2023-2024學(xué)年度彭浦三中九下中考第四次模擬測(cè)試卷（滿分：150分考試時(shí)間：100分鐘）一.選擇題（共24分）1.2024的倒數(shù)是（）A. B.2024 C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查倒數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是掌握倒數(shù)定義．根據(jù)題意利用倒數(shù)定義“相乘等于1兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”即可得出本題答案．【詳解】解：2024倒數(shù)是，故選：A．2.若關(guān)于x、y的方程組的解滿足，則等于（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】D【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是：觀察已知條件，靈活求解，觀察方程組，及條件，將方程組兩式相加，即可得到關(guān)于等式，進(jìn)而求得的值．【詳解】解：兩式相加可得：，即，，故選：．3.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式組的解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：由得，由得，解集在數(shù)軸上表示為：，則不等式組的解集為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．4.工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過(guò)球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（）A.10cm B.15cm C.20cm D.24cm【答案】C【解析】【分析】連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，根據(jù)，，得四邊形ABDC是矩形，根據(jù)CD與切于點(diǎn)E，OE為的半徑得，，即，，根據(jù)邊之間的關(guān)系得，，在，由勾股定理得，，進(jìn)行計(jì)算可得，即可得這種鐵球的直徑．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，∵，，，∴四邊形ABDC是矩形，∵CD與切于點(diǎn)E，OE為的半徑，∴，，∴，，∵AB=CD=16cm，∴，∵，在，由勾股定理得，解得，，則這種鐵球的直徑＝，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．5.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在軸上，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形性質(zhì)可知，然后可得點(diǎn)，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】解：連接，交y軸于點(diǎn)D，如圖所示：當(dāng)時(shí)，則，即，∵四邊形是正方形，∴，，∴點(diǎn)，∴，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在梯形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，，下列向量中，不是的相反向量的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，平行向量，相反向量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是平行向量，相反向量的定義，屬于中考?？碱}型．根據(jù)相反向量，平行向量的定義一一判斷即可．【詳解】解：A、與是相反的向量，本選項(xiàng)不符合題意；B、與是相反的向量，本選項(xiàng)不符合題意．C、與互為相反向量，本選項(xiàng)不符合題意．D、與是平行向量，方向相同，不是相反向量，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．二.填空題（共24分）7.因式分解：_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)立方和公式進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】解：故答案為：．8.方程：的解為_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解無(wú)理方程．方程兩邊同時(shí)平方，即可求解．【詳解】解：，∴．故答案為：9.______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了正切的定義，根據(jù)題意構(gòu)造銳角為的直角三角形，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，作，使，，再延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，∴．設(shè)，則，則故答案為：．10.已知一次函數(shù)y=kx+b圖像不經(jīng)過(guò)第二象限，那么b的取值范圍是_________.【答案】b≤0【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】不經(jīng)過(guò)第二象限，可以只經(jīng)過(guò)一，三象限或經(jīng)過(guò)一，三，四象限故b≤0故填：b≤0.【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟知b的性質(zhì).11.用科學(xué)記數(shù)法表示：_______．（保留4位有效數(shù)字）【答案】【解析】【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字，把已知數(shù)字變成為科學(xué)記數(shù)法即可．【詳解】＝．故答案為：．12.從的數(shù)字中任選6個(gè)數(shù)，都不是合數(shù)的概率為_______．【答案】0【解析】【分析】本題主要考查了求概率．根據(jù)題意可得從的數(shù)字中任選6個(gè)數(shù)，都不是合數(shù)的0種情況，即可求解．【詳解】解：∵從的數(shù)字中，合數(shù)是4，6，8，9，10共5個(gè)，∴從的數(shù)字中任選6個(gè)數(shù)，都不是合數(shù)的是0種情況，∴從的數(shù)字中任選6個(gè)數(shù)，都不是合數(shù)的概率為0．故答案為：013.如圖，在中，D、E、F分別是邊、、的中點(diǎn)，且，，則_______．【答案】5【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線定理，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中位線定理可求出的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】解：∵在中，、、分別是邊、、的中點(diǎn)，且，，∴，，∴，故答案為：5．14.如果點(diǎn)P1(2，y1)、P2(3，y2)在拋物線上，那么y1______y2.（填“>”，“<”或“=”）.【答案】>【解析】【分析】首先求得拋物線y=﹣x2+2x的對(duì)稱軸是x=1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)M、N在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小，得出答案即可．【詳解】解：拋物線y=﹣x2+2x的對(duì)稱軸是x=﹣=1．∵a=﹣1＜0，拋物線開口向下，1＜2＜3，∴y1＞y2．故答案為＞．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得對(duì)稱軸，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)解決問(wèn)題．15.在△ABC中，AB=AC=5，tanB=.若⊙O的半徑為，且⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與C，那么線段OA的長(zhǎng)等于________.【答案】3或5【解析】【分析】根據(jù)題意可得△ABC為等腰三角形，且∠A為頂角，根據(jù)tanB的值可以得出BC=8，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的圓的圓心在BC的中垂線上，然后根據(jù)圓心在三角形內(nèi)和三角形外兩種情況進(jìn)行分類討論．【詳解】解：分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D為BC的中點(diǎn)，在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝＝，設(shè)AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，解得x＝1，∴BD＝3，AD＝4，在Rt△BDO中，OD＝，BD＝3，則AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；（ii）如圖2所示，AO＝AD?OD＝4?1＝3；綜合上述，OA的長(zhǎng)為3或5．故答案為3或5．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．16.如圖，正方形ABCD和正方形BEFG的面積分別是10和3，那么陰影部分面積是________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正方形的面積公式可得兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，從而可得對(duì)角線BD、BF的長(zhǎng)，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差可得，然后利用直角三角形的面積公式即可得．【詳解】∵正方形和正方形的面積分別是10和3，∴，，四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，，，∴，，，陰影部分是直角三角形，其面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17.我們把一個(gè)半圓與拋物線一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”．已知點(diǎn)、、、分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線的解析式為，為半圓的直徑，則這個(gè)“果圓”被軸截得的弦的長(zhǎng)為___________．【答案】##【解析】【分析】連接，，由拋物線的解析式可求出，，的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，，的長(zhǎng)，在直角三角形中，利用相似三角形的判定和性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、解一元二次方程、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，讀懂題目信息，理解“果圓”的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，拋物線的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的長(zhǎng)為，設(shè)，則，解得：或，，，，為半圓的直徑，，，∴，∴，∴，，，，故答案為：．18.在數(shù)學(xué)拓展課上，蔡老師給大家講了一個(gè)有趣的定理：若點(diǎn)C，D在線段所在直線的兩側(cè)，并且，那么A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上．小雅同學(xué)在學(xué)習(xí)了該定理后積極思考：若限定正三角形的頂點(diǎn)都只能在正方形的邊上，則她可以很快在邊長(zhǎng)為2的正方形紙片上剪出一個(gè)面積最大的正三角形，請(qǐng)你計(jì)算一下小雅剪出的這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為____．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)M，連結(jié)，，先根據(jù)蔡老師給的定理證明，E，M，G四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，G，M，F(xiàn)，D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，再利用圓周角定理證明是正三角形，從而得到點(diǎn)M為一個(gè)定點(diǎn)，再根據(jù)的位置，得到當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，取最大值，的面積也最大，設(shè)，利用勾股定理列方程并求解，即得答案．【詳解】如圖1，為正方形的內(nèi)接正三角形，，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)M，連結(jié)，，四邊形是正方形，，根據(jù)蔡老師講的定理可知，，，E，M，G四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，，同理G，M，F(xiàn)，D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，，，，即是正三角形，則點(diǎn)M必為一個(gè)定點(diǎn)，正的面積取決于它的邊長(zhǎng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，取最大值，的面積也最大（如圖2），在圖2中，在和中，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，解得，（舍去），，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加輔助線證明四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共78分）19.已知，先化簡(jiǎn)：，再求它的值【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先利用分式的減法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出，代入計(jì)算即可得．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，原式【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后求出，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，求特殊角三角函數(shù)值，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．21.如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點(diǎn)，并與兩腰，分別相交于，兩點(diǎn)，連接，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）連接交于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，和底邊相切于點(diǎn)，，，，，，，和都是等邊三角形，，，，四邊形是菱形；【小問(wèn)2詳解】解：連接交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，在中，，，，圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，圖中陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．22.筒車是我國(guó)古代利用水利驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，如圖所示，半徑為的筒車按逆時(shí)針?lè)较?，每秒旋轉(zhuǎn)4度，筒車與水面分別交于、，筒車的軸心距離水面的高度長(zhǎng)為，筒車上均勻分布著若干個(gè)盛水筒，水筒與點(diǎn)重合時(shí)開始計(jì)算時(shí)間．（1）3.5秒后，盛水筒距離水面（即直線）的高是多少米?（2）若接水槽所在直線是的切線，且與直線交于點(diǎn)，，求盛水筒從最高點(diǎn)開始，至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間恰好在直線上?（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）3.5秒后，盛水筒距離水面（即直線）的高是（2）盛水筒從最高點(diǎn)開始，至少經(jīng)過(guò)恰好在直線上【解析】【分析】（1）連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可得，根據(jù)三角函數(shù)求出，在中求出的長(zhǎng)解題即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為最高點(diǎn)，先在中求出，在中求得解題即可．【小問(wèn)1詳解】連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，在中，，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴3.5秒后，盛水筒距離水面（即直線）的高是；【小問(wèn)2詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為最高點(diǎn)，∵點(diǎn)在上，且與相切，∴當(dāng)點(diǎn)在上，此時(shí)點(diǎn)是切點(diǎn)，連接，則，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴盛水筒從最高點(diǎn)開始，至少經(jīng)過(guò)恰好在直線上．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在四邊形中，，，連接，，．點(diǎn)是上的點(diǎn)，，連接，動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著折線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，連接、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，記的面積為，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．（結(jié)果保留一位小數(shù)，誤差不超過(guò)）【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，函數(shù)沒(méi)有最小值（3）【解析】【分析】本題考查的反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)作圖，解直角三角形，分類求解是解題的關(guān)鍵；（1）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，則，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，即可得解；（2）取點(diǎn)畫函數(shù)圖像，即可求解；（3）從圖像看，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大概為：和，即可求解．【小問(wèn)1詳解】在中，，則，則，在中，，，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，則；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，根據(jù)上述個(gè)點(diǎn)畫出函數(shù)圖像如下：由函數(shù)圖像可得，函數(shù)在時(shí)，取得最大值為，函數(shù)沒(méi)有最小值【小問(wèn)3詳解】從圖像看，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大概為：和，故的取值范圍為：．24.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求，的值；（2）如圖①，是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）如圖②，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作的垂線與過(guò)點(diǎn)且平行于的直線交于點(diǎn)，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，使，是軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)的右側(cè)，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，使，若，求直線的解析式．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）把點(diǎn)，代入拋物線解析式，得方程組，求出，的值即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，由（1）知，拋物線的解析式是，得，根據(jù)“是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為”，得，根據(jù)，代入整理即可得到關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）以為一邊作，的另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為；根據(jù)和，求出，根據(jù)“，，，”推理出，，得到，結(jié)合，推理出，用證，用證，推理出，根據(jù)“，”，得出，，，代入，求出，勾股定理算出，根據(jù)“，”，設(shè)，則，，代入，算出，運(yùn)用勾股定理計(jì)算，計(jì)算，結(jié)合點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，得，設(shè)直線的解析式為，把，代入求出完整解析式即可．【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)，在拋物線上，，解得：，，【小問(wèn)2詳解】由（1）知，拋物線的解析式是，是拋物線與軸的交點(diǎn)，時(shí)，，，，如下圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，是第二象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，【小問(wèn)3詳解】如下圖，以為一邊作，的另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；作，垂足為；作，垂足為；作軸，垂足為，，由（2）知，，，，，，，，即，，，，，，，，，又，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，軸，，，，，，，，，，