p是q的充分不必要條件，所以a＞1.全稱量詞命題與存在量詞命題考向1含量詞命題的否定及真假判定【例1】（1）設(shè)命題p：?n∈N，n2＞2n，則p為（）A.?n∈N，n2＞2n B.?n∈N，n2≤2nC.?n∈N，n2≤2n D.?n∈N，n2＝2n（2）（多選）下列命題是真命題的是（）A.?a∈R，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)B.?x∈R，函數(shù)y＝sinx＋cosx＋2的值恒為正數(shù)C.?x∈R，2x＜x2D.?x∈（0，＋∞），13x＞lo答案：（1）C（2）AC解析：（1）命題p為存在量詞命題，故p是全稱量詞命題，即?n∈N，n2≤2n，故選C.（2）當(dāng)a＝1時，y＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故A為真命題；y＝sinx＋cosx＋2＝2sinx＋π4＋2，當(dāng)sinx＋π4＝－1時，y＝0，故B為假命題；當(dāng)x∈（2，4）時，2x＜x2，故C為真命題；當(dāng)x＝13時，1313∈（0，1），log131解題技法1.對全稱量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定的方法（1）改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；（2）否定結(jié)論：對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法（1）全稱量詞命題：①要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x，證明p（x）成立；②要判定一個全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可.（2）存在量詞命題：要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個x＝x0，使p（x0）成立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.考向2由命題的真假求參數(shù)【例2】（2024·蘇州一模）若“?x∈（0，π），sin2x－ksinx＜0”為假命題，則k的取值范圍為（）A.（－∞，－2] B.（－∞，2]C.（－∞，－2） D.（－∞，2）解析：A依題意知命題“?x∈（0，π），sin2x－ksinx＜0”為假命題，則“?x∈（0，π），sin2x－ksinx≥0”為真命題，所以2sinxcosx≥ksinx，則k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范圍為（－∞，－2]，故選A.解題技法由命題的真假求參數(shù)的策略（1）巧用三個轉(zhuǎn)化：①全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題；②存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題；③全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.（2）準(zhǔn)確計算：通過解方程或不等式（組）求出參數(shù)的值或范圍.1.已知命題p：?x≥0，ex≥1或sinx≤1，則p為（）A.?x＜0，ex＜1且sinx＞1B.?x＜0，ex≥1或sinx≤1C.?x≥0，ex＜1或sinx＞1D.?x≥0，ex＜1且sinx＞1解析：D命題p：?x≥0，ex≥1或sinx≤1，為全稱量詞命題，則p：?x≥0，ex＜1且sinx＞1，故選D.2.若命題“?x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.a＞0 B.a≥0C.a≤0 D.a≤1解析：B依題意，命題“?x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，則ax2＋1≥0在x∈R上恒成立.當(dāng)a＝0時，1≥0成立，滿足題意；當(dāng)a＞0時，ax2＋1≥0成立，滿足題意；當(dāng)a＜0時，曲線y＝ax2＋1開口向下，ax2＋1≥0不恒成立.綜上所述，a≥0.故選B.3.（多選）下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（）A.至少有一個實數(shù)x，使得x3＝1B.菱形的對角線互相垂直C.?x∈R，x2＋x＋14＞0D.?x∈R，－x2＋x－2≥0的否定解析：AC對于選項A，命題是存在量詞命題，當(dāng)x＝1時，x3＝1，所以A中命題是真命題；對于選項B，命題是全稱量詞命題，不滿足題意；對于選項C，?x∈R，x2＋x＋14＞0的否定為：?x∈R，x2＋x＋14≤0，是存在量詞命題，x2＋x＋14＝x＋122≥0，當(dāng)x＝－12時，x2＋x＋14＝0，所以C中命題是真命題；對于選項D，?x∈R，－x2＋x－2≥0的否定是：?x∈R，－x2＋x－2＜0充分條件、必要條件的判定【例3】（1）（2024·濟寧模擬）設(shè)x∈R，則“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件（2）設(shè)a，b均為單位向量，則“｜a－3b｜＝｜3a＋b｜”是“a⊥b”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：（1）B（2）C解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，則集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分條件，故選B.（2）由｜a－3b｜＝｜3a＋b｜，得（a－3b）2＝（3a＋b）2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均為單位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得｜a－3b｜＝10，｜3a＋b｜＝10，能推出｜a－3b｜＝｜3a＋b｜.所以“｜a－3b｜＝｜3a＋b｜”是“a⊥b”的充要條件.故選C.解題技法充分條件、必要條件的兩種判定方法（1）定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；（2）集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.1.在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，則B＝90°，即△ABC為直角三角形，若△ABC為直角三角形，推不出B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，綜上“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件.2.（2021·全國甲卷7題）等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：B當(dāng)a1＜0，q＞0時，an＝a1qn－1＜0，此時數(shù)列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，則qn＞0（n∈N*），即q＞0；若a1＜0，則qn＜0（n∈N*），不存在.所以甲是乙的必要條件.充分條件、必要條件的探求與應(yīng)用【例4】（1）下列使“｜x－1｜＜1”成立的必要不充分條件是（）A.－12＜x＜1 B.－12＜xC.－3＜x＜12 D.－12＜x（2）已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為.答案：（1）B（2）[0，3]解析：（1）｜x－1｜＜1?－1＜x－1＜1?0＜x＜2，分析各選項，只有B是必要不充分條件，故選B.（2）由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P，∴1－m≥－2，1+m≤10，1－m≤1+m，解得0≤m≤3（變條件）本例（2）中條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤皒∈P是x∈S的充分不必要條件”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍為.答案：[9，＋∞）解析：由例（2）知P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充分不必要條件，∴P?S.∴[－2，10]?[1－m，1＋m].∴1－m≤－2，1+m>10或1－m＜－2，解題技法1.探求充分條件、必要條件的方法（1）尋求q的充分條件p，即求使q成立的條件p，即p?q；（2）尋求q的必要條件p，即求以q為條件可推出的結(jié)論p，即q?p；（3）尋求q的充要條件p，即尋求使q成立的條件p（p?q），同時又要尋求以q為條件可推出p成立（q?p），即p＝q.2.應(yīng)用充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（不等式組）求解；（2）要注意區(qū)間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號取決于端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.1.（多選）使2x≥1成立的一個充分不必要條件是（A.0＜x＜1 B.0＜x＜2C.x＜2 D.0＜x≤2解析：AB由2x≥1得0＜x≤2，依題意由選項組成的集合是（0，2]的真子集，故選A、2.設(shè)p：ln（2x－1）≤0，q：（x－a）[x－（a＋1）]≤0，若q是p的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是.答案：［0，12解析：p對應(yīng)的集合A＝{x｜y＝ln（2x－1）≤0}＝{x｜12＜x≤1}，q對應(yīng)的集合B＝{x｜（x－a）[x－（a＋1）]≤0}＝{x｜a≤x≤a＋1}.由q是p的必要不充分條件，知A?B.所以a≤12且a＋1≥1，因此0≤a≤1.（2024·開封模擬）命題“?x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定為（）A.?x∈R，x＋｜x｜＜0 B.?x∈R，x＋｜x｜≠0C.?x∈R，x＋｜x｜＜0 D.?x∈R，x＋｜x｜≥0解析：C根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，知命題“?x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定為“?x∈R，x＋｜x｜＜0”，故選C.2.“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B若xy＝0，如x＝0，y＝1，則x2＋y2≠0，故充分性不成立；若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0，則xy＝0，故必要性成立，所以“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的必要不充分條件.故選B.3.已知向量a＝（m2，－9），b＝（1，－1），則“m＝－3”是“a∥b”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A若m＝－3，則a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，則m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要條件.故選A.4.（2023·北京高考8題）若xy≠0，則“x＋y＝0”是“yx＋xy＝－2”的（A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：C充分性：因為xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以xy＋yx＝－yy＋y－y＝－1－1＝－2.必要性：因為xy≠0，且xy＋yx＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“5.（多選）下列命題中是真命題有（）A.?x∈R，x2≥0B.?x∈R，2x－1＞0C.?x∈R，lgx＜1D.?x∈（0，＋∞），（14）x＜（15解析：ABC對于A，y＝x2≥0恒成立，所以?x∈R，x2≥0，所以A正確；對于B，y＝2x＞0，所以?x∈R，2x－1＞0，所以B正確；對于C，x＝1，lgx＝0＜1，所以?x∈R，lgx＜1，所以C正確；對于D，因為?x∈（0，＋∞），（15）x＜（14）x，所以D錯誤，故選A、B6.（多選）（2024·南京一模）下列命題正確的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要條件B.“M＞N”是“l(fā)gM＞lgN”的必要不充分條件C.命題“?x∈R，x2＋1＜0”的否定是“?x∈R，使得x2＋1＜0”D.設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f'（x），則“f'（x0）＝0”是“f（x）在x＝x0處取得極值”的充要條件解析：ABA選項中，a＞1?a2＞1，但a2＞1?a＞1或a＜－1，故A正確；B選項中，當(dāng)M＞N＞0時有l(wèi)gM＞lgN，而lgM＞lgN必有M＞N＞0，故B正確；C選項中，命題的否定為“?x∈R，使得x2＋1≥0”，故C錯誤；D選項中，f'（x0）＝0不一定有f（x）在x＝x0處取得極值，而f（x）在x＝x0處取得極值則f'（x0）＝0，故D錯誤.故選A、B.7.已知命題p：?x∈R，x2－a≥0；命題q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p，q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為.答案：（－∞，－2]解析：由命題p為真，得a≤0；由命題q為真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.8.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，請寫出使得“m＜2a＋1b”恒成立的一個充分不必要條件.（用含m答案：m＜7（答案不唯一）解析：由題意可知a＞0，b＞0，故2a＋1b＝（2a＋1b）·（a＋2b）＝4＋4ba＋ab≥4＋24ba·ab＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝12，b＝14時取等號，所以2a＋1b≥8恒成立，若m＜2a＋1b恒成立9.命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（）A.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2B.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2C.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2D.?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2解析：D?改寫為?，?改寫為?，n≤x2的否定是n＞x2，則該命題的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2”.10.在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：C因為A，B是△ABC的內(nèi)角，且A＞B，所以0＜B＜A＜π，因為y＝cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，所以cosA＜cosB，故充分性成立；反之，y＝cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，0＜A＜π，0＜B＜π，若cosA＜cosB，則A＞B，故必要性成立，所以在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要條件.11.設(shè)計如圖所示的四個電路圖，則能表示“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件的一個電路圖是（）解析：C選項A：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的充分不必要條件；選項B：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的充要條件；選項C：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的必要不充分條件；選項D：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的既不充分也不必要條件.故選C.12.若命題“?x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（）A.－1 B.0C.1 D.3解析：A由題意，?x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，則當(dāng)x∈（－1，3）時，a≥h（x）有解，即a≥h（x）min（x∈（－1，3））