第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省莆田四中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z滿足zi=|3+4i|，則復(fù)數(shù)z的虛部是(

)A.1 B.i C.?5 D.?5i2.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，則平面圖形ABCD中對(duì)角線AC的長度為(

)A.5

B.3

C.23.如圖所示，D，E為△ABC邊BC上的三等分點(diǎn)，且|AB|=|AC|A.AD=AE

B.BD=CE

C.AB4.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是棱B1C1，C1A.π6

B.π4

C.π3

5.若底面半徑為r，母線長為l的圓錐的表面積與直徑為l的球的表面積相等，則rl=(

)A.5?1 B.5?12 6.歐拉公式eix=cosx+isinx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.若在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的兩根為z1，z2A.復(fù)數(shù)ei3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

B.z2=1?i

C.|a+bi|=2

D.若復(fù)數(shù)z滿足7.在△ABC中，已知(a2+b2)A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形8.已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，以正方體中心為球心的球O與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)P在球O的正方體外部(A.2 B.74 C.34 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知α，β是空間中的兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線.下列命題正確的是(

)A.若l//α，α//β，則l//β

B.若m⊥α，m/?/n，n?β，則α⊥β

C.若m⊥n，m⊥α，n//β，則α⊥β

D.若m⊥α，n⊥β，α//β，則m//n10.設(shè)z1，z2，z3是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是A.若|z1?z2|=0，則z1?=z2? B.若z111.若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足12b?a+2asin2A.角C一定為銳角 B.tanAtanC=?13

C.a2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知OA=(1,2)，OB=(3,?4)，則AB在OA方向上的投影向量坐標(biāo)為______．13.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△ABC，若AC=39，sin∠ACF=1313，則14.在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，邊長為2，∠BAD=π3，側(cè)棱長2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|3a?b|=3．

(1)求|2a+3b|的值；16.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D為棱AC(1)證明：AB1//平面C1BD；

(2)證明：平面17.(本小題15分)

在△ABC中，a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且bsinA+sinC=a?csinB?sinC．

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若sinBsinC=1418.(本小題17分)

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足b=2,bsinB+3asinC=asin(B+C)+csinC．

(1)求B；

(2)若D，E為線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAE=60°,19.(本小題17分)

定義：多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為ΦP=1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，Qi(i=1,2,…,k,k≥3且k∈N?)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk?1PQ

參考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.B

6.C

7.D

8.B

9.BD

10.AC

11.BC

12.(?2,?4)

13.3

14.2π315.解：(1)∵向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|3a?b|=3，

∴|3a?b|2=9a2?6a?b+b2=13?6a?16.證明：(1)連結(jié)B1C交BC1于O，連結(jié)DO，

在正三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1//CC1且BB1=CC1，

所以四邊形BB1C1C是平行四邊形，O為B1C的中點(diǎn)，

因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，

所以O(shè)D為△AB1C的中位線，AB1//OD，

因?yàn)锳B?平面C1BD，OD?平面C1BD，

所以AB1//平面C1BD；

(2)解：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1//CC1且AA1=CC1，

AC=AA1，AA1⊥AC，

所以四邊形ACC1A1是正方形，

所以AC1⊥A1C，

因?yàn)镈，E分別是AC，CC1的中點(diǎn)，所以AC1//DE，

又因?yàn)锳C1⊥A17.解：(1)△ABC中，bsinA+sinC=a?csinB?sinC，

所以ba?c=sinA+sinCsinB?sinC，

由正弦定理得，ba?c=a+cb?c，即a2=b2+c2?bc，

由余弦定理得，a2=b2+c2?2bc?18.(1)根據(jù)題意可知，bsinB+3asinC=asin(B+C)+csinC，∵A+B+C=π，

∴sin(B+C)=sin(π?A)=sinA，

根據(jù)正弦定理可得，b2+3ac=a2+c2，

根據(jù)余弦定理cosB=a2+c2?b22ac，cosB=3ac2ac=32

∵0<B<π，∴B=π6；

(2)根據(jù)三角形面積公式可知，S△ABC=12acsinB=14ac=3，∴ac=43，

∵b2=a2+c2?2accosB=a2+c2?12=4，∴a2+c2=16，

a=2c=23或a=23c=2，

又∠BAC>∠DAE=60°，∴a>b=2，故a=23，c=2，

根據(jù)正弦定理可得23sin∠BAC=212?sin∠BAC=32，故∠BAC=120°，∠ACB=30°，

設(shè)∠CAE=θ，其中0°<θ<60°，則∠AEC=150°?θ，∠ADC=90°?θ，

在△ACE中，根據(jù)正弦定理可得ACsin∠AEC=AEsin∠C，

則AE=ACsin∠Csin∠AEC=1sin(150°?θ)，

在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得ACsin∠ADC=ADsin∠C，

則AD=AC∠sinCsin∠ADC=1sin(90°?θ)=1cosθ，

∴△ADE的面積S=12AD?AEsin∠DAE=34cosθsin(150°?θ)，

y=cosθsin(150°?θ)=cosθ(12cosθ+32sinθ)=12cos2θ+32sinθcosθ

=34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+30°)+14，

∵0°<θ<60°，∴12<sin(2θ+30°)≤1，即12<y≤34，

∴S△ADE∈[33,32)．

19.解：(1)在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，CD=2，DP=23，

∵PD⊥平面AB