第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年云南師大附屬鎮(zhèn)雄中學(xué)教研聯(lián)盟高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?1≤0}，B={?2,?1,0,1,2}，則A∩B=A.{?2,2} B.{?1,1} C.{?1,0,1} D.{0}2.已知平面向量a=(1,?2)，b=(3,4)，則(2aA.?15 B.?10 C.10 D.153.函數(shù)f(x)=xcosx在區(qū)間[?2,2]上的圖象大致是(

)A. B.

C. D.4.已知a，b，m∈(0,+∞)，則“a>b”是“b+ma+m>baA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.抗生素主要有抑菌與殺菌的作用，但抗生素的大量使用容易導(dǎo)致其通過直接或間接的途徑進(jìn)入環(huán)境，進(jìn)而造成環(huán)境污染、危害生物體健康.已知水中某生物體內(nèi)抗生素的殘留量y(單位：mg)與時間t(單位：年)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=λ(1?e?λt)，λ≠0，其中λ為抗生素的殘留系數(shù)，當(dāng)t=10時，y=34λ，則λ的值約為A.0.54 B.0.34 C.0.24 D.0.146.已知一個正方體和一個圓臺，其中圓臺下底面圓是正方體下底面正方形的外接圓，圓臺的上底面圓是正方體上底面正方形的內(nèi)切圓，則圓臺與正方體的體積之比等于(

)A.(3+2)π12 B.(3+37.要得到函數(shù)y=cos(2x?π3)的圖象，只需將y=sin2x的圖象向左平移φ(0<φ<A.π12 B.π6 C.π48.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(0)≠0，若f(x)?f(y)?f(xy)=x+y，則(

)A.f(1)=?1 B.f(?1)=1 C.f(x)為增函數(shù) D.f(x)為奇函數(shù)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1=1?i，z2=5+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1和A.點(diǎn)Z1的坐標(biāo)為(1,?1) B.z2z1=2?3i

C.若z=10.在正方體ABCD?A1B1CA.BC1與AC所成的角為90°

B.BC1與CD所成的角為90°

C.BC1與平面ACC1A11.已知a>0，b>0，且2a+b=1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.ab的最大值為18 B.4a2+b2≥1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=ex+ae?x213.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AD=b，且AC=λ14.已知sinα=x+1，sinβ=2x+1，且α,β∈[?π2,π四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(cos2x,sin2x)，b=(1,3)，函數(shù)f(x)=a?b．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)=3，求x16.(本小題15分)

圖1是由正方形ACDE和等邊△ABC組成的平面圖形，將△ABC沿AC折起．

(1)折起時點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，且平面PAC⊥平面ACDE，如圖2，F(xiàn)、G分別是PE、PA的中點(diǎn)．

①證明：C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面；

②證明：平面CDFG⊥平面PAE；

(2)折起時點(diǎn)B與點(diǎn)S重合，且SC=SD=2，如圖3，求點(diǎn)D到平面SAC的距離．17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c=3，tanB=32，∠BAC的平分線交BC于D點(diǎn)．

(1)若BD=7，求∠BAC；

(2)若△ACD的面積是△ABD面積的218.(本小題17分)

用不共線的兩個向量AB=(x1,y1)，AC=(x2,y2)，求解三角形面積問題．

(1)若AB=(?1,3)，AC=(2,2)，求△ABC的面積；

(2)用x1，y1，19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，滿足f(xy)=yf(x)+xf(y)的函數(shù)f(x)稱為“勾函數(shù)”．

(1)證明：g(x)=xlnx為“勾函數(shù)”；

(2)設(shè)f(x)=x??(x)為“勾函數(shù)”，若x>1，?(x)>0，證明：?(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)；

(3)已知g(x)=xlnx在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)x≥e時，g(x)≥a?ea恒成立，求參考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.D

6.A

7.A

8.C

9.ACD

10.BCD

11.ABD

12.?1

13.?2

14.π215.a=(cos2x,sin2x)，b=(1,3)，

(1)f(x)=a?b=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)，

所以T=2π2=π．

(2)由已知得sin(2x+π6)=32，所以2x+π6=2kπ+π3或2x+π616.(1)證明①：F、G分別是PE、PA的中點(diǎn)，

則GF//AE，又AE//CD，所以GF//CD，所以C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．

②因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ACDE，而AE⊥AC，

所以AE⊥平面PAC．

又因?yàn)镃G?平面PAC，

所以AE⊥CG．

△PAC為等邊三角形，G是PA的中點(diǎn)，所以CG⊥PA，因?yàn)镻A∩AE=A，且兩直線在平面內(nèi)，

所以CG⊥平面PAE，而CG?平面CDFG，

所以平面CDFG⊥平面PAE．

(2)連接AD，CE交于點(diǎn)O，連接SO，

因?yàn)镾C=SD=2，SA=AC=2，O為AD的中點(diǎn)，

所以SO⊥AD，故SO=SA2?AO2=22?(2)2=2..

所以SC2=SO2+CO2，所以SO⊥CE.且AD∩AE=A，AD，AE?平面ACDE，

所以SO⊥平面ACDE，

設(shè)點(diǎn)D到平面SAC的距離為d，17.解：(1)因?yàn)閠anB=32>0，

可得B為銳角，

又sin2B+cos2B=1，

可得cosB=27,?sinB=37，

在△ABD中，可得AD2=9+7?2×3×7×27=4，解得AD=2，

由正弦定理得sin∠BAD=BD?sinBAD=32，

又因?yàn)椤螧AD∈(0,π2)，可得∠BAD=π3，

又AD是∠BAC18.(1)由已知得AB?AC=?2+6=4，|AB|=1+9=10，|AC|=4+4=22，

則cos∠BAC=AB?AC|AB|?|AC|=445=15>0，

可知∠BAC為銳角，sin∠BAC=1?cos2∠BAC=25，

所以S△ABC=12|AB|?|AC|sin19.(1)證明：因?yàn)間(x)=xlnx的定義域?yàn)?0,+∞)，

所以g(xy)=xy?ln(xy)=xy(lnx+lny)，

而yg(x)+xg(y)=y(xlnx)+x(ylny)=xy(lnx+lny)=g(xy)，

所以g(x)=xlnx為“勾函數(shù)”．

(2)f(x)=x??(x)為“勾函數(shù)”，

則f(xy)=xy??(xy)，yf(x)+xf(y)=yx?(x)+xy?(y)，

故?(xy)=?(x)+?(y)，

所以xy??(xy)=yx?(x)+xy?(y)，

即