第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年甘肅省白銀市某校高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知向量a=(?12,12)，bA.1 B.?1 C.32 2.(文)若tanα=2，則tan(π4+α)A.3 B.?3 C.13 D.3.已知i為虛數(shù)單位，若(2+i)z=1+i，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=33，b=3，A=π3，則A.π4 B.π6 C.π125.已知正三棱柱的底面邊長為3，側棱長為2，且該三棱柱的6個頂點都在同一個球面上，則該球的體積為(

)A.83π B.163π C.6.把一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，得到的點數(shù)依次為a，b，則使得關于x的方程x2+ax+b=0沒有實數(shù)根的概率為(

)A.118 B.512 C.7127.美麗的千島湖位于浙江省淳安縣境內，是“世界三大千島湖”之一，也是國家5A級旅游景區(qū).千島湖有三座島嶼A，B，C，旅游公司準備在島嶼C上開發(fā)一個旅游項目，需測量其高度，由于地理位置等原因無法直接測量.如圖，在島嶼B的底部測得島嶼C的頂部D處的仰角為60°，并測得島嶼C在島嶼B的北偏西75°方向上，另外測得島嶼C在島嶼A的北偏東60°方向上，島嶼B在A的正東方向600m處，且三座島嶼A，B，C在同一水平面上，則島嶼C的高度為(

)A.3002m B.3006m8.柱是建筑物中用來承托建筑物上部重量的直立的桿體，俗稱“柱子”.柱子在各個時期既有延續(xù)與繼承，又有發(fā)展和變化，如方柱在秦代時開始出現(xiàn)，而在漢代時則又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某涼亭的一根正三棱形柱子可近似看作如圖所示的圖形，記該正三棱柱為ABC?A1B1C1，其底面邊長是3，側棱長是125，M為A1C1的中點，N是側面A.27 B.272C.12 D.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是(

)A.(1+i)(1?i) B.i(1+i) C.(1+i)2 10.關于函數(shù)f(x)=cosx(cosx?4sinπ3sinx)?sinA.若f(α?π6)=23，α∈(0,π2)，則sinα=33

B.若向量a=(?1,3)與b=(2,0)11.已知一個古典概型的樣本空間Ω和其隨機事件A和隨機事件B，其中n(Ω)=20，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=18，則(

)A.n(A∩B)=2 B.n(A∩B?)=10

C.事件A與事件B是互斥事件 D.事件A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若在復平面上的矩形ABCD中，AC對應的復數(shù)為2?3i，BD對應的復數(shù)為?4+i，則DA對應的復數(shù)是______．13.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A1A=4，M，N分別是CD14.如圖所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=4，BD=5，∠BCA=30°，∠ADB=45°，則AC=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數(shù)z=(1?i)22+i．

(1)求復數(shù)z；

(2)若az+b=1+4i，求實數(shù)16.(本小題15分)

已知向量a，b，c在同一平面內，且a=(2,?1)，b=(3,1)．

(1)若|c|=210，且c與b共線，求向量c的坐標；

(2)若向量a+3b與向量k17.(本小題15分)

讀書可以增長知識，開拓視野，修身怡情.某中學為了解本校學生課外閱讀的情況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生30名，女生70名.經(jīng)調查統(tǒng)計，分別得到30名男生一周課外閱讀時間(單位：小時)的頻數(shù)分布表和70名女生一周課外閱讀時間(單位：小時)的頻率分布直方圖．小時頻數(shù)[0,2)6[2,4)15[4,6)6[6,8)3(1)由頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖估計總樣本的平均數(shù)z?；(注：以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值)

(2)從一周課外閱讀時間為[2,4)的樣本學生中按比例抽取10人，再從這10人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．18.(本小題17分)

如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，CQQD1=BPPD=λ(0<λ<1)．

(1)求證：PQ//平面BCC1B119.(本小題17分)

如圖，已知扇形OPQ的半徑為2，面積為2π3，C是扇形弧上的動點，四邊形ABCD是扇形的內接矩形(點A、B在半徑OP上，點D在半徑OQ上)．

(1)求弧PQ的長．

(2)記∠POC=α，當α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．

參考答案1.A

2.B

3.A

4.B

5.C

6.D

7.B

8.B

9.CD

10.ABD

11.AB

12.1+i

13.4214.515.(1)z=(1?i)22+i=?2i(2?i)(2+i)(2?i)=?4i?2516.(1)根據(jù)c與b共線，設c=λb=(3λ,λ)，

由|c|=210，可得9λ2+λ2=210，解得λ=±2．

當λ=2時，c=(6,2)，當λ=?2時，c=(?6,?2)，

所以c=(?6,?2)或c=(6,2)；

(2)由題意得a+3b=(2,?1)+3(3,1)=(11,2)，17.(1)由頻數(shù)分布表估計男生一周課外閱讀時間的平均數(shù)為：

x?=1×6+3×15+5×6+7×330=3.4，

由頻率分布直方圖估計女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)為：

y?=0.05×2×1+0.25×2×3+0.10×2×5+0.10×2×7=4．

所以估計總樣本的平均數(shù)z=3.4×30+4×70100=3.82．

(2)由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，

一周課外閱讀時間為[2,4)的學生中男生有15人，女生有0.25×2×70=35人，

若按比例抽取10人，則男生有10×1515+35=3人，記為xi，i=1，2，3，

女生有10×3515+35=7人，記為yi，i=1，2，3，4，5，6，7，

從這10人中抽取2人，樣本空間Ω={x1x2,x1x3,x2x3,y1y2,y1y3,y1y4,y1y5,y1y6,y1y7,

y2y3，y2y4，y2y5，y2y6，y2y7，y3y4，y3y5，y3y6，y3y7，y4y5，y4y618.(1)證明：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接CP并延長，與DA的延長線交于M點，

則平面PQC和平面AA1D1D的交線為D1M.

因為四邊形ABCD為正方形，所以BC//AD，

故△PBC∽△PDM，

所以CPPM=BPPD=λ(0<λ<1)．

又因為CQQD1=BPPD=λ(0<λ<1)，

所以CQQD1=CPPM=λ，所以PQ//MD1．

因為MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，

所以PQ//平面A1D1DA．

又平面BCC1B1//平面A1D1DA，

故PQ//平面BCC1B1．19.(1