第10講一元二次函數(shù)、方程和不等式內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1.實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.2.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a>b，c<0?ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2).知識(shí)點(diǎn)2基本不等式1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(2)ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大).注意：1.≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.二次函數(shù)解析式的三種形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，圖象的對(duì)稱軸是x＝－，頂點(diǎn)坐標(biāo)是頂點(diǎn)式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，圖象的對(duì)稱軸是x＝m，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m，n)零點(diǎn)式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，圖象的對(duì)稱軸是x＝2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域?qū)ΨQ軸x＝－頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)常用結(jié)論：①.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)時(shí)恒有f(x)>0，當(dāng)時(shí)，恒有f(x)<0.3.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??注意：1.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(1)若a>b>0，m>0，則；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b?.2.對(duì)于不等式ax2＋bx＋c>0，求解時(shí)不要忘記a＝0時(shí)的情形.3.當(dāng)Δ<0時(shí)，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別.教材習(xí)題01設(shè)，，比較m，n的大小關(guān)系．解題方法由，所以.【答案】教材習(xí)題02糖水中含有糖，若再添加糖（其中），生活常識(shí)告訴我們：添加的糖完全溶解后，糖水會(huì)更甜.根據(jù)這個(gè)生活常識(shí)，你能提煉出一個(gè)不等式嗎？試給出證明.解題方法因?yàn)榧犹呛筇撬?，即糖水的濃度變大，所以提煉出的不等式為：，其中，下面用作差比較法給出證明：.因?yàn)?，，都是正?shù)，且，則，.可得，所以.【答案】，其中，，證明見解析教材習(xí)題03解不等式．解題方法原不等式等價(jià)于，即，所以．故原不等式的解集為．【答案】考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)（多選題）1．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列不等式成立的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由不等式的性質(zhì)，可得，所以B正確；對(duì)于C，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以C正確；對(duì)于D，由，所以，所以D正確.故選：BCD.（多選題）2．設(shè)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，取滿足，而不成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，則，C正確；對(duì)于D，由，得，則，D正確.故選：ACD3．已知，，設(shè)，，則與的大小關(guān)系為．【答案】【詳解】．因?yàn)?，，所以，，，所以，所以?．（1）已知，，求，及的取值范圍．（2）設(shè)、均為正實(shí)數(shù)，試比較和的大?。敬鸢浮浚?）答案見解析；（2）答案見解析.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，兩個(gè)不等式相加可得，即．因?yàn)?，所以，又，兩個(gè)不等式相加可得，即．因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，兩個(gè)不等式相加乘可得：，即；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)不等式相加乘可得：，即，所以．的取值范圍為；的取值范圍為；的取值范圍為.（2）．因?yàn)椋鶠檎龑?shí)數(shù)，所以．當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．

綜上可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．5．（1）試比較與的大小（2）已知，，求，的取值范圍.【答案】（1）；（2）；【詳解】（1）因?yàn)樗?（2）因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所?考點(diǎn)二一元二次不等式1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不等式，可化為，所以，又，所以，故選：B.2．已知命題為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意當(dāng)時(shí)，需滿足解得：，綜上，故選：D3．若不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值集合是.【答案】【詳解】由題意，可得，即，則實(shí)數(shù)的取值集合是.故答案為：.4．1881年英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰?維恩發(fā)明了Venn圖，用來直觀表示集合之間的關(guān)系．全集，集合，的關(guān)系如圖所示，其中區(qū)域Ⅰ，Ⅱ構(gòu)成M，區(qū)域Ⅱ，Ⅲ構(gòu)成N．若區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)閰^(qū)域，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，所以或，解得．5．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足.(1)若，且都為真命題，求的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）時(shí)，，，即，由得，解得又，而，都為真命題，所以；（2），，由是的充分不必要條件，則等號(hào)不同時(shí)成立，又因?yàn)椋?考點(diǎn)三其他不等式1．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，當(dāng)時(shí)，，即，解得，故此時(shí)符合題意．當(dāng)時(shí)，，所以，故符合題意．由得，由題可知是的子集，所以．2．已知不等式的解集為或，則不等式的解集為（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【詳解】由題意知，1為方程的兩根，所以解得則不等式可化為，即，解得．3．不等式的解集為.【答案】【詳解】依題意得，解得或，故答案為：4．不等式的解集為．【答案】或【詳解】由可得，即，如下圖所示：由“穿針引線”法可知，原不等式的解集為或.故答案為：或.5．解下列關(guān)于x的不等式(1)(2)(3)【答案】(1)或或(2)或(3)【詳解】（1）原不等式可化為，可得，所以或，即或，解不等式組得或或所以不等式的解集為或或.（2）原不等式等價(jià)于不等式組：，所以，解不等式得或，解不等式得，所以原不等式的解集為或；（3）原不等式等價(jià)于不等式組：或，分別解兩個(gè)不等式組得或，所以原不等式的解集為.考點(diǎn)四基本不等式1．已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，根?jù)基本不等式可得，所以.當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：A.2．函數(shù)在上的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)函數(shù)在上的最小值是2.故選：C（多選題）3．已知且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】ABD【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)榍遥?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)榍?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，令所以所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．4．函數(shù)的最小值為，此時(shí)x的值為．【答案】【詳解】由知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．方法總結(jié)對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換等．5．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】設(shè)，，則，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等；，.故答案為：.6．已知，則的最小值為．【答案】【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：考點(diǎn)五一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系1．對(duì)于下列結(jié)論：①方程的兩根之和為，兩根之積為；②方程的兩根之和為，兩根之積為；③方程的兩根之和為，兩根之積為；④方程的兩根之和為，兩根之積為．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于①，方程的判別式，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知，這個(gè)方程的兩根之和為，兩根之積為，①對(duì)；對(duì)于②，方程的判別式為，這個(gè)方程無實(shí)解，②錯(cuò)；對(duì)于③，方程的判別式為，這方程的兩根之和為，兩根之積為，③對(duì)；對(duì)于④，方程的判別式為，這個(gè)方程的兩根之和為，兩根之積為，④錯(cuò).故選：B.2．若關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11，則等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則，即，且，由題意，得，則，解得（舍去）或.故選：C.3．設(shè)常數(shù)，已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別為、，若，則．【答案】【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別為、，則，解得，所以，，又，即，解得或（舍去）；故答案為：4．已知二次不等式的解集為，，則的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)槎尾坏仁降慕饧癁椋瑒t的兩根為，則，所以，解得，故答案為：.5．已知是關(guān)于方程的兩個(gè)根，且都大于1．若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】【詳解】根據(jù)題意得,∵∴，∴∴整理得,解得當(dāng)時(shí),原方程為,解得(不符合條件舍去)，當(dāng)時(shí),原方程為,解得符合題意；∴k的值為7.知識(shí)導(dǎo)圖記憶知識(shí)目標(biāo)復(fù)核1．等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)2．基本不等式3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1．不等式的解集為（

）A．，或 B．C．，或 D．【答案】A【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】應(yīng)用一元二次不等式的解法求解集.【詳解】由，可得或，故解集為，或.故選：A2．已知，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】D【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷得解.【詳解】若，，則，則，反之，若，則，又，所以，即，此時(shí)不一定成立，比如，此時(shí)，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：D3．一元二次不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式【詳解】因?yàn)?，所以方程無實(shí)數(shù)根，所以二次函數(shù)的圖象全都在軸的上方，所以一元二次不等式的解集為.故選：C4．已知，，，則的最小值為（

）A．9 B． C．4 D．6【答案】B【難度】0.94【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用“1”的妙用，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)b2a=2ab，且故的最小值為，故選：B5．不等式的解集是，則的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)【分析】首先根據(jù)不等式的解集求出的值，可求出的解集.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以是方程的兩個(gè)根.所以，解得.所以不等式化簡(jiǎn)得.所以.故選：B.6．，不等式恒成立，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、基本不等式求和的最小值【分析】先根據(jù)一元二次不等式恒成立得出，再應(yīng)用基本不等式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，不等式恒成立，?dāng)時(shí)，不恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，滿足且，即，所以，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即，取的最小值為.故選：B.7．已知，則的最大值為（

）A． B．0 C．4 D．【答案】D【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】將原式變形，再結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D8．已知命題；，則是的（

）A．充分而非必要條件 B．必要而非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】解不等式，求得不等式的解，利用充分條件，必要條件的定義可得結(jié)論.【詳解】由，得，解得，由，得，解得，所以，反之不成立，所以是的必要而非充分條件.故選：B.（多選題）9．設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿足，則（

）A．的最大值為1 B．的最小值為2C．的最小值為2 D．的最小值為【答案】ABD【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求最值可判斷ABC，利用代換1法求最小值可判斷D.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m、n滿足，所以由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故A正確；又由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故B正確；又由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故C錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故D正確；故選：ABD.（多選題）10．若，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、基本不等式求和的最小值【分析】舉反例證明選項(xiàng)A，利用不等式的性質(zhì)證明選項(xiàng)B，利用基本不等式證明選項(xiàng)C，利用不等式的性質(zhì)證明選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故B正確；由，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，故，故C正確；因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知，則的范圍是．【答案】【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】利用重要不等式即可求解.【詳解】由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以的范圍是.故答案為：.12．不等式的解集為．【答案】或.【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】將分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.【詳解】等價(jià)于，即，解得或，即原不等式的解集為：或.故答案為：或.13．不等式的解集為．【答案】【難度】0.65【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式【分析】應(yīng)用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集.【詳解】由題設(shè)，而，所以，則，即解集為.故答案為：14．已知集合.(1)若，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【難度】