三個圓交集的題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.三個半徑為1的圓兩兩外切，它們公共部分（交集）面積是（）A.0B.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}$C.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$D.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}$答案：C2.三個圓的方程分別為$x^{2}+y^{2}=1$，$(x-1)^{2}+y^{2}=1$，$x^{2}+(y-1)^{2}=1$，它們交集內(nèi)的點橫坐標范圍是（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(\frac{1}{2},1)$C.$(0,1)$D.$(\frac{1}{4},\frac{3}{4})$答案：A3.若三個圓$C_1$：$x^{2}+y^{2}=r_1^{2}$，$C_2$：$(x-a)^{2}+y^{2}=r_2^{2}$，$C_3$：$x^{2}+(y-b)^{2}=r_3^{2}$有交集，則（）A.$|r_1-r_2-r_3|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leqr_1+r_2+r_3$B.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leqr_1+r_2+r_3$C.$|r_1-r_2-r_3|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$D.以上都不對答案：A4.已知三個圓$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$與$C_2$交集非空，$C_2$與$C_3$交集非空，則$C_1$與$C_3$交集（）A.一定非空B.一定為空C.不一定非空D.以上都不對答案：C5.三個等圓半徑為$R$，圓心構(gòu)成邊長為$2R$的正三角形，它們交集面積為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$B.$\frac{\pi}{2}R^{2}$C.$\sqrt{3}R^{2}-\frac{\pi}{2}R^{2}$D.$\sqrt{3}R^{2}-\frac{\pi}{3}R^{2}$答案：D6.三個圓$x^{2}+y^{2}=4$，$(x-2)^{2}+y^{2}=4$，$x^{2}+(y-2)^{2}=4$交集內(nèi)一點到原點距離最大值是（）A.$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.$2$D.$4$答案：A7.若三個圓的圓心共線，它們（）交集A.一定有B.一定沒有C.可能有D.以上都不對答案：C8.三個圓$C_1$：$x^{2}+y^{2}=1$，$C_2$：$(x-2)^{2}+y^{2}=1$，$C_3$：$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$交集面積為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{2\pi}{3}$答案：A9.三個圓半徑分別為$1$，$2$，$3$，要使它們有交集，圓心距應滿足（）A.$0\leqd\leq6$B.$0\leqd\leq5$C.$1\leqd\leq6$D.$1\leqd\leq5$答案：A10.已知三個圓$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$包含$C_2$，$C_2$與$C_3$有交集，則$C_1$與$C_3$（）A.一定有交集B.一定沒有交集C.可能沒有交集D.以上都不對答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.對于三個圓的交集，以下說法正確的是（）A.交集可能為空集B.交集可能是一個點C.交集可能是一個區(qū)域D.交集一定是對稱圖形答案：ABC2.若三個圓$x^{2}+y^{2}=r_1^{2}$，$(x-a)^{2}+y^{2}=r_2^{2}$，$x^{2}+(y-b)^{2}=r_3^{2}$有交集，則（）A.$r_1+r_2\geq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$B.$|r_1-r_2|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$C.$r_2+r_3\geq\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}$D.$|r_2-r_3|\leq\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}$答案：ABCD3.三個圓的圓心分別為$O_1(0,0)$，$O_2(1,0)$，$O_3(0,1)$，半徑都為$r$，當它們有交集時，$r$的取值可以是（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{3}{4}$C.$1$D.$\frac{1}{2}$答案：ABC4.關于三個圓交集的性質(zhì)，正確的有（）A.交集內(nèi)任意兩點距離小于等于最小圓直徑B.交集關于三個圓心構(gòu)成的三角形的某條中線對稱C.若三個圓等圓，則交集關于三個圓心構(gòu)成的三角形的中心對稱D.交集內(nèi)的點到三個圓心距離之和有最小值答案：CD5.三個圓$C_1$：$x^{2}+y^{2}=4$，$C_2$：$(x-2)^{2}+y^{2}=4$，$C_3$：$x^{2}+(y-2)^{2}=4$，以下屬于交集內(nèi)點的是（）A.$(1,1)$B.$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$C.$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$D.$(1,\frac{3}{2})$答案：AC6.若三個圓的交集是一個非空區(qū)域，以下可能成立的是（）A.三個圓半徑相等B.兩個圓半徑相等且與第三個圓半徑不同C.三個圓半徑都不同D.其中一個圓半徑遠大于另外兩個圓半徑答案：ABC7.三個圓有交集，關于交集面積說法正確的是（）A.交集面積一定小于最小圓面積B.交集面積可能等于最小圓面積C.交集面積可能大于最小圓面積D.交集面積一定小于三個圓面積之和答案：AD8.已知三個圓$C_1$，$C_2$，$C_3$，若它們的交集是一個點，則（）A.三個圓兩兩相切B.三個圓的圓心共線C.至少有兩個圓半徑相等D.三個圓半徑滿足特定關系答案：AD9.對于三個圓交集內(nèi)的點$P(x,y)$，以下說法正確的是（）A.點$P$到三個圓心距離都小于等于對應圓半徑B.點$P$到三個圓心距離之和有最大值C.點$P$到三個圓心距離可以構(gòu)成三角形三邊D.點$P$到三個圓心距離滿足一定的不等關系答案：ACD10.三個圓$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$與$C_2$交集為$A$，$C_2$與$C_3$交集為$B$，$C_1$與$C_3$交集為$C$，它們?nèi)齻€圓交集為$D$，則（）A.$D\subseteqA$B.$D\subseteqB$C.$D\subseteqC$D.$A\capB\capC=D$答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.三個圓只要有兩個圓有交集，那么三個圓就一定有交集。（×）2.三個等圓一定有交集。（×）3.三個圓的交集一定是連通區(qū)域。（×）4.若三個圓的圓心構(gòu)成直角三角形，它們就沒有交集。（×）5.三個圓交集面積一定小于任意兩個圓交集面積之和。（√）6.當三個圓半徑都趨于無窮大時，它們的交集趨于整個平面。（√）7.三個圓交集內(nèi)的點到三個圓心距離之積有最大值。（√）8.若三個圓有交集，那么把其中一個圓半徑增大后，交集一定增大。（×）9.三個圓交集關于三個圓心所構(gòu)成三角形的重心對稱。（×）10.三個圓的交集內(nèi)一定存在一點到三個圓心距離相等。（×）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述求三個圓交集面積的一般步驟。答案：先確定三個圓的方程，分析圓心位置與半徑大小。判斷圓與圓的位置關系，找出交集的形狀特征。通過圖形分割、利用幾何公式（如三角形、扇形面積公式）來計算交集面積。2.若三個圓有交集，從圓心距和半徑角度說明需滿足什么條件？答案：設三個圓半徑為$r_1$，$r_2$，$r_3$，圓心距為$d_{12}$，$d_{23}$，$d_{13}$。需滿足$|r_i-r_j|\leqd_{ij}\leqr_i+r_j$（$i,j=1,2,3$且$i\neqj$），整體上要保證相互位置能形成交集區(qū)域。3.舉例說明三個圓交集可能出現(xiàn)的不同情況。答案：可能為空集，如三個圓兩兩相離；可能是一個點，如三個圓兩兩外切于同一點；可能是一個區(qū)域，如三個半徑適當?shù)膱A部分重疊形成一個公共區(qū)域。4.當三個圓半徑相等時，其交集有什么特點？答案：若三個圓半徑相等，交集關于三個圓心構(gòu)成的正三角形的中心對稱。交集區(qū)域形狀規(guī)則，其面積與圓心距、半徑大小有關，圓心距不同交集區(qū)域不同。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論如何利用計算機圖形軟件準確繪制三個圓的交集區(qū)域？答案：可以使用專業(yè)繪圖軟件如AutoCAD、幾何畫板等。在軟件中輸入三個圓的圓心坐標和半徑信息繪制圓，利用軟件的圖形運算功能，通過布爾運算（如交集運算）得到準確的交集區(qū)域，能直觀展示其形狀和位置。2.探討三個圓交集在實際生活中的應用實例。答案：在城市規(guī)劃中，三個不同服務范圍的設施（如醫(yī)院、商場、學校）的覆蓋區(qū)域可看作圓，其交集區(qū)域就是居民能同時方便享受三種服務的區(qū)域。在物流配送中，三個倉庫的配送范圍交集可優(yōu)化配送路線。3.若改變?nèi)齻€圓的半徑，其交集的形狀和面積如何變化？答案：當一個圓半徑增大，交集可能變大，若增