第一章數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

一概念

(-)整數(shù)

1整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù)。

2自然數(shù)

我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表達(dá)物體個(gè)數(shù)的1,2,3……叫做自然數(shù)。

一種物體也沒(méi)有，用0表達(dá)。0也是自然數(shù)。

3計(jì)數(shù)單位

一(個(gè))、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億……都是計(jì)數(shù)單位。

每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間日勺進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

4數(shù)位

計(jì)數(shù)單位按照一定的次序排列起來(lái)，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b(bWO),除得的商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，或者說(shuō)b能整除a。

假如數(shù)a能被數(shù)b(b,0)整除，2就叫做b的倍數(shù)，b就叫做all勺約數(shù)(或aU勺因數(shù))。倍數(shù)和約數(shù)是互

相依存的。

由于35能被7整除,因此35是加勺倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一種數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是它自身。例如：10的約數(shù)有1、2、

5、10,其中最小的約數(shù)是1,最大的約數(shù)是10。

一種數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它自身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小口勺倍數(shù)

是3,沒(méi)有最大的倍數(shù)。

個(gè)位上是0、2、4、6、8日勺數(shù)，都能被2整除，例如：202、480、304,都能被2整除。。

個(gè)位上是?；?的數(shù)，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

?種數(shù)的各位上時(shí)數(shù)的和能被3整除,這個(gè)數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

?種數(shù)各位數(shù).上附和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，不過(guò)能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

一種數(shù)口勺末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4

整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一種數(shù)H勺末二位數(shù)能被8（或125）整除，這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、460。、5000、12

344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特性可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一種數(shù)，假如只有1和它自身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、

7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一種數(shù)，假如除了1和它自身尚有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假如把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不一樣分

類(lèi)，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾種質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，

例如15=3x5,3和5叫做15U勺質(zhì)因數(shù)。

把一種合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表達(dá)出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾種數(shù)公有口勺約數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一種，叫做這幾種數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的

約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18時(shí)公約數(shù)，

6是它們的J最大公約數(shù)。

公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種狀況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)。

相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。

兩個(gè)不一樣的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個(gè)合數(shù)H勺公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，假如幾種數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說(shuō)這幾種數(shù)兩兩互質(zhì)。

假如較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

■

假如兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。

幾種數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾種數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一種，叫做這幾種數(shù)的最小公倍數(shù)，如2H勺倍數(shù)

有2、4、6、8、10、12、14、16、18...

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。

假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

假如兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾種數(shù)11勺公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾種數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限U勺。

（二）小數(shù)

1小數(shù)的意義

把整數(shù)I平均提成10份、10()份、1000份……得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表

達(dá)。

一位小數(shù)表達(dá)十分之幾，兩位小數(shù)表達(dá)百分之幾，三位小數(shù)表達(dá)千分之幾……

一種小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分構(gòu)成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊口勺數(shù)叫做整數(shù)部

分，小數(shù)點(diǎn)左邊時(shí)數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊時(shí)數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一''和整數(shù)部分的最

低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。

2小數(shù)日勺分類(lèi)

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，片做純小數(shù)。例如：0.25、0.368都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零H勺小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25.5.26都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分日勺數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：41.7.25.3、0.23都是有限小數(shù)。

無(wú)限小數(shù):小數(shù)部分的數(shù)位是無(wú)限的小數(shù)，叫做無(wú)限小數(shù)。例如:4.33……3.1415926……

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：一種數(shù)口勺小數(shù)部分，數(shù)字排列無(wú)規(guī)律且位數(shù)無(wú)限，這樣的小數(shù)叫做無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。例

如：n

循環(huán)小數(shù)：一種數(shù)的小數(shù)部分，有一種數(shù)字或者幾種數(shù)字依次不停反復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例

如：3.555……0.0333……12.109109……

一種循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不停反復(fù)出現(xiàn)U勺數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99……的循

環(huán)節(jié)是“9”，0.5454……的循環(huán)節(jié)是“54”。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222……0.03333……

寫(xiě)循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫(xiě)出一種循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上

各點(diǎn)一種圓點(diǎn)。假如循環(huán)節(jié)只有一種數(shù)字,就只在它日勺上面點(diǎn)一種點(diǎn)。例如：3.777……簡(jiǎn)寫(xiě)作0.5302

302……簡(jiǎn)寫(xiě)作o

（三）分?jǐn)?shù)

1分?jǐn)?shù)II勺意義

把單位“1”平均提成若干份，表達(dá)這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表達(dá)把單位'”平均提成多少份：分?jǐn)?shù)線

下面口勺數(shù)叫做分子，表達(dá)有這樣的多少份。

把單位“1”平均提成若干份，表達(dá)其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

2分?jǐn)?shù)的分類(lèi)

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)不不小于1。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等H勺分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)不小于或等于1。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成H勺數(shù)，一般叫做帶分?jǐn)?shù)。

3約分和通分

把一種分?jǐn)?shù)化成同它相等不過(guò)分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和本來(lái)分?jǐn)?shù)相等R勺同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

（四）百分?jǐn)?shù)

1表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)的百分之幾日勺數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，也叫做百分率或比例.百分?jǐn)?shù)一般用"％'來(lái)表達(dá)。百

分號(hào)是表達(dá)百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。

二措施

(-)數(shù)的I讀法和寫(xiě)法

1.整數(shù)口勺讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬(wàn)級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在背面加一

種“億”或“萬(wàn)”字。每一級(jí)末尾的J0都不讀出來(lái)，其他數(shù)位持續(xù)有幾種0都只讀一種零。

2.整數(shù)日勺寫(xiě)法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫(xiě)，哪一種數(shù)位上一種單位也沒(méi)有，就在那個(gè)數(shù)位上寫(xiě)0。

3.小數(shù)日勺讀法：讀小數(shù)日勺時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順次讀

出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

4.小數(shù)口勺寫(xiě)法：寫(xiě)小數(shù)日勺時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)，小數(shù)點(diǎn)寫(xiě)在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫(xiě)

出每?種數(shù)位上的數(shù)字。

5.分?jǐn)?shù)日勺讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)H勺讀法來(lái)讀。

6.分?jǐn)?shù)口勺寫(xiě)法：先寫(xiě)分?jǐn)?shù)線，再寫(xiě)分母，最終寫(xiě)分子，按照整數(shù)歐I寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)。

7.百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)日勺讀法來(lái)讀。

8.百分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：百分?jǐn)?shù)一般不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而在本來(lái)的分子背面加上百分號(hào)"％''來(lái)表達(dá)。

(二)數(shù)的改寫(xiě)

一種較大的多位數(shù)，為了讀寫(xiě)以便，常常把它改寫(xiě)成用“萬(wàn)''或"億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省

略這個(gè)數(shù)某一位背面11勺數(shù)，寫(xiě)成近似數(shù)。

1.精確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一種較大的數(shù)改寫(xiě)成以萬(wàn)或億為單位的數(shù)。改寫(xiě)后的

數(shù)是原數(shù)的精確數(shù)。例如把改寫(xiě)成以萬(wàn)做單位H勺數(shù)是125430萬(wàn)；改寫(xiě)成以?xún)|做單位的數(shù)12.543億。

2.近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們述可以把一種較大的數(shù)，省略某一位背面的尾數(shù)，用一種近似數(shù)來(lái)表達(dá)。

例如：省略?xún)|背面的尾數(shù)是13億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，就把尾數(shù)去掉；假如尾數(shù)的最高位上的數(shù)

是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略345900萬(wàn)背面H勺尾數(shù)約是35萬(wàn)。省

略?xún)|背面日勺尾數(shù)約是47億。

4.大小比較

1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)日勺大小，位數(shù)多口勺那個(gè)數(shù)就大，假如位數(shù)相似，就看最高位，最高位上的數(shù)

大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上口勺數(shù)相似，就看.卜一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。

2.比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相似H勺，十分位上的I數(shù)

大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上口勺數(shù)也相似的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大……

3.比較分?jǐn)?shù)的大小:分母相似日勺分?jǐn)?shù)，分子大日勺分?jǐn)?shù)比較大；分子相似日勺數(shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大。分?jǐn)?shù)的分母

和分子都不相似的，先通分，再匕較兩個(gè)數(shù)H勺大小。

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：本來(lái)有幾位小數(shù)，就在1口勺背面寫(xiě)幾種零作分母，把本來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能

約分日勺要約分。

2.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母清除分子。能除盡口勺就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，~

般保留三位小數(shù)。

3.一種最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，假如分母中除了2和5以外，不具有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；假如

分母中具有2和5以外"勺質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

4.小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同步在背面添上百分號(hào)。

5.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同步把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。

6.分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：一般先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，一般保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

7.百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，能約分時(shí)要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（四）數(shù)日勺整除

1把一種合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，--般用短除法。先用能整除這個(gè)合數(shù)的）質(zhì)數(shù)清除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再

把除數(shù)和商寫(xiě)成連乘的形式。

2.求幾種數(shù)的最大公約數(shù)日勺措施是：先用這幾種數(shù)的公約數(shù)持續(xù)清除，一直除到所得H勺商只有公約數(shù)1為

止，然后把所有的除數(shù)連乘求枳，這個(gè)積就是這幾種數(shù)的的最大公約數(shù)。

3.求幾種數(shù)的最小公倍數(shù)H勺措施是：先用這幾種數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）口勺公約數(shù)清除，一直除到互質(zhì)（或

兩兩互質(zhì)）為止，然后把所的的除數(shù)和商連乘求枳，這個(gè)積就是這幾種數(shù)的最小公倍數(shù)。

4.戌為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰H勺兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，

這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)：兩個(gè)合數(shù)日勺公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。

（五）約分和通分

約分的I措施：用分子和分母日勺公約數(shù)（1除外）清除分子、分母：一般要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。

通分的I措施：先求出本來(lái)日勺幾種分?jǐn)?shù)分母的）最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分

數(shù)。

三性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同步獷大或者同步縮小相似II勺倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化

1.小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，本來(lái)時(shí)數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，本來(lái)時(shí)數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向

右移動(dòng)三位，本來(lái)時(shí)數(shù)就擴(kuò)大1000倍……

2.小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，本來(lái)口勺數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，本來(lái)的J數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向

左移動(dòng)三位，本來(lái)時(shí)數(shù)就縮小1000倍……

3.小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0”補(bǔ)足位。

（四）分?jǐn)?shù)的J基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)歐I基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的I分子和分母都乘以或者除以相似的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1.被除數(shù)：除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)

2.由于零不能作除數(shù)，因此分?jǐn)?shù)的分母不能為零。

3.被除數(shù)相稱(chēng)于分子，除數(shù)相稱(chēng)于分母。

四運(yùn)算的J意義

（-）整數(shù)四則運(yùn)算

1整數(shù)加法：

把兩個(gè)數(shù)合并成一種數(shù)日勺運(yùn)算叫做加法。

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得時(shí)數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。

加數(shù)十加數(shù)二和一種加數(shù)二和一另一種加數(shù)

2整數(shù)減法：

已知兩個(gè)加數(shù)附和與其中H勺一種加數(shù)，求另一種加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分

別是部分?jǐn)?shù)。

加法和減法互為逆運(yùn)算。

3整數(shù)乘法：

求幾種相似加數(shù)附和的I簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。

在乘法里，相似的加數(shù)和相似加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相似加數(shù)日勺和叫做枳。

在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)，

一種因數(shù)x一種因數(shù)=積一種因數(shù)二樣"另一種因數(shù)

4整數(shù)除法：

已知兩個(gè)因數(shù)的枳與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一種因數(shù)叫做除數(shù)，所求的J因數(shù)叫做商。

乘法和除法互為逆運(yùn)算。

在除法里，0不能做除數(shù)。由于0和任何數(shù)相乘都得0,因此任何一種數(shù)除以0,均得不到一種確定的

商。

被除數(shù)?除數(shù)二商除數(shù):被除數(shù)小商被除數(shù)二商x除數(shù)

（二）小數(shù)四則運(yùn)算

1.小數(shù)加法：

小數(shù)加法日勺意義與整數(shù)加法日勺意義相似“是把兩個(gè)數(shù)合并成?種數(shù)日勺運(yùn)算.

2.小數(shù)減法：

小數(shù)減法日勺意義與整數(shù)減法日勺意義相似。己知兩個(gè)加數(shù)的和與其中日勺?種加數(shù)，求另?種加數(shù)的運(yùn)算.

3.小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相似，就是求幾種相似加數(shù)和U勺簡(jiǎn)便運(yùn)算；一種數(shù)乘純小數(shù)的意義是

求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。

4.小數(shù)除法:

小數(shù)除法H勺意義與整數(shù)除法口勺意義相似，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運(yùn)

算。

5.乘方:

求幾種相似因數(shù)的積口勺運(yùn)算叫做乘方。例如3x3=32

（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1.分?jǐn)?shù)加法:

分?jǐn)?shù)加法H勺意義與整數(shù)加法H勺意義相似。是把兩個(gè)數(shù)合并成?種數(shù)的運(yùn)算。

2.分?jǐn)?shù)減法:

分?jǐn)?shù)減法的I意義與整數(shù)減法H勺意義相似。已知兩個(gè)加數(shù)時(shí)和與其中日勺一種加數(shù)，求另一種加數(shù)的運(yùn)算。

3.分?jǐn)?shù)乘法:

分?jǐn)?shù)乘法日勺意義與整數(shù)乘法日勺意義相似,就是求幾種相似加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

4.乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。

5.分?jǐn)?shù)除法:

分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法口勺意義相似。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一種因數(shù)，求另一種因數(shù)的運(yùn)

算。

（四）運(yùn)算定律

1.加法互換律:

兩個(gè)數(shù)相加，互換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。

2.加法結(jié)合律:

三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)：或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一種數(shù)相加它們的和

不變，即(a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法互換律：

兩個(gè)數(shù)相乘，互換因數(shù)歐I位置它們時(shí)積不變，即axb二bxa。

4.乘法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一種數(shù)相乘，它們的

積不變，即(axb)xc二ax(bxc)。

5.乘法分派律：

兩個(gè)數(shù)H勺和與一種數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加，即(a+b)xc=axc+bxc。

6.減法H勺性質(zhì)：

從一種數(shù)里持續(xù)減去幾種數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)。

(五)運(yùn)算法則

1.整數(shù)加法計(jì)算法則：

相似數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿(mǎn)十，就向前一位進(jìn)一。

2.整數(shù)減法計(jì)算法則：

相似數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一

起，再減。

3.整數(shù)乘法計(jì)算法則：

先用一種因數(shù)每一位上H勺數(shù)分別去乘另一種因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得時(shí)數(shù)的

末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次乘得時(shí)數(shù)加起來(lái)。

4.整數(shù)除法計(jì)算法則:

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位：假如不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的

哪一位，商就寫(xiě)在哪一位日勺上面。假如哪一位上不夠商1,要補(bǔ)“0”占位。每次除得口勺余數(shù)要不不小于除

數(shù)。

5.小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積口勺右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；

假如位數(shù)不夠，就用“O”補(bǔ)足。

6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：

先按照整數(shù)除法的法則清除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊：假如除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就

在余數(shù)背面添“O”，再繼續(xù)除。

7.除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：

先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)日勺小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)

是整數(shù)H勺除法法則進(jìn)行計(jì)算。

8.同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算措施：

同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9.異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算措施：

先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的I法則進(jìn)行計(jì)算。

10.帶分?jǐn)?shù)加減法日勺計(jì)算措施：

整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得日勺數(shù)合并起來(lái)。

11.分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：

分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘U勺積作分子，分

母相乘H勺積作分母。

12.分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：

甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外)，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的)倒數(shù)。

(六)運(yùn)算次序

1.小數(shù)四則運(yùn)算時(shí)運(yùn)算次序和整數(shù)四則運(yùn)算次序相似。

2.分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算時(shí)運(yùn)算次序和整數(shù)四則運(yùn)算次序相似。

3.沒(méi)有括號(hào)的混合運(yùn)算：

同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算先算乘、除法，后算加減法。

4.有括號(hào)的混合運(yùn)算：

先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最終算括號(hào)外面的。

5.第一級(jí)運(yùn)算：

加法和減法叫做第?級(jí)運(yùn)算。

6.第二級(jí)運(yùn)算：

乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。

第二章度量衡

一長(zhǎng)度

(一)什么是長(zhǎng)度

長(zhǎng)度是一維空間的度量。

(二)長(zhǎng)度常用單位

*公里(km)*米(m)*分米(dm)*厘米(cm)*亳米(mm)*微米(um)

(三)單位之間的換算

*1亳米=1000微米*1厘米=1（）亳米*1分米=10厘米*1米=100（）亳米*1千米=1（X）0

米

二面積

（一）什么是面積

面積，就是物體所占平面H勺大小。對(duì)立體物體的I表面的多少時(shí)測(cè)量一般稱(chēng)表面積。

（二）常用的面積單位

*平方亳米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米

（三）面枳單位的換算

*1平方厘米=100平方毫米*1平方分米=10。平方厘米*1平方米=100平方分米

*1公傾=10000平方米*1平方公里=100公頃

三體枳和容積

（-）什么是體積、容積

體積，就是物體所占空間的J大小。

容積，箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體B勺體積，一般叫做它們的）容枳。

（二）常用單位

1體積單位

*立方米*立方分米*立方厘米

2容積單位*升*亳升

（三）單位換算

1體積單位

*1立方米=1000立方分米

*1立方分米=1000立方厘米

2容積單位

*I升=1000亳升

*I升=1立方米

*1亳升=1立方厘米

四質(zhì)量

（一）什么是質(zhì)量

質(zhì)量，就是表達(dá)表達(dá)物體有多重。

（二）常用單位

*噸t*公斤kg*克g

（三）常用換算

*一噸=1000公斤*1公斤=1000克

五時(shí)間

（-）什么是時(shí)間

是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時(shí)間

（二）常用單位

世紀(jì)、年、月、日、時(shí)、分、秒

（三）單位換算

*1世紀(jì)=123年*1年=365天平年*一年二366天閏年

*一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31天

*四、六、九、H■?一是小月小月小月有30天

*平年2月有28天閏年2月有29天

*1天=24小時(shí)*1小時(shí)=60分》1分=60秒

六貨幣

（-）什么是貨幣

貨幣是充當(dāng)一切商品口勺等價(jià)物的特殊商品。貨幣是價(jià)值的一般代表，可以購(gòu)置任何別日勺商品。

（二）常用單位

*元*角*分

（二）單位換算

*1元=10角*1角=10分

第三章代數(shù)初步知識(shí)

一、用字母表達(dá)數(shù)

1用字母表達(dá)數(shù)日勺意義和作用

*用字母表達(dá)數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)要的體現(xiàn)出來(lái)，同步也可以表達(dá)運(yùn)算日勺成果。

2用字母表達(dá)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、幾何形體的計(jì)算公式

（1）常見(jiàn)歐I數(shù)量關(guān)系

旅程用s表達(dá)，速度v用表達(dá)，時(shí)間用t表達(dá)，三者之間的關(guān)系：

s=vtv=s/tt=s/v

總價(jià)用a表達(dá)，單價(jià)用b表達(dá)，數(shù)量用c表達(dá)，三者之間的關(guān)系：

a=bcb=a/cc=a/b

（2）運(yùn)算定律和性質(zhì)

加法互換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法互換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

乘法分派律：(a+b)c=ac+bc

減法日勺性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c

(3)用字母表達(dá)幾何形體的公式

長(zhǎng)方形H勺長(zhǎng)用a表達(dá)，寬用b表達(dá)，周長(zhǎng)用c表達(dá)，面積用s表達(dá)。

c=2(a+b)

s=ab

正方形口勺邊長(zhǎng)a用表達(dá)，周長(zhǎng)用c表達(dá)，面枳用s表達(dá)。

c=4a

s=a2

平行四邊形的底a用表達(dá)，高用h表達(dá)，面枳用s表達(dá)。

s=ali

三角形的底用a表達(dá)，高用h表達(dá)，面積用s表達(dá)。

s=ah/2

梯形的上底用a表達(dá)，下底b用表達(dá)，高用h表達(dá)，中位線用m表達(dá)，面積用s表達(dá)。

s=(a+b)h/2s=mh

圓的半徑用r表達(dá)，直徑用d表達(dá)，周長(zhǎng)用c表達(dá)，面積用s表達(dá)。

c=nd=2fjrs=nr2

扇形的I半徑用r表達(dá)，n表達(dá)圓心角日勺度數(shù)，面枳用s表達(dá)。

s=nnr2/360

長(zhǎng)方體口勺長(zhǎng)用a表達(dá)，寬用b表達(dá)，高用h表達(dá)，表面積用s表達(dá)，體積用v表達(dá)。

v=sh

s=2(ab+ah+bh)v=abh

正方體H勺棱長(zhǎng)用a表達(dá)，底面周長(zhǎng)c用表達(dá)，底面積用s表達(dá)，體積用v表達(dá).

s=6a2v=a3

圓柱日勺高用h表達(dá)，底面周長(zhǎng)用c表達(dá)，底面枳用s表達(dá)，體積用v表達(dá).

s側(cè)=chs表=$側(cè)+2sJE&v=sh

圓錐日勺高用h表達(dá)，底面枳用s表達(dá)，體積用v表達(dá).

v=sh/3

3用字母表達(dá)數(shù)的寫(xiě)法

數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作或者省略不寫(xiě)，數(shù)字要寫(xiě)在字母的前面。

當(dāng)力”與任何字母相乘時(shí)，“1”省略不寫(xiě)。

在一種問(wèn)題中，同一種字母表達(dá)同一種量，不?樣的量用不一樣曰勺字母表達(dá)。

用具有字母的式子表達(dá)問(wèn)題的答案時(shí)，除數(shù)一般寫(xiě)成分母，假如式子中有加號(hào)或者減號(hào)，要先用括號(hào)把含

字母日勺式子括起來(lái)，再在括號(hào)背面寫(xiě)上單位日勺名稱(chēng)。

4將數(shù)值代入式子求值

*把詳細(xì)H勺數(shù)代入式子求值時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式：先寫(xiě)出字母等于幾，然后寫(xiě)出原式，再把數(shù)代入式子求

值。字母表達(dá)的是數(shù)，背面不寫(xiě)單位名稱(chēng)。

*同一種式子，式子中所含字母取不一樣的數(shù)值，那么所求出的式子日勺值也不相似。

二、簡(jiǎn)易方程

（一）方程和方程的解

1方程：具有未知數(shù)的等式叫做方程。

注意方程是等式，又具有未知數(shù)，兩者缺一不可。

方程和算術(shù)式不一樣。算術(shù)式是一種式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)構(gòu)成，它表達(dá)未知數(shù)。方程是一種等

式，在方程里的未知數(shù)可以參與運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定R勺數(shù)值時(shí)，方程才成立。

2方程的解：使方程左右兩邊相等日勺未知數(shù)的值，叫做方程的解。

二、解方程

解方程，求方程時(shí)解的過(guò)程叫做解方程。

四、列方程解應(yīng)用題

1到方程解應(yīng)用題的意義

*用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題時(shí)未知量的措施。

2到方程解答應(yīng)用題的環(huán)節(jié)

*弄清題意，確定未知數(shù)并用x表達(dá)；

次找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系：

*到方程，解方程；

*檢查或驗(yàn)算，寫(xiě)出答案。

3列方程解應(yīng)用題的措施

*綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)時(shí)代數(shù)式，再找出它們之間U勺等量關(guān)

系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過(guò)程，其思索方向是從已知到未知。

*分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)詳細(xì)建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)(量)和所設(shè)的未知數(shù)

(量)列成有關(guān)時(shí)代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過(guò)程，其思索方向是從未知到已

知。

4列方程解應(yīng)用題的范圍

小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解日勺應(yīng)用題：

a一般應(yīng)用題；

b和倍、差倍問(wèn)題；

c幾何形體的J周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算；

d分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

e比和比例應(yīng)用題。

五比和比例

1比R勺意義和性質(zhì)

(1)比的I意義

兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)日勺比。

“：”是比號(hào)，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比日勺前項(xiàng)，比號(hào)背面日勺數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除后來(lái)項(xiàng)所

得的商，叫做比值。

同除法比較，比的前項(xiàng)相稱(chēng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相稱(chēng)于除數(shù)，比值相稱(chēng)于商。

比值一般用分?jǐn)?shù)表達(dá)，也可以用小數(shù)表達(dá)，有時(shí)也也許是整數(shù)。

比的后項(xiàng)不能是零。

根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項(xiàng)相稱(chēng)于分子，后項(xiàng)相稱(chēng)于分母，比值相稱(chēng)于分?jǐn)?shù)值。

(2)比的性質(zhì)

比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同步乘上或者除以相似的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。

（3）求比值和化簡(jiǎn)比

求比值H勺措施：用比日勺前項(xiàng)除后來(lái)項(xiàng)，它的I成果是一種數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。

根據(jù)比H勺基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)樸的整數(shù)比。它的成果必須是一種最簡(jiǎn)比，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的

數(shù)。

（4）比例尺

圖上距離：實(shí)際距離二比例尺

規(guī)定會(huì)求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。

線段比例尺：在圖上附有?條注有數(shù)目的線段，用來(lái)表達(dá)和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離。

（5）按比例分派

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和平常生活中，常常需要把一種數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分派。這種分派歐I措施一般叫做按比

例分派。

措施：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。

2比例的I意義和性質(zhì)

（1）比例日勺意義

表達(dá)兩個(gè)比相等的式子叫做比例。

構(gòu)成比例日勺四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。

兩端日勺兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間日勺兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。

（2）比例日勺性質(zhì)

在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向II勺積。這叫做比例的基本性質(zhì)。

（3）解比例

根據(jù)比例口勺基本性質(zhì)，假如己知匕例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的此外一種未知項(xiàng)。求比例

中的未知項(xiàng)，叫做解比例。

3正比例和反比例

（1）成正比例的量

兩種有關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也伴隨變化，假如這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)口勺比值（也就是

商）一定，這兩種量就叫做成正匕例的量，他們?nèi)丈钻P(guān)系叫做正比例關(guān)系。

用字母表達(dá)y/x=k（一定）

⑵成反比例H勺量

兩種有關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也伴隨變化，假如這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)H勺枳一定，這兩種

量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

用字母表達(dá)XXy=k（?定）

第四章幾何的初步知識(shí)

一線和角

（1）線

*直線

直線沒(méi)有端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限；過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條，過(guò)兩點(diǎn)只能畫(huà)一條直線。

*射線

射線只有一種端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限。

*線段

線段有兩個(gè)端點(diǎn)，它是直線H勺一部分；長(zhǎng)度有限；兩點(diǎn)的連線中，線段為最短。

*平行線

在同一平面內(nèi)，不相交H勺兩條直線叫做平行線。

兩條平行線之間的垂線長(zhǎng)度都相等。

*垂線

兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條宣線叫做另一條直線的垂線，相交時(shí)點(diǎn)叫做垂

足。

從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫(huà)的垂線時(shí)長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離。

⑵角

（1）從一點(diǎn)引出兩條射線，所構(gòu)成日勺圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角內(nèi)邊。

（2）角的分類(lèi)

銳角：不不小于90叩勺角叫做銳角。

直角:等于90。的角叫做直角。

鈍角：不小于90。而不不小于180叩勺角叫做鈍角。

平角：角的兩邊成一條直線，這時(shí)所構(gòu)成日勺角叫做平角。平角180%

周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重疊。周角是360。。

二平面圖形

1長(zhǎng)方形

（1）特性

對(duì)邊相等，4個(gè)角都是直角U勺四邊形。有兩條對(duì)稱(chēng)軸。

（2）計(jì)算公式

c=2(a+b)s=ab

2正方形

（1）特性：

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形。有4條對(duì)稱(chēng)軸。

（2）計(jì)算公式

c=4a

s=a2

3三角形

（1）特性

由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。

（2）計(jì)算公式

s=ah/2

（3）分類(lèi)

按角分

銳角三角形：三個(gè)角都是銳角。

直角三角形：有一種角是直角。等腰三角形的兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對(duì)稱(chēng)軸。

鈍角三角形：有一種角是鈍角。

按邊分

不等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度不相等。

等腰三角形：有兩條邊長(zhǎng)度相等；兩個(gè)底角相等：有一條對(duì)稱(chēng)軸。

等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等；三個(gè)內(nèi)角都是60度；有三條對(duì)稱(chēng)軸。

4平行四邊形

(1)特性

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。

相對(duì)日勺邊平行且相等。對(duì)角相等，相鄰的兩個(gè)角口勺度數(shù)之和為180度。平行四邊形輕易變形。

(2)計(jì)算公式

s=ali

5梯形

(1)特性

只有一組對(duì)邊平行的四邊形。

中位線等于上下底和日勺二分之一。

等腰梯形有?條對(duì)稱(chēng)軸。

(2)公式

s=(a+b)h/2=mh

6I員I

(1)圓的認(rèn)識(shí)

平面上日勺?種曲線圖形。

圓中心U勺一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母。表達(dá)。

半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用r表達(dá)。

在同一種圓里，有無(wú)數(shù)條半徑，每條半徑的長(zhǎng)度都相等。

通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表達(dá)。

同一種圓里有無(wú)數(shù)條直徑，所有時(shí)直徑都相等。

同一種圓里，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度，即d=2r.

圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。

(2)圓的畫(huà)法

把圓規(guī)H勺兩腳分開(kāi)，定好兩腳間的距離(即半徑)：

把有針尖口勺一只腳固定在一點(diǎn)(即圓心)上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫(huà)出一種圓。

(3)圓H勺周長(zhǎng)

圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫做圓的周長(zhǎng)。

把圓日勺周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率。用字母n表達(dá)。

(4)圓日勺面枳

圓所占平面的大小叫做圓日勺面枳。

(5)計(jì)算公式

d=2rr=d/2c=ndc=2|-|rs=f[r2

7扇形

(1)扇形的認(rèn)識(shí)

?條弧和通過(guò)這條弧兩端日勺兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

圓上AB兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

在同一種圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)。

扇形有一條對(duì)稱(chēng)軸。

(2)計(jì)算公式

s=n|-|r2/360

8環(huán)形

⑴特性

由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。

(2)計(jì)算公式

s=n(R2-r2)

9軸對(duì)稱(chēng)圖形

(1)特性

假如一種圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形可以完全重疊，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱(chēng)圖形。折痕所在的這條

直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。

正方形有4條對(duì)稱(chēng)軸，長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱(chēng)軸。

等腰三角形有2條對(duì)稱(chēng)軸，等邊三角形有3條對(duì)稱(chēng)軸。

等腰梯形有一條對(duì)稱(chēng)軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。

菱形有4條對(duì)稱(chēng)軸，扇形有?條對(duì)稱(chēng)軸。

三立體圖形

(-)長(zhǎng)方體

1特性

六個(gè)面都是長(zhǎng)方形(有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形)。

相對(duì)口勺面面積相等，12條棱相對(duì)內(nèi)4條棱長(zhǎng)度相等。

有8個(gè)頂點(diǎn)。

相交于一種頂點(diǎn)的三條棱H勺長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)、寬、高。

兩個(gè)面相交的邊叫做極。

三條棱相交時(shí)點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。

把長(zhǎng)方體放在桌面上，最多只能看到三個(gè)面。

長(zhǎng)方體或者正方體6個(gè)面口勺總面積，叫做它的I表面積。

2計(jì)算公式

s=2（ab+ah+bh）

V=sh

V=abh

（二）正方體

1特性

六個(gè)面都是正方形

六個(gè)面H勺面枳相等

12條棱，棱長(zhǎng)都相等

有8個(gè)頂點(diǎn)

正方體可以看作特殊的長(zhǎng)方體

2計(jì)算公式

S表=6a2

v=a3

（三）圓柱

1圓柱口勺認(rèn)識(shí)

圓柱日勺上下兩個(gè)面叫做底面。

圓柱有一種曲面叫做側(cè)面。

圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高,

進(jìn)一法：實(shí)際中，使用日勺材料都要比計(jì)算的I成果多某些，因此，要保留數(shù)的I時(shí)候，省略的位上日勺是4或者

比4小，都要向前一位進(jìn)1。這種取近似值的I措施叫做進(jìn)一法。

2計(jì)算公式

s側(cè)二ch

s表二s側(cè)+s底x2

v=sh/3

（四）圓錐

1圓錐的認(rèn)識(shí)

圓錐日勺底面是個(gè)圓，圓錐日勺側(cè)面是個(gè)曲面。

從圓錐日勺頂點(diǎn)究竟面圓心的距離是圓錐的高。

測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用?塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之

間的距離。

把圓錐U勺側(cè)面展開(kāi)得到一種扇形。2計(jì)算公式

v=sh/3

（五）球

1認(rèn)識(shí)

球的表面是一種曲面，這個(gè)曲面叫做球面。

球和圓類(lèi)似，也有一種球心，用0表達(dá)。

從球心到球面上任意一點(diǎn)H勺線段叫做球的）半徑，用r表達(dá)，每條半徑都相等。

通過(guò)球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球H勺直徑，用d表達(dá)，每條直徑都相等，直徑的長(zhǎng)度等于半徑的2

倍，即d=2ro

2計(jì)算公式d=2r

第五章簡(jiǎn)樸的I記錄

一記錄表

（-）意義

*把記錄數(shù)據(jù)填寫(xiě)在一定格式的表格內(nèi)，用來(lái)反應(yīng)狀況、闡明問(wèn)題，這樣日勺表格就叫做記錄表。

（二）構(gòu)成部分

*一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分。表格外部分包括標(biāo)H勺名稱(chēng)，單位闡明和制表口期；表格內(nèi)部包括表

頭、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面。

（三）種類(lèi)

*單式記錄表:只具有一種項(xiàng)目的記錄表。

*第式記錄表：有兩個(gè)或兩個(gè)以上記錄項(xiàng)目日勺記錄表。

*百分?jǐn)?shù)記錄表：不僅表明各記錄項(xiàng)目的詳細(xì)數(shù)量，并且表明比較勁相稱(chēng)于原則量的比例的記錄表。

（四）制作環(huán)節(jié)

1搜集數(shù)據(jù)

2整頓數(shù)據(jù):

要根據(jù)制表的目的和記錄H勺內(nèi)容，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)。

3設(shè)計(jì)草表：

要根據(jù)記錄的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容、分欄格畫(huà)法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長(zhǎng)度。

4正式制表：

把查對(duì)過(guò)口勺數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表規(guī)定，用簡(jiǎn)樸、明確的語(yǔ)言寫(xiě)上記錄表的名稱(chēng)和制表口期。

二記錄圖

（―）意義

*用點(diǎn)線面積等來(lái)表達(dá)有關(guān)的量之間H勺數(shù)量關(guān)系的圖形叫做記錄圖。

（二）分類(lèi)

1條形記錄圖

用一種單位長(zhǎng)度表達(dá)一定日勺數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的I多少畫(huà)成長(zhǎng)短不一樣日勺直條，然后把這些直線按一定的次序

排列起來(lái)。

長(zhǎng)處：很輕易看出多種數(shù)量日勺多少。

注意：畫(huà)條形記錄圖時(shí)，直條的寬窄必須相似。

取?種單位長(zhǎng)度表達(dá)數(shù)量日勺多少要根據(jù)詳細(xì)狀況而確定；

復(fù)式條形記錄圖中表達(dá)不一-樣項(xiàng)目的直條，要用不一樣的線條或顏色區(qū)別開(kāi)，并在制圖日期下面注明圖

例。

制作條形記錄圖的一般環(huán)節(jié)：

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫(huà)出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線上，合適分派條形的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的詳細(xì)狀況，確定單位長(zhǎng)度表達(dá)多少。

（4）按照數(shù)據(jù)H勺大小畫(huà)出長(zhǎng)短不一樣日勺直條，井注明數(shù)量。

2折線記錄圖

用一種單位長(zhǎng)度表達(dá)一定H勺數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的I多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái)。

長(zhǎng)處：不僅可以表達(dá)數(shù)量H勺多少，并且可以清晰地表達(dá)出數(shù)量增減變化H勺狀況。

注意：折線記錄圖的橫軸表達(dá)不一樣的年份、月份等時(shí)間時(shí)，不一樣步間之間的距離要根據(jù)年份或月份日勺

間隔來(lái)確定。

制作折線記錄圖的一般環(huán)節(jié)：

（1）根據(jù)圖紙口勺大小，畫(huà)出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線I-.,合適分派折線H勺位置，確定直線H勺寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的詳細(xì)狀況，確定單位長(zhǎng)度表達(dá)多少。

（4）按照數(shù)據(jù)日勺大小描出各點(diǎn)，再用線段順次連接起來(lái)，并注明數(shù)量。

3扇形記錄圖

用整個(gè)圓日勺面積表達(dá)總數(shù)，用扇形面積表達(dá)各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。長(zhǎng)處：很清晰地表達(dá)出各部分同

總數(shù)之間日勺關(guān)系。制扇形記錄圖的一般環(huán)節(jié)：（1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾。

（2）再算出表達(dá)各部分?jǐn)?shù)量的扇形日勺圓心角度數(shù)。（3）取合適日勺半徑畫(huà)?種圓，并按照上面算出日勺圓心

角的度數(shù)，在圓里畫(huà)出各個(gè)扇形。（4）在每個(gè)扇形中標(biāo)明所示的各部分?jǐn)?shù)量名稱(chēng)和所占的百分?jǐn)?shù)，并用

不?樣顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開(kāi)。

第五章簡(jiǎn)樸的記錄

-記錄表

（一）意義

把記錄數(shù)據(jù)填寫(xiě)在一定格式H勺表格內(nèi)，用來(lái)反應(yīng)狀況、闡明問(wèn)題，這樣的表格就叫做記錄表。

)構(gòu)成部分

*一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分。表格外部分包括標(biāo)的名稱(chēng)，單位闡明和制表日期；表格內(nèi)部包括表

頭橫標(biāo)目縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面。

三）種類(lèi)

單式記錄表：只具有一種項(xiàng)目的記錄表。

木復(fù)式記錄表：具有兩個(gè)或兩個(gè)以上記錄項(xiàng)目的記錄表。

*百分?jǐn)?shù)記錄表：不僅表明各記錄項(xiàng)目的I詳細(xì)數(shù)量，并且表明比較勁相稱(chēng)于原則量H勺比例的記錄表。

四)制作環(huán)節(jié)

1搜集數(shù)據(jù)

2整頓據(jù)

要根據(jù)制表口勺目的和記錄內(nèi)容，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)。

3設(shè)計(jì)草表

要根據(jù)記錄的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容、分欄格畫(huà)法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長(zhǎng)度。

4正式制表

把查對(duì)過(guò)口勺數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表規(guī)定，用簡(jiǎn)樸、明確歐I語(yǔ)言寫(xiě)上記錄表的名稱(chēng)和制表日期。

記錄圖

（一）意義

*用點(diǎn)線面積等來(lái)表達(dá)有關(guān)日勺量之間的數(shù)量關(guān)系的J圖形叫做記錄圖。

（二）分類(lèi)

1條形記錄圖

用一種單位長(zhǎng)度表達(dá)一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫(huà)成長(zhǎng)短不一樣的直條，然后把這些直線按一定I向次序

排列起來(lái)。

長(zhǎng)處：很輕易看出多種數(shù)量的多少。

注意：畫(huà)條形記錄圖時(shí)，直條日勺寬窄必須相似。

取種單位K度表達(dá)數(shù)量的多少要根據(jù)詳細(xì)狀況而確定；

復(fù)式條形記錄圖中表達(dá)不一樣項(xiàng)目的直條，要用不一樣的線條或顏色區(qū)別開(kāi)，并在制圖日期下面注明圖

例

制作條形記錄圖的J一般環(huán)節(jié)：

(I)根據(jù)圖紙的大小畫(huà)出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線上，合適分派條形的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的詳細(xì)狀況，確定單位長(zhǎng)度表達(dá)多少。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小畫(huà)出長(zhǎng)短不一樣的直條，并注明數(shù)量。

2折線記錄圖

用一種單位長(zhǎng)度表達(dá)一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái)。

長(zhǎng)處：不僅可以表達(dá)數(shù)量的多少，并且可以清晰地表達(dá)出數(shù)量增減變化的狀況。

注意：折線記錄圖的橫軸表達(dá)不一樣的年份、月份等時(shí)間時(shí)，無(wú)一樣步間之間口勺距離要根據(jù)年份或月份H勺

間隔來(lái)確定。

制作折線記錄圖的一般環(huán)節(jié)：

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫(huà)出兩條互相垂直日勺射線。

（2）在水平射線上，合適分派折線日勺位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直日勺深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的詳細(xì)狀況，確定單位長(zhǎng)度表達(dá)多少。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小描出各點(diǎn)，再用線段順次連接起來(lái)，并注明數(shù)量。

3扇形記錄圖

用整個(gè)圓口勺面積表達(dá)總數(shù)，用扇形面積表達(dá)各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。長(zhǎng)處：很清晰地表達(dá)出各部分同

總數(shù)之間的關(guān)系。制扇形記錄圖H勺一般環(huán)節(jié)：（1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾。

（2）再算出表達(dá)各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。（3）取合適的半徑畫(huà)一種圓，并按照上面算出的圓心

角的度數(shù)，在圓里畫(huà)出各個(gè)扇形。（4）在每個(gè)扇形中標(biāo)明所示的各部分?jǐn)?shù)量名稱(chēng)和所占的百分?jǐn)?shù)，并用

不一樣顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開(kāi)。

五應(yīng)用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1簡(jiǎn)樸應(yīng)用題

（1）簡(jiǎn)樸應(yīng)用題：只具有一種基本數(shù)量關(guān)系,或用一步運(yùn)算解答歐I應(yīng)用題，一般叫做簡(jiǎn)樸應(yīng)用題。

（2）解題環(huán)節(jié)：

a審題理解題意：理解應(yīng)用題的內(nèi)容，懂得應(yīng)用題的條件和問(wèn)題。讀題時(shí)，不去字不添字邊讀邊思索，弄

明白題中每句話口勺意思。也可以復(fù)述條件和問(wèn)題，協(xié)助理解題意。

b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，規(guī)定什么著手，逐漸根據(jù)所給

的條件和問(wèn)題，聯(lián)絡(luò)四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法,進(jìn)行解答并標(biāo)明對(duì)H勺曰勺單位名稱(chēng)。

C檢查：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問(wèn)題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過(guò)程與否對(duì)的，與否符合題意。假如發(fā)

現(xiàn)錯(cuò)誤，立即改正。

2復(fù)合應(yīng)用題

（1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上口勺基本數(shù)量關(guān)系構(gòu)成歐J,用兩步或兩步以上運(yùn)算解答時(shí)應(yīng)用題，一般叫做復(fù)合應(yīng)

用題

(2)具有三個(gè)已知條件H勺兩步計(jì)算H勺應(yīng)用題。

求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾種數(shù)的應(yīng)用題。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題

(3)具有兩個(gè)已知條件的I兩步計(jì)算口勺應(yīng)用翅。

已知兩數(shù)相差多少或倍數(shù)關(guān)系）與其中一種數(shù)，求兩個(gè)數(shù)口勺和（或差）。

已知兩數(shù)之和與其中一種數(shù)求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。

（4）解答連乘連除