函授高數考試題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的導數是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)答案：A2.定積分\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.0答案：A3.函數\(y=e^{x}\)在\(x=0\)處的切線方程為（）A.\(y=x+1\)B.\(y=x-1\)C.\(y=-x+1\)D.\(y=-x-1\)答案：A4.極限\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)答案：B5.函數\(y=\lnx\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((-\infty,+\infty)\)答案：A6.若\(f(x)=x^{2}+1\)，則\(f(1)\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B7.導數\(y'=(x^{3})'\)等于（）A.\(3x^{2}\)B.\(x^{2}\)C.\(3x\)D.\(x^{3}\)答案：A8.函數\(y=\cos2x\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)答案：A9.設\(y=\frac{1}{x}\)，則\(y'\)為（）A.\(\frac{1}{x^{2}}\)B.\(-\frac{1}{x^{2}}\)C.\(\frac{1}{x}\)D.\(-\frac{1}{x}\)答案：B10.若\(y=3x+1\)，則\(\frac{dy}{dx}\)等于（）A.3B.1C.4D.0答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中是奇函數的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：ABD2.以下哪些函數的導數為\(0\)（）A.\(y=5\)B.\(y=C\)（\(C\)為常數）C.\(y=\cos0\)D.\(y=0\)答案：ABD3.函數\(y=\tanx\)的定義域是（）A.\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.\((-\infty,+\infty)\)C.\((0,\pi)\)D.\([0,\pi]\)答案：A4.下列定積分結果為\(0\)的有（）A.\(\int_{-a}^{a}xdx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)C.\(\int_{0}^{2\pi}\cosxdx\)D.\(\int_{-1}^{1}x^{3}dx\)答案：ABD5.下列函數在\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=e^{x}\)答案：ABD6.下面關于極限的說法正確的是（）A.\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0\)B.\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cosx}{x}=0\)C.\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2\)D.\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\lnx=-\infty\)答案：ACD7.下列關于函數\(y=f(x)\)的導數\(y'=f'(x)\)的幾何意義正確的是（）A.表示函數\(y=f(x)\)在點\((x,f(x))\)處切線的斜率B.表示函數\(y=f(x)\)的變化率C.表示函數\(y=f(x)\)的圖像的彎曲程度D.表示函數\(y=f(x)\)在區(qū)間上的平均變化率答案：AB8.以下函數中，哪些函數的二階導數不為\(0\)（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=e^{x}\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=5\)答案：ABC9.若\(y=u(x)v(x)\)，根據導數的乘法法則\(y'\)等于（）A.\(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)B.\(u(x)v'(x)\)C.\(u'(x)v'(x)\)D.\(u'(x)v(x)\)答案：A10.下列關于函數連續(xù)性的說法正確的是（）A.若\(\lim_{x\rightarrowa^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrowa^{+}}f(x)=f(a)\)，則函數\(y=f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)B.多項式函數在其定義域內處處連續(xù)C.函數\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處連續(xù)D.函數\(y=\sinx\)在\((-\infty,+\infty)\)上連續(xù)答案：ABD三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sqrt{x}\)的定義域是\([0,+\infty)\)。（）答案：對2.函數\(y=x^{3}\)是偶函數。（）答案：錯3.定積分\(\int_{a}^f(x)dx=\int_^{a}f(x)dx\)。（）答案：錯4.極限\(\lim_{x\rightarrow0}e^{x}=1\)。（）答案：對5.函數\(y=\cosx\)的導數是\(\sinx\)。（）答案：錯6.若\(f(x)\)在\(x=a\)處可導，則\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)。（）答案：對7.函數\(y=\frac{1}{x^{2}}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減。（）答案：對8.定積分\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)。（）答案：對9.函數\(y=\ln(x^{2})\)與\(y=2\lnx\)是同一個函數。（）答案：錯10.若\(y=f(x)\)在\(x=a\)處的極限不存在，則\(y=f(x)\)在\(x=a\)處不連續(xù)。（）答案：對四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^{2}+2x-3\)的頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^{2}+bx+c\)，其頂點橫坐標\(x=-\frac{2a}\)，這里\(a=1\)，\(b=2\)，則\(x=-1\)，把\(x=-1\)代入函數得\(y=-4\)，頂點坐標為\((-1,-4)\)。2.簡述導數的定義。答案：設函數\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)的某個鄰域內有定義，當自變量\(x\)在\(x_{0}\)處取得增量\(\Deltax\)（點\(x_{0}+\Deltax\)仍在該鄰域內）時，相應地函數取得增量\(\Deltay=f(x_{0}+\Deltax)-f(x_{0})\)；如果\(\Deltay\)與\(\Deltax\)之比當\(\Deltax\rightarrow0\)時的極限存在，則稱函數\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)處可導，這個極限值稱為函數\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)處的導數。3.求定積分\(\int_{1}^{2}(x^{2}+1)dx\)的值。答案：\(\int_{1}^{2}(x^{2}+1)dx=\left[\frac{1}{3}x^{3}+x\right]_{1}^{2}=(\frac{8}{3}+2)-(\frac{1}{3}+1)=\frac{10}{3}\)。4.簡述函數\(y=\sinx\)的主要性質（至少3個）。答案：定義域為\((-\infty,+\infty)\)；值域為\([-1,1]\)；是周期函數，周期為\(2\pi\)；是奇函數；在\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)上單調遞增。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_{1}<x_{2}\)，則\(y_{1}-y_{2}=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}>0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減；在\((-\infty,0)\)上，任取\(x_{1}<x_{2}<0\)，\(y_{1}-y_{2}=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}>0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)上單調遞減。2.討論函數\(y=e^{x}\)與\(y=\lnx\)的關系。答案：\(y=e^{x}\)與\(y=\lnx\)互為反函數，它們的圖像關于直線\(y=x\)對稱，\(y=e^{x}\)的值域是\((0,+\infty)\)，定義域是\((-\infty,+\infty)\)，\(y=\lnx\)的定義域是\((0,+\infty)\)，值域是\((-\infty,+\infty)\)。3.討論函數\(y=x^{3}\)的凹凸性。答案：先求二階導數\(y'=3x^{2}\)，\(y''=6x\)。當\(x>0\)時，\(y''>0\)，函數下凸