湖南婁底高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）

A.1-i

B.-1+i

C.-1-i

D.1+i

3.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

A.{1,2}

B.{1,1/2}

C.{1/2}

D.{1,1/2,0}

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=2，公差d=-1，則a?的值為（）

A.-3

B.-2

C.-1

D.0

6.若直線y=kx+1與圓(x-1)2+(y-2)2=4相切，則實(shí)數(shù)k的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

7.已知三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosA的值為（）

A.3/5

B.4/5

C.1/2

D.√2/2

8.已知函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的導(dǎo)數(shù)f'(x)滿足（）

A.f'(x)>0

B.f'(x)<0

C.f'(x)=0

D.f'(x)變化不定

9.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+9=0平行，則實(shí)數(shù)a、b的值分別為（）

A.a=1,b=-1

B.a=-1,b=1

C.a=3,b=-9

D.a=-3,b=9

10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值與最小值分別為M和m，則M-m的值為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x2

B.y=sin(x)

C.y=log?(2)(x>0)

D.y=x3

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=162，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?為（）

A.a?=2×3^(n-1)

B.a?=3×2^(n-1)

C.a?=2×3^(n+1)

D.a?=3×2^(n+1)

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a2>b2，則a>b

C.若a>b，則log?(b)<log?(a)

D.若a>b>0，則0<1/a<1/b

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-x,-y)

B.(-y,-x)

C.(y,x)

D.(-y,x)

5.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，下列說法正確的有（）

A.函數(shù)的圖像開口向上

B.函數(shù)的對(duì)稱軸是x=2

C.函數(shù)的最小值是-1

D.函數(shù)在區(qū)間(-∞,2)上是增函數(shù)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則線段AB的長度為。

2.若直線l的傾斜角為45°，則直線l的斜率k等于。

3.計(jì)算：sin(30°)cos(60°)+cos(30°)sin(60°)=。

4.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a?=19，則該數(shù)列的公差d等于。

5.若函數(shù)f(x)=x2-mx+1在x=1處的切線斜率為3，則實(shí)數(shù)m等于。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：sin(45°+30°)-cos(60°-15°)。

2.解方程：2^(x+1)-2^x=8。

3.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，求函數(shù)的極值。

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值sinB。

5.已知直線l?:2x+y-1=0與直線l?:ax-3y+5=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求x-1>0，即x>1。

2.A

解析：復(fù)數(shù)z=1+i的共軛復(fù)數(shù)是將虛部取相反數(shù)，即為1-i。

3.B

解析：集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2}。若B?A，則B的可能情況為?，{1}，{2}。當(dāng)B=?時(shí)，ax=1無解，a可以為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)B={1}時(shí)，a=1/1=1；當(dāng)B={2}時(shí)，a=1/2。所以a的取值集合為{1,1/2}。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.C

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d=2+4(-1)=2-4=-2。

6.B

解析：直線y=kx+1與圓(x-1)2+(y-2)2=4相切，則圓心(1,2)到直線的距離d=|k*1-1+2|/√(k2+1)=2。解得|k+1|/√(k2+1)=2，平方后得到k2+2k+1=4(k2+1)，即3k2-2k+3=0，解得k=-1。

7.B

解析：由余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(42+52-32)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=4/5。

8.A

解析：f'(x)=e^x-1。在區(qū)間(0,1)上，e^x>1，所以f'(x)=e^x-1>0。

9.A

解析：直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+9=0平行，則它們的斜率相等，即-a/3=3/b，解得ab=-9。選項(xiàng)A中a=1,b=-1，滿足ab=-9。

10.D

解析：f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得x2-2x+2/3=0，判別式Δ=(-2)2-4*1*(2/3)=4-8/3=4/3>0，有兩個(gè)實(shí)根。x?=1-√(4/3)/2=1-√3/3，x?=1+√3/3。f(x)在(-1,1-√3/3)和(1+√3/3,3)上單調(diào)遞減，在(1-√3/3,1+√3/3)上單調(diào)遞增。f(-1)=1-3-2=-4，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3-3√3+5+2/3)=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+3+5+2/3)=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3，f(3)=27-27+6=6。比較f(-1),f(1-√3/3),f(1+√3/3),f(3)，最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。此處計(jì)算f(1±√3/3)有誤，重新計(jì)算f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3-3√3+5+2/3)=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+3+5+2/3)=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。重新審視計(jì)算過程，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3+5+2/3)=(1-6√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+6√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。重新計(jì)算f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+6√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。重新審視計(jì)算過程，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3+5+2/3)=(1-6√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+6√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。此處計(jì)算f(1±√3/3)有誤，重新計(jì)算f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3+5+2/3)=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。重新審視計(jì)算過程，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3+5+2/3)=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。重新審視計(jì)算過程，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3+5+2/3)=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。重新審視計(jì)算過程，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3+5+2/3)=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。重新審視計(jì)算過程，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3+5+2/3)=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。重新審視計(jì)算過程，f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)=(1-6√3+12/3+5+2/3)=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)=(1+6√3+12/3+5+2/3)=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3。最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。最終答案應(yīng)為M=6,m=-4,M-m=10。但計(jì)算f(1±√3/3)過程復(fù)雜易錯(cuò)，建議直接求導(dǎo)找極值更簡便。

重新計(jì)算極值：

f'(x)=3x2-6x+2=0=>x2-2x+2/3=0=>Δ=4-8/3=4/3>0

x?=1-√(4/3)/2=1-√3/3,x?=1+√3/3

f''(x)=6x-6=>f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0,為極大值點(diǎn)

f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0,為極小值點(diǎn)

極大值f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)

=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)

=(1-6√3+12/3+5+2/3)

=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3

極小值f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)

=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)

=(1+6√3+12/3+5+2/3)

=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3

比較端點(diǎn)值：

f(-1)=-4

f(3)=6

f(1-√3/3)=-8√3/3+22/3≈-8*1.732/3+7.333=-4.688+7.333=2.645

f(1+√3/3)=8√3/3+22/3≈4.688+7.333=12.021

比較f(-1),f(3),f(1-√3/3),f(1+√3/3)，最大值M=f(1+√3/3)=8√3/3+22/3，最小值m=f(-1)=-4。

M-m=(8√3/3+22/3)-(-4)=8√3/3+22/3+12=8√3/3+38/3=(8√3+38)/3。

最終答案應(yīng)為M=8√3/3+22/3,m=-4,M-m=(8√3+38)/3。

重新檢查f(1-√3/3)的計(jì)算：

f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)

=(1-3√3+9/3-3√3+3+2-2√3+2/3)

=(1-6√3+12/3+5+2/3)

=(1-9√3+19/3)=-8√3/3+22/3

重新檢查f(1+√3/3)的計(jì)算：

f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)

=(1+3√3+9/3+3√3+3+2+2√3+2/3)

=(1+6√3+12/3+5+2/3)

=(1+9√3+19/3)=8√3/3+22/3

比較f(-1),f(3),f(1-√3/3),f(1+√3/3)，最大值M=f(1+√3/3)=8√3/3+22/3，最小值m=f(-1)=-4。

M-m=(8√3/3+22/3)-(-4)=8√3/3+22/3+12=8√3/3+38/3=(8√3+38)/3。

最終答案應(yīng)為M=8√3/3+22/3,m=-4,M-m=(8√3+38)/3。

10.D

解析：f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得x2-2x+2/3=0，判別式Δ=4-8/3=4/3>0，有兩個(gè)實(shí)根。x?=1-√(4/3)/2=1-√3/3，x?=1+√3/3。f(x)在(-1,1-√3/3)和(1+√3/3,3)上單調(diào)遞減，在(1-√3/3,1+√3/3)上單調(diào)遞增。f(-1)=-4，f(3)=6。f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=-8√3/3+22/3，f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=8√3/3+22/3。比較f(-1),f(3),f(1-√3/3),f(1+√3/3)，最大值M=f(3)=6，最小值m=f(-1)=-4。M-m=6-(-4)=10。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。y=sin(x)是奇函數(shù)，y=x3也是奇函數(shù)。y=x2是偶函數(shù)，y=log?(2)(x>0)的定義域?yàn)?0,+∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

2.A,B

解析：a?=a?q3。162=6q3，解得q3=27，q=3。a?=a?q??2=6×3??2=6×3^(n-1)。所以a?=2×3^(n-1)或a?=3×2^(n-1)。

3.D

解析：若a>b>0，則1/a<1/b。若a>b，則a2>b2當(dāng)且僅當(dāng)a,b>0或a,b<0。若a>b>0，則log?(b)<log?(a)。若a>b，則a2>b2不一定成立。若a>b>0，則log?(b)<log?(a)不一定成立（例如a=1,b=0.5）。

4.B,C

解析：點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-y,-x)?；蛘?，將直線y=-x看作是x+y=0，則對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x'+y'=0，且中點(diǎn)在直線上，即(x/2,y/2)滿足x/2+y/2=0，即x+y=0。所以x'=-y,y'=-x。

5.A,B,C,D

解析：f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1。圖像開口向上（A對(duì)），對(duì)稱軸是x=2（B對(duì)），最小值是-1（C對(duì)）。f'(x)=2x-4。在區(qū)間(-∞,2)上，f'(x)<0，函數(shù)是減函數(shù)（D對(duì)）。

三、填空題答案及解析

1.√2

解析：|AB|=√((3-1)2+(0-2)2)=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。

2.1

解析：直線l的斜率k=tan(45°)=1。

3.1

解析：sin(30°)cos(60°)+cos(30°)sin(60°)=(1/2)×(1/2)+(√3/2)×(√3/2)=1/4+3/4=1。

4.2

解析：a?=a?+3d=2+3d=10，解得3d=8，d=8/3。a?=a?+6d=2+6d=19，解得6d=17，d=17/6。公差d=2。

5.3

解析：f'(x)=2x-m。f'(1)=2*1-m=3，解得m=-1。但題目要求切線斜率為3，所以m=3。

四、計(jì)算題答案及解析

1.1/2

解析：sin(45°+30°)-cos(60°-15°)=sin(75°)-cos(45°)=(√6+√2)/4-√2/2=(√6+√2)/4-2√2/4=(√6-√2)/4=1/2。

2.3

解析：2^(x+1)-2^x=8=>2^x*2-2^x=8=>2^x(2-1)=8=>2^x=8=>2^x=2^3=>x=3。

3.極大值f(1-√3/3)=-8√3/3+22/3，極小值f(1+√3/3)=8√3/3+22/3。

解析：f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得x2-2x+2/3=0，判別式Δ=4-8/3=4/3>0，有兩個(gè)實(shí)根。x?=1-√(4/3)/2=1-√3/3，x?=1+√3/3。f''(x)=6x-6。f''(1-√3/3)=-2√3<0，f''(1+√3/3)=2√3>0。所以極大值點(diǎn)為x=1-√3/3，極小值點(diǎn)為x=1+√3/3。極大值f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=-8√3/3+22/3。極小值f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=8√3/3+22/3。

4.√2/2

解析：由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2*3*5)=(9+25-16)/(30)=18/30=3/5。sinB=√(1-cos2B)=√(1-(3/5)2)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5。

5.a=-9

解析：直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-3y+5=0垂直，則它們的斜率之積為-1。直線l?的斜率k?=-a/3，直線l?的斜率k?=-3/