2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（新高考題型專項解析與強化復(fù)習(xí)）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則實數(shù)a的值為（）A.3B.2C.1D.02.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|ax+1>0}，若A∩B=?，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-∞,-1]∪[0,+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞)3.若復(fù)數(shù)z滿足z^2+2z+4=0，則|z|的值為（）A.2B.√2C.1D.04.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，sinC=1/2，則cos(A-B)的值為（）A.1/2B.1C.-1/2D.-15.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的圖像向右平移π/4個單位后，得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=cos(ωx)，則φ的值為（）A.π/8B.3π/8C.π/4D.3π/46.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n+2（n≥1），則數(shù)列{a_n}的通項公式為（）A.a_n=2n-1B.a_n=2^n-1C.a_n=n^2D.a_n=n7.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值為（）A.3B.2C.1D.08.在直角坐標(biāo)系中，點A(1,2)，點B在直線x+y=0上運動，則|AB|的最小值為（）A.√2B.√5C.2√2D.√109.已知三棱錐D-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，點D在平面ABC上，且AD=BD=CD=√3，則三棱錐D-ABC的體積為（）A.√3B.2√3C.3√3D.4√310.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值分別為（）A.2,-10B.2,-8C.10,-8D.10,-10二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.已知函數(shù)f(x)=log_a(x+1)（a>0，a≠1）在區(qū)間(-1,0)上的值域為(-∞,0)，則實數(shù)a的取值范圍是_________。12.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，則cosA的值為_________。13.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_1=2，a_n+a_{n+1}=3n（n≥1），則數(shù)列{a_n}的前10項和S_10的值為_________。14.已知函數(shù)f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)（α為常數(shù)），若f(x)的最小正周期為π，則α的值為_________。15.在直角坐標(biāo)系中，點A(1,2)，點B在曲線y=x^2上運動，則|AB|的最小值為_________。三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1和x=-1處都取得極值，且f(1)=3。（1）求實數(shù)a和b的值；（2）判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。17.已知集合A={x|x^2-mx+1=0，x∈R}，B={x|ax-1>0，x∈R}。（1）若A∪B=R，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若A∩B=?，求實數(shù)a的取值范圍。18.已知復(fù)數(shù)z滿足z^2+2iz-2=0，其中i為虛數(shù)單位。（1）求復(fù)數(shù)z的模；（2）若復(fù)數(shù)w=z-1，求復(fù)數(shù)w的輻角主值。19.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=√7，c=2。（1）求cosB的值；（2）求sin(A/2)的值。20.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=n^2（n≥1）。（1）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；（2）求證數(shù)列{a_n^2}的前n項和為S_n^2=(n^3+n)/6。四、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=m對稱，求實數(shù)m的值。22.在直角坐標(biāo)系中，點A(1,2)，點B在曲線y=x^2上運動。（1）求|AB|的最小值；（2）若點C在直線y=x上運動，求△ABC面積的最小值。23.已知三棱錐D-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，點D在平面ABC上，且AD=BD=CD=√3。（1）求證三棱錐D-ABC是正三棱錐；（2）求三棱錐D-ABC的體積。24.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2）的圖像向右平移π/4個單位后，得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=cos(ωx)。（1）求ω和φ的值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間。25.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1，a_n+a_{n+1}=3n（n≥1）。（1）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；（2）求證數(shù)列{a_n^2}的前n項和為S_n^2=(n^3+n)/6。五、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）26.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。（1）求函數(shù)f(x)的極值點；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。27.已知集合A={x|x^2-mx+1=0，x∈R}，B={x|ax-1>0，x∈R}。（1）若A∪B=R，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若A∩B=?，求實數(shù)a的取值范圍。28.已知復(fù)數(shù)z滿足z^2+2iz-2=0，其中i為虛數(shù)單位。（1）求復(fù)數(shù)z的模；（2）若復(fù)數(shù)w=z-1，求復(fù)數(shù)w的輻角主值。29.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=√7，c=2。（1）求cosB的值；（2）求sin(A/2)的值。30.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=m對稱，求實數(shù)m的值。本次試卷答案如下：一、選擇題答案及解析1.A解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則f'(1)=0。f'(x)=3x^2-a，代入x=1得3-a=0，解得a=3。2.D解析：集合A={x|x^2-3x+2>0}=(-∞,1)∪(2,+∞)，B={x|ax+1>0}。若A∩B=?，則B必須完全包含在(1,2)之間。當(dāng)a>0時，B=(-1/a,+∞)，要使B?(1,2)，則-1/a∈(1,2)，解得a∈(-1,0)；當(dāng)a<0時，B=(-∞,-1/a)，要使B?(1,2)，則-1/a∈(1,2)，解得a∈(-1,0)。故a∈(-1,0)∪(0,+∞)。3.C解析：由z^2+2z+4=0得(z+1)^2=-3，則z+1=√3i或z+1=-√3i，解得z=-1+√3i或z=-1-√3i。|z|=√((-1)^2+(√3)^2)=2。4.A解析：由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(3^2+4^2-2^2)/(2×3×4)=21/24=7/8。由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC，則sinA=a×sinC/c=3×1/2/2=3/4，sinB=b×sinC/c=4×1/2/2=1。cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=√(1-sin^2A)×√(1-sin^2B)+3/4×1=√(1-9/16)×√(1-1)+3/4=1/2。5.C解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)向右平移π/4個單位后為g(x)=sin(ω(x-π/4)+φ)=sin(ωx-ωπ/4+φ)=cos(ωx)，即sin(ωx-ωπ/4+φ)=cos(ωx)=sin(ωx+π/2)。比較得ωπ/4-φ=π/2+2kπ，即φ=-ωπ/4+π/2+2kπ。由于|φ|<π/2，代入得|-ωπ/4+π/2+2kπ|<π/2，解得k=0時，φ=π/4。6.A解析：由a_n+a_{n+1}=2S_n+2得a_{n+1}+a_{n+2}=2S_{n+1}+2，兩式相減得a_{n+2}-a_n=2a_{n+1}，即a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n。設(shè)d為公差，則d=a_{n+1}-a_n，故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列。由a_1=1，a_n+a_{n+1}=2S_n+2得a_1+a_2=2S_1+2=4，代入a_1=1得a_2=3。故d=a_2-a_1=2，a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。7.A解析：函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的圖像是折線，在x=-2和x=1處轉(zhuǎn)折。當(dāng)x∈(-∞,-2)時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；當(dāng)x∈[-2,1]時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。故f(x)的最小值為3。8.√2解析：點B在直線x+y=0上運動，可設(shè)B(t,-t)。則|AB|=√((t-1)^2+(-t-2)^2)=√(t^2-2t+1+t^2+4t+4)=√(2t^2+2t+5)=√(2(t+1/2)^2+9/2)。當(dāng)t=-1/2時，|AB|取得最小值√(9/2)=3√2/2=3√2/2√2=3√2/4=√2。9.√3解析：由AD=BD=CD=√3得點D為正三角形ABC的外心。底面ABC是邊長為2的正三角形，高為√(2^2-1^2)=√3。外接圓半徑R=2√3/3。三棱錐D-ABC的體積V=1/3×底面積×高=1/3×√3/4×(2√3)^2×√3=√3。10.10,-10解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-2，f(-2)=-10，f(3)=2。故最大值為max{2,-2,-10,2}=2，最小值為min{2,-2,-10,2}=-10。二、填空題答案及解析11.(1,e)解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減，且值域為(-∞,0)。則a>1，且f(0)=log_a(1)=0。故a∈(1,e)。12.-1/3解析：由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+2^2-(√7)^2)/(2×3×2)=(9+4-7)/(12)=6/12=1/2。由正弦定理得a/sinA=b/sinB，則sinA=a×sinB/b=3×1/2/√7=3√7/14。sin(A/2)=√((1-cosA)/2)=√((1-1/2)/2)=√(1/4)=1/2。13.55解析：由a_n+a_{n+1}=3n得a_{n+1}+a_{n+2}=3(n+1)。兩式相減得a_{n+2}-a_n=3。故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列。由a_1=2，a_n+a_{n+1}=3n得a_2+a_3=6，a_2+(a_1+3)=6，解得a_2=3。故d=a_2-a_1=1。S_10=10×2+45×1=20+45=65。14.π/2解析：函數(shù)f(x)=sin(x+α)+cos(x+α)=√2sin(x+α+π/4)。最小正周期為π，則ω=2π/π=2。比較得α+π/4=kπ+π/2，解得α=kπ+π/4。由于|α|<π/2，取k=0得α=π/4。15.√5/2解析：點B在曲線y=x^2上運動，可設(shè)B(t,t^2)。則|AB|=√((t-1)^2+(t^2-2)^2)=√(t^4+5t^2+1)。令g(t)=t^4+5t^2+1，g'(t)=4t^3+10t。令g'(t)=0得t=0或t=-√5/2。g(0)=1，g(-√5/2)=81/16+5×5/4+1=81/16+25/4+16/16=81/16+100/16+16/16=197/16。故|AB|的最小值為√(197/16)=√197/4。三、解答題答案及解析16.解：（1）f'(x)=3x^2-2ax+b。由f'(1)=0和f'(-1)=0得3-2a+b=0和3+2a+b=0，解得a=0，b=-3。由f(1)=3得1^3-0×1^2-3×1+1=3，解得a=0，b=-3。（2）f'(x)=3x^2-2ax+b=3x^2-3=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0得x=1或x=-1。當(dāng)x∈(-∞,-1)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,1)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減。17.解：（1）若m^2-4≥0，即m∈(-∞,-2]∪[2,+∞)，則A=R，A∪B=R。若m^2-4<0，即m∈(-2,2)，則A=?，要使A∪B=R，則B=R，即a=0。若a=0，則B=R，A∪B=R。綜上，m∈(-∞,-2]∪[2]∪{0}。（2）若a>0，B=(-1/a,+∞)，要使A∩B=?，則-1/a≥2或-1/a≤-2，解得a∈(0,1/2]∪[-1/2,0)。若a<0，B=(-∞,-1/a)，要使A∩B=?，則-1/a≤-2或-1/a≥2，解得a∈(-∞,-1/2]∪[1/2,+∞)。綜上，a∈(-∞,-1/2]∪(0,1/2]∪[1/2,+∞)。18.解：（1）由z^2+2iz-2=0得(z+i)^2=1，則z+i=±1，解得z=1-i或z=-1-i。|z|=√(1^2+(-1)^2)=√2。（2）若z=1-i，則w=z-1=-i，輻角主值為-π/2。若z=-1-i，則w=z-1=-2-i，輻角主值為π+arctan(1/2)。19.解：（1）由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+2^2-(√7)^2)/(2×3×2)=(9+4-7)/(12)=6/12=1/2。（2）由正弦定理得a/sinA=b/sinB，則sinA=a×sinB/b=3×1/2/√7=3√7/14。sin(A/2)=√((1-cosA)/2)=√((1-1/2)/2)=√(1/4)=1/2。20.解：（1）由a_n+a_{n+1}=n^2得a_{n+1}+a_{n+2}=(n+1)^2。兩式相減得a_{n+2}-a_n=2n+1。故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列。由a_1=1，a_n+a_{n+1}=n^2得a_2+a_3=4，a_2+(a_1+2)=4，解得a_2=3。故d=a_2-a_1=2。a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。（2）由（1）知a_n=2n-1。S_n^2=(1+3+5+...+(2n-1))^2=(n^2)^2=n^4。又S_n=1+3+5+...+(2n-1)=n^2。故S_n^2=n^4=(n^3+n)/6。四、解答題答案及解析21.解：（1）函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的圖像是折線，在x=-2和x=1處轉(zhuǎn)折。當(dāng)x∈(-∞,-2)時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；當(dāng)x∈[-2,1]時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。故f(x)的最小值為3。（2）函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的圖像關(guān)于直線x=-1/2對稱。故m=-1/2。22.解：（1）點B在曲線y=x^2上運動，可設(shè)B(t,t^2)。則|AB|=√((t-1)^2+(t^2-2)^2)=√(t^4+5t^2+1)。令g(t)=t^4+5t^2+1，g'(t)=4t^3+10t。令g'(t)=0得t=0或t=-√5/2。g(0)=1，g(-√5/2)=81/16+5×5/4+1=197/16。故|AB|的最小值為√(197/16)=√197/4。（2）設(shè)點C在直線y=x上運動，可設(shè)C(s,s)?！鰽BC的面積為S=1/2×|BC|×h，其中h為A到BC的距離。當(dāng)BC⊥x軸時，BC=2，h=2，S=2。當(dāng)BC與x軸不垂直時，BC的方程為y-t^2=(t^2-2)/(t-1)(x-t)，即y=(t^2-2)/(t-1)x-(t^2-2)t/(t-1)。A到BC的距離為h=|(t^2-2)/(t-1)×1-2-(t^2-2)t/(t-1)×1|/√((t^2-2)/(t-1)^2+1)=|(t^2-2-2(t-1)-(t^2-2)t)/(t-1)|/√((t^2-2)/(t-1)^2+1)=|(t^2-2-2t+2-t^3+2t)/(t-1)|/√((t^2-2)/(t-1)^2+1)=|(-t^3+t)/(t-1)|/√((t^2-2)/(t-1)^2+1)=|t(1-t^2)/(t-1)|/√((t^2-2)/(t-1)^2+1)=|t(1-t)(1+t)/(t-1)|/√((t^2-2)/(t-1)^2+1)=|t(1-t)(1+t)/(t-1)|/√((t^2-2)/(t-1)^2+1)。最小值為√2。23.解：（1）由AD=BD=CD=√3得點D為正三角形ABC的外心。底面ABC是邊長為2的正三角形，高為√(2^2-1^2)=√3。外接圓半徑R=2√3/3。故三棱錐D-ABC是正三棱錐。（2）三棱錐D-ABC的體積V=1/3×底面積×高=1/3×√3/4×(2√3)^2×√3=√3。24.解：（1）函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)向右平移π/4個單位后為g(x)=sin(ω(x-π/4)+φ)=sin(ωx-ωπ/4+φ)=cos(ωx)，即sin(ωx-ωπ/4+φ)=cos(ωx)=sin(ωx+π/2)。比較得ωπ/4-φ=π/2+2kπ，即φ=-ωπ/4+π/2+2kπ。由于|φ|<π/2，代入得|-ωπ/4+π/2+2kπ|<π/2，解得k=0時，φ=π/4。（2）函數(shù)f(x)=sin(ωx+π/4)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增，當(dāng)ωx+π/4∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]時，即x∈[-3π/8+2kπ,π/8+2kπ]。當(dāng)k=0時，x∈[-3π/8,π/8]。當(dāng)k=1時，x∈[5π/8,9π/8]。故單調(diào)遞增區(qū)間為[-3π/8,π/8]和[5π/8,9π/8]。25.解：（1）由a_n+a_{n+1}=3n得a_{n+1}+a_{n+2}=3(n+1)。兩式相減得a_{n+2}-a_n=3。故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列。由a_1=1，a_n+a_{n+1}=3n得a_2+a_3=6，a_2+(a_1+2)=6，解得a_2=3。故d=a_2-a_1=2。a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。（2）由（1）知a_n=2n-1。S_n^2=(1+3+5+...+(2n-1))^2=(n^2)^2=n^4。又S_n=1+3+5+...+(2n-1)=n^2。故S_n^2=n^4=(n^3+n)/6。五、解答題答案及解析26.解：（1）f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-2，f(-2)=-10，f(3)=2。故極值點為x=0和x=2。（2）f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。當(dāng)x∈(-∞,0)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(0,2)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。故f(x)在x=0處取得極大值2，在x=2處取得極小值-2。又f(-2)=-10，f(3)