第一章集合與常用邏輯用語教材分析教材分析本章內(nèi)容包含集合與常用邏輯用語.第一部分是集合,集合是表述一類事物的語言,是刻畫一類事物的工具.通過對集合內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生簡潔、清晰地表述研究對象,能夠準(zhǔn)確地認(rèn)識和把握數(shù)學(xué)對象.這部分內(nèi)容呈現(xiàn)了集合的概念及其表示方法、集合的基本運算等知識.其中集合的基本關(guān)系與基本運算,都是運用元素與集合的關(guān)系來描述的.集合的教學(xué),要讓學(xué)生能夠在現(xiàn)實情境或數(shù)學(xué)情境中,概括出數(shù)學(xué)對象的一般特征,并用集合語言予以表達(dá),初步學(xué)會用三種語言(自然語言、圖形語言、符號語言)表達(dá)數(shù)學(xué)研究對象,并能進(jìn)行轉(zhuǎn)換.教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,以義務(wù)教育階段學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體,引導(dǎo)學(xué)生用集合語言梳理、表達(dá)學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容.在梳理過程中,可以針對學(xué)生的實際情況布置不同的任務(wù),采用自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式組織教學(xué)活動.第二部分是常用邏輯用語,呈現(xiàn)了命題與量詞的概念、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定、充分條件與必要條件等內(nèi)容.按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,教材將這一內(nèi)容放在了第一章,作為高中數(shù)學(xué)的預(yù)備知識出現(xiàn).這突出了邏輯語言在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)性、實用性,有助于落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)使思維更加理性,實現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價值.教材按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求突出了充分性與必要性這一邏輯重點,強化了否定這一邏輯難點,讓學(xué)生更好地學(xué)會思考問題,形成重論據(jù)、有條理的思維品質(zhì),提升理解能力.教材中不僅指出了充分條件、必要條件、充要條件的含義,而且指出了充分不必要條件、必要不充分條件等的含義.作為對理解基礎(chǔ)知識的回應(yīng),后續(xù)各章節(jié)中都有意識地使用了全稱量詞命題和存在量詞命題,并且大量使用充分條件、必要條件與充要條件的語言來敘述相關(guān)知識.例如立體幾何部分,在講到判定定理和性質(zhì)定理的時候,都借助充分條件、必要條件與充要條件的語言來敘述,指出判定定理其實是給出了一個充分條件,性質(zhì)定理其實是給出了一個必要條件.這樣的處理能夠培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,并使他們形成使用相關(guān)邏輯語言來思考與學(xué)習(xí)的習(xí)慣.學(xué)情分析學(xué)情分析集合與常用邏輯用語的內(nèi)容是必修第一冊第一章的內(nèi)容.關(guān)于本部分主題的內(nèi)容與目的,課程標(biāo)準(zhǔn)中指出:以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體,結(jié)合集合、常用邏輯用語,為高中數(shù)學(xué)課程做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識技能等方面的準(zhǔn)備,幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡.一、關(guān)于集合的內(nèi)容,課程標(biāo)準(zhǔn)的要求具體如下:在高中數(shù)學(xué)課程中,集合是刻畫一類事物的語言和工具.本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生使用集合的語言簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)的研究對象,學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和交流,積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗.內(nèi)容包括:集合的概念與表示、集合間的基本關(guān)系、集合的基本運算.1.集合的概念與表示(1)通過實例,了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系.(2)針對具體問題,能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上,用符號語言刻畫集合.(3)在具體情境中,了解全集與空集的含義.2.集合間的基本關(guān)系理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.3.集合的基本運算(1)理解兩個集合并集與交集的含義,能求兩個集合的并集與交集.(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義,能求給定子集的補集.(3)能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用.二、關(guān)于常用邏輯用語的內(nèi)容,課程標(biāo)準(zhǔn)的具體要求如下:常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分,是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具,是邏輯思維的基本語言.本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生使用常用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)對象、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理,體會常用邏輯用語在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用,提高交流的嚴(yán)謹(jǐn)性與準(zhǔn)確性.內(nèi)容包括:必要條件、充分條件、充要條件,全稱量詞與存在量詞,全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.1.必要條件、充分條件、充要條件(1)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.(2)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系.(3)通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.全稱量詞與存在量詞通過已知的數(shù)學(xué)實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進(jìn)行否定.(2)能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進(jìn)行否定.需要注意的是,因為“或”“且”在數(shù)學(xué)邏輯中具有關(guān)鍵性作用,因此教材在呈現(xiàn)集合的運算時,利用集合的并集講解了“或”的含義,利用集合的交集講解了“且”的含義.初中階段數(shù)學(xué)知識相對具體,高中階段數(shù)學(xué)知識相對抽象.教師應(yīng)針對這一特征幫助學(xué)生完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡,包括知識與技能、方法與習(xí)慣、能力與態(tài)度等方面.在集合、常用邏輯用語的教學(xué)中,教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,以義務(wù)教育階段學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體,引導(dǎo)學(xué)生用集合語言和常用邏輯用語梳理、表達(dá)學(xué)過的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解屬于關(guān)系是集合的基本關(guān)系,了解元素A與元素A組成的集合{A}的差異,即A∈{A},A與{A}不相同.在梳理過程中,可以針對學(xué)生的實際布置不同的任務(wù),采用自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式組織教學(xué)活動.重點難點重點難點重點:理解兩個集合并集與交集的含義,能求兩個集合的并集與交集.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,能求給定子集的補集.理解必要條件、充分條件、充要條件、全稱量詞、存在量詞的含義,能正確地對全稱量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定.難點:能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與集合的基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用,能夠借助常用邏輯用語進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、論證和交流,體會常用邏輯用語在數(shù)學(xué)表達(dá)中的作用.課時安排課時安排本章教學(xué)約需8課時,具體分配如下(僅供參考):1.1集合的概念1課時1.2集合間的基本關(guān)系1課時1.3集合的基本運算2課時1.4充分條件與必要條件1課時1.5全稱量詞與存在量詞2課時本章小結(jié)1課時1.1集合的概念教學(xué)分析教學(xué)分析教學(xué)目標(biāo)1.了解集合的含義;理解元素與集合的“屬于”與“不屬于”關(guān)系;熟記常用數(shù)集專用符號.2.深刻理解集合中元素的確定性、互異性、無序性,能夠解決有關(guān)問題.3.會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合;感受集合語言的意義和作用.評價目標(biāo)針對具體數(shù)學(xué)問題,能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上,用數(shù)學(xué)的符號語言準(zhǔn)確地刻畫集合.教學(xué)重難點重點:集合的概念及特殊數(shù)集的符號表示.難點:元素與集合的關(guān)系.教法學(xué)法通過實例初步體驗元素與集合的關(guān)系,從觀察分析集合的元素入手正確理解集合.引導(dǎo)學(xué)生通過合作交流、探究,主動理解有關(guān)概念.課時安排1課時教學(xué)準(zhǔn)備教師:多媒體課件學(xué)生:教材、記錄本、練習(xí)本.教學(xué)教學(xué)設(shè)計[導(dǎo)入新課]在小學(xué)和初中我們已經(jīng)接觸過集合,只是沒有給出定義,例如所有整數(shù)的集合,高一(7)班全體學(xué)生,物以類聚、人以群分這些都給我們以集合的影響,那到底什么是集合呢?請同學(xué)們閱讀教材第2頁后回答集合是什么?元素又是什么?[講授新課]問題1(1)觀察“章引言”中的非洲大草原圖片,列舉你看到的集合.(2)在有理數(shù)范圍內(nèi)方程x2=2有解嗎?在實數(shù)范圍內(nèi)呢?(3)到定點的距離等于定長的點組成的圖形一定是圓嗎?師生活動:學(xué)生觀察、獨立思考、討論交流.教師提示,圖中的斑馬群、角馬群等都是同一類研究對象集中在一起而成的.若將范圍擴展到非洲動物,它們又成為“非洲動物”這個研究總體的一部分.在研究問題、表達(dá)交流時,我們需要在同一個范圍,討論同一類問題,這樣才會有實際效果,否則就會出現(xiàn)風(fēng)馬牛不相及的局面.同樣地,研究數(shù)學(xué)問題時,也需要明確研究對象、確定研究范圍,正如問題(2)中給出的不同范圍內(nèi)方程的解不同(方程x2=2在有理數(shù)范圍內(nèi)無解,在實數(shù)范圍內(nèi)解為±2),問題(3)中不同范圍內(nèi)動點的軌跡不同(在同一平面內(nèi),所有到定點的距離等于定長的點組成的圖形為圓;在空間中,所有到定點的距離等于定長的點組成的圖形為球面).而要“明確研究對象、確定研究范圍”就需要使用到集合的語言和工具,因為集合語言可以簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象及研究范圍.(設(shè)計意圖:介紹章引言及章頭圖,使學(xué)生對本章學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)意義在總體上有一個大致的了解,幫助學(xué)生全面地認(rèn)識學(xué)習(xí)內(nèi)容,感受學(xué)習(xí)集合和常用邏輯用語的必要性.)問題2在小學(xué)和初中我們已經(jīng)接觸過一些集合,你能舉出一些集合的例子嗎?師生活動:教師提問,學(xué)生回答.對于學(xué)生表述不完整的地方,教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a充和點撥,并分析這些集合的研究對象.(設(shè)計意圖:為學(xué)生搭建初高中過渡的橋梁,從回顧舊知識到學(xué)習(xí)新知識.通過回憶、交流,讓學(xué)生明白集合并不陌生,在初中已有所接觸.借助以前學(xué)生熟知的例子,引出“集合”這一概念,并為后面進(jìn)一步研究集合做好準(zhǔn)備工作.)(一)元素和集合的含義問題3閱讀教材第2頁思考之前的6個例子,這些例子都能組成集合嗎?你能概括出它們具有的共同特征嗎?師生活動:學(xué)生閱讀教材,先獨立思考,再討論交流.教學(xué)中師生可共同分析例子(1)和(2),指出:(1)中,研究對象是1~10之間的每一個偶數(shù)2,4,6,8,10,這5個偶數(shù)的全體就是一個集合;(2)中,研究對象是立德中學(xué)今年入學(xué)的每一名高一學(xué)生,他們的全體也是一個集合.教師接著可再舉例,比如把(1)中的“偶數(shù)”換為“整數(shù)”,它還是一個集合嗎?把“偶數(shù)”換為“奇數(shù)”呢?再如,把(2)中增加一些限制條件,比如立德中學(xué)高一(1)班全體學(xué)生還能組成集合嗎?立德中學(xué)高一(1)班全體女生呢?等等.例子(3)到(6)由學(xué)生自主分析,引導(dǎo)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上先用自己的語言概括共同特征,在學(xué)生表述的基礎(chǔ)上教師再給出元素與集合的概念.(設(shè)計意圖:從生活和學(xué)習(xí)中的例子出發(fā)研究集合,一是讓學(xué)生了解集合與我們的生活、學(xué)習(xí)息息相關(guān),從而使學(xué)生認(rèn)識到研究集合的必要性;二是為研究集合提供大量素材,便于引導(dǎo)學(xué)生觀察實例,使學(xué)生在充分體驗和感悟的基礎(chǔ)上歸納、抽象概括生成元素與集合的概念,在幫助學(xué)生深刻理解集合含義的同時,培養(yǎng)抽象概括能力,同時為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊;三是讓學(xué)生學(xué)會自覺地研讀教材,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.)問題4判斷下列元素的全體是否組成集合.如果是,指出該集合的元素;如果不能組成集合,請說明理由.(1)我國的直轄市;(2)高一(1)班的高個子同學(xué);(3)較小的數(shù);(4)單詞“settee”中的字母.師生活動:學(xué)生先獨立思考,討論交流后回答問題.教師要引導(dǎo)學(xué)生明確判斷的標(biāo)準(zhǔn)是能否清晰地判斷某個元素在不在這個范圍內(nèi),并提出以下問題進(jìn)行追問.追問1你能舉出一些集合的例子嗎?師生活動:教師提問,學(xué)生舉例,其他學(xué)生判斷所舉的例子中的對象是否構(gòu)成集合,針對學(xué)生的舉例和判斷,教師引導(dǎo)、補充、完善.追問2集合中的元素具有哪些特征?如何解釋這些特征?師生活動:結(jié)合上面的例子和學(xué)生所舉的集合例子,學(xué)生先獨立思考后交流,根據(jù)學(xué)生的交流情況,教師再引導(dǎo)學(xué)生一起分析.由(2)(3)說明給定一個集合,它的元素必須是確定的,即集合中元素的確定性.教學(xué)中要用“怎樣才算高個子同學(xué)”“怎樣才算較小的數(shù)”“高的標(biāo)準(zhǔn)是什么”等問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)覺表述的不準(zhǔn)確性,概念的模糊性、不具體性,從而導(dǎo)出集合的元素是確定的,即任何一個對象都能確定它是不是某一個集合中的元素,這是集合最基本的特性,沒有確定性就不能成為集合.由(4)中字母組成的集合中含有3個元素引導(dǎo)學(xué)生明確集合元素之間的互異性(一個給定集合中的元素是互不相同的).追問3類比實數(shù)相等,兩個集合相等應(yīng)滿足什么條件?師生活動:教師提問,學(xué)生獨立思考并回答問題,教師補充完善,給出兩個集合相等的條件.引導(dǎo)學(xué)生類比實數(shù)相等得出兩個集合相等應(yīng)滿足的條件:兩個集合的元素是一樣的.教學(xué)中可舉例說明,比如(4)中字母組成的集合和單詞“set”中的字母組成的集合就是相等的.(設(shè)計意圖:通過以上問題的研究,加深學(xué)生對集合概念的理解,讓學(xué)生初步體會用集合語言表述知識的簡潔性和嚴(yán)謹(jǐn)性.學(xué)生舉集合例子的過程就是對概念的理解過程.教學(xué)中要啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生大膽地列舉生活與學(xué)習(xí)中的集合例子,并根據(jù)學(xué)生的回答情況適時地予以補充和完善.通過舉例,學(xué)生進(jìn)一步理解集合的含義,體會集合中元素的確定性和互異性.)(二)元素、集合及其關(guān)系的表示問題5閱讀教材第2頁倒數(shù)第3行“我們通常用大寫拉丁字母……”至第3頁的“則有4∈A,3?A,等等”,并回答:(1)元素與集合之間存在著什么關(guān)系?請舉例說明.(2)常用的數(shù)集有哪些?分別用什么字母表示?師生活動:學(xué)生自主閱讀后交流,在此基礎(chǔ)上,教師梳理、總結(jié).集合與元素的字母表示、元素與集合關(guān)系的符號表示:用大寫拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小寫拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.如果a是集合A的元素,就說a屬于集合A,記作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就說a不屬于集合A,記作a?A.對于元素與集合之間的這種關(guān)系,教學(xué)時要多列舉一些例子,讓學(xué)生了解它們之間的差異,并在具體運用中逐漸熟悉.比如a與{a},一般地,a表示一個元素,而{a}表示只有一個元素的一個集合,所以0∈{0},而不能寫成0={0}.對于常用數(shù)集及其記法,教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集的擴充過程,并向?qū)W生介紹這些常用數(shù)集的來歷.非負(fù)整數(shù)集或自然數(shù)集N:自然數(shù)的英文Naturalnumber的首字母;整數(shù)集Z:德語中的整數(shù)Zahlen的首字母;有理數(shù)集Q:商的英文Quotient的首字母,任何一個有理數(shù)都是兩個整數(shù)之比的結(jié)果(商);實數(shù)集R:實數(shù)的英文Realnumber的首字母.(設(shè)計意圖:對于難度不大的內(nèi)容,特別是符號比較多時,學(xué)生通過閱讀,熟悉自然語言和符號語言,并建立它們之間的對應(yīng)關(guān)系.學(xué)生舉例的過程就是對概念的理解過程.學(xué)生通過舉例可以了解它們之間的差異,并在具體運用中逐漸熟悉.通過對每個數(shù)集符號“來歷”的解讀向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化,增加學(xué)生進(jìn)行理解記憶的理性特征,鞏固記憶效果.同時,作為下一個問題的載體,起到生成“集合的表示”等新知識的作用.)(三)集合的表示問題6從上面的例子看到,我們可以用自然語言描述一個集合,用大寫的拉丁字母表示一個集合,一些常用的數(shù)集還有專用的字母表示.除此之外,我們還可以用什么方式表示集合呢?師生活動:引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材、獨立思考、討論交流,根據(jù)學(xué)生交流情況,教師可以適時地選擇以下問題進(jìn)行追問.1.列舉法追問1(1)我們可以用自然語言來描述一個集合,但這將給我們帶來很多不便,你會用符號來表示問題4中(1)和(4)相應(yīng)的集合嗎?(2)表示一個集合,關(guān)鍵是確定什么?師生活動:學(xué)生思考后交流、回答.學(xué)生首先會想到用大寫拉丁字母表示集合,但是除常用數(shù)集記號外,用大寫拉丁字母表示集合不能體現(xiàn)出集合中的具體元素是什么,表示一個集合,關(guān)鍵是確定它包含哪些元素,從而引導(dǎo)學(xué)生在“列舉”的基礎(chǔ)上規(guī)范生成兩個集合的列舉法表示:如果“我國的直轄市”組成的集合記作A,那么A={北京,上海,天津,重慶};如果“單詞settee中的字母”組成的集合記作B,那么B={s,e,t}.追問2(1)你能概括出上述表示方法的特點嗎?(給出列舉法的定義)(2)用列舉法表示集合需要注意哪些問題?哪些類型的集合用列舉法表示較適合?師生活動:教師提問,學(xué)生獨立思考并回答問題,教師引導(dǎo)學(xué)生梳理討論交流的結(jié)果.引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)列舉法:把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法.引導(dǎo)學(xué)生分析列舉法表示集合需要注意的問題:①各元素間用“,”隔開;②集合中的元素不能遺漏,更不能重復(fù)(互異性);③元素之間不用考慮先后順序(教師要舉例說明,比如{s,e,t}={s,t,e}.指出這是集合中元素的性質(zhì)之一:無序性.這里教師要梳理并強調(diào)集合中元素的性質(zhì):確定性、互異性、無序性.);④所有元素都必須置于花括號“{}”內(nèi);⑤列舉法一般應(yīng)用于集合中元素的個數(shù)較少的情況.通過分析進(jìn)一步加深學(xué)生對列舉法的理解,使學(xué)生能夠正確熟練地使用列舉法.注意提醒學(xué)生表示集合的“{}”已有全體、所有的意義,表示集合時不必再添上“全部”“所有”“全體”等字眼.(設(shè)計意圖:通過以上問題的研究,得出集合的列舉法表示,體會列舉法表示的特點,培養(yǎng)歸納概括能力.)問題7(1)你能用自然語言表示集合{0,3,6,9}嗎?(2)你能用列舉法表示不等式x7<3的解集嗎?師生活動:學(xué)生回顧集合的列舉法表示和不等式解集的含義,在獨立思考的基礎(chǔ)上交流、探討,教師啟發(fā)引導(dǎo)、補充總結(jié).對于(1),學(xué)生一般會用自然語言表述如下:小于10且能被3整除的自然數(shù),既大于等于0又小于等于9的被3整除的數(shù)等,教學(xué)中要注意學(xué)生自然語言表述的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性.學(xué)生在交流探討中會發(fā)現(xiàn)列舉法表示集合相對比較簡單,但是有些集合并不能用列舉法表示,如(2)中不等式的解集,因為不等式x7<3的解是x<10,滿足x<10的實數(shù)有無數(shù)個,我們不能一一列舉,所以x7<3的解集無法用列舉法表示,這就說明了學(xué)習(xí)描述法的必要性.(設(shè)計意圖:在復(fù)習(xí)鞏固列舉法表示集合的同時,引出集合的另外一種表示方法——描述法.學(xué)生在把列舉法表示的集合轉(zhuǎn)化成自然語言表示的過程中,需要抽象概括出研究對象的一般特征,有助于積累數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗,同時也為后面學(xué)習(xí)“描述法”做好鋪墊.)2.描述法追問1這個解集中的元素具有什么樣的共同特征?怎樣表示不等式x7<3的解集?師生活動:學(xué)生獨立思考后討論交流,教師梳理總結(jié)后給出其解集的描述法表示.根據(jù)初中所學(xué)的不等式的相關(guān)知識,學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)解集中元素的特點,即x是實數(shù),且x<10.教師指出:利用解集中元素的共同特征,我們可以把解集表示為{x∈R|x<10}.追問2(1)整數(shù)集Z可以分為奇數(shù)集和偶數(shù)集,奇數(shù)的共同特征是什么?你能用上面的表示方法表示奇數(shù)集嗎?(2)偶數(shù)集又如何表示呢?師生活動:學(xué)生回憶奇數(shù)的定義,在此基礎(chǔ)上交流、探討奇數(shù)的共同特征,教師引導(dǎo)學(xué)生模仿上面的表示方法表示奇數(shù)集.對于每一個x∈Z,如果它能表示為x=2k+1(k∈Z)的形式,那么它是一個奇數(shù);反之,如果x是一個奇數(shù),那么它能表示為x=2k+1(k∈Z)的形式.所以x=2k+1(k∈Z)是所有奇數(shù)的一個共同特征.于是奇數(shù)集可以表示為{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.需要注意的是,學(xué)生用描述法表示奇數(shù)集時可能會出現(xiàn)多種表達(dá)形式.比如,奇數(shù)集也可以表示為{x∈Z|x=2k1,k∈Z}等,它們雖然在表達(dá)形式上是不同的,但本質(zhì)上是相同的,這也反映了集合表達(dá)的多樣性.教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)集合相等的含義去判斷它們的等價性.學(xué)生模仿上述研究過程自己探究,得出偶數(shù)集可表示為{x∈Z|x=2k,k∈Z}.追問3(1)你能概括出上述表示方法的特點嗎?(給出描述法的定義)(2)在描述法中,豎線前后各表示什么內(nèi)容?描述法表示集合需要注意哪些問題?哪些類型的集合用描述法表示較適合?師生活動:引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、分析,教師歸納總結(jié)描述法的定義.引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)描述法:一般地,設(shè)A是一個集合,我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}.其中x是這個集合的元素的代表形式,A是元素的取值(或變化)范圍,P(x)是集合中元素所具有的共同特征.引導(dǎo)學(xué)生分析用描述法表示集合時需要注意的問題:①寫清該集合中元素的代表符號.用簡明、準(zhǔn)確的語言說明該集合中元素的性質(zhì).代表元素x與元素x的性質(zhì)P(x)間須用“|”隔開,豎線前是集合元素的代表符號及取值(或變化)范圍,豎線后是集合元素具有的共同特征即集合中元素的性質(zhì);②在集合中不能出現(xiàn)未說明的字母,如果出現(xiàn),要對新字母說明它的含義或指出它的取值范圍;③所有描述集合的內(nèi)容均需置于花括號“{}”內(nèi);④可用冒號或分號代替豎線,寫成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)};⑤元素的取值(或范圍)從上下文來看,若是明確的可省略不寫.如集合{x∈R|x<10}可表示為{x|x<10};⑥多層描述時,應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示元素之間關(guān)系的詞語,如{x|x=1,或x=2};⑦適用于集合元素有無限多個的情況.追問4你能用描述法表示有理數(shù)集嗎?師生活動:引導(dǎo)學(xué)生回憶初中所學(xué)的有理數(shù)的相關(guān)知識,歸納概括有理數(shù)的共同特征,師生共同寫出有理數(shù)集的描述法表示.學(xué)生知道在實數(shù)集R中,有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都能表示成兩個整數(shù)之比,即qp(p,q∈Z,p≠0)的形式,這些數(shù)組成有理數(shù)集,因此有理數(shù)集Q還可以表示為Q=x∈Rx=qp(p,q∈Z,p≠0),其中x=qp(p,q∈Z,p≠0)就是所有有理數(shù)具有的共同特征.顯然,若y是有理數(shù),則y必是實數(shù),且y能表示成兩個整數(shù)之比,符號表示即若y∈Q,則必有y∈R,且y=qp(p,q∈Z,顯然,對于任何y∈{x∈A|P(x)},都有y∈A,且P(y)成立.(設(shè)計意圖:通過以上問題的研究,得出集合的描述法表示,體會描述法表示的特點和集合語言表述知識的簡潔性和嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)歸納概括能力.通過用描述法表示奇數(shù)集、偶數(shù)集和有理數(shù)集,向?qū)W生詳細(xì)解釋何為共同特征以及如何用描述法表示集合,讓學(xué)生學(xué)會識別并用符號表示共同特征,熟悉描述法的表示形式.在此基礎(chǔ)上,通過借助具體的集合實例,讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般、由具體到抽象、由文字語言到符號語言表示的過程,幫助學(xué)生理解“對于任何y∈{x∈A|P(x)},都有y∈A,且P(y)成立”的含義,從而加深學(xué)生對描述法的理解,幫助學(xué)生正確、熟練地使用描述法,最終突破教學(xué)難點.)(四)鞏固應(yīng)用例1用列舉法表示下列集合:(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合.師生活動:兩個學(xué)生板書,其余學(xué)生練習(xí),教師巡視指導(dǎo)、點評總結(jié).(設(shè)計意圖:鞏固、示范用列舉法表示集合的方法,同時再次說明集合中元素的列舉與元素順序無關(guān)(無序性).)追問你能用描述法表示這兩個集合嗎?師生活動:引導(dǎo)學(xué)生思考、討論,分析這兩個集合中的元素及元素的共同特征,并用描述法表示.(設(shè)計意圖:鞏固、示范用描述法表示集合的方法.)例2試分別用描述法和列舉法表示下列集合:(1)方程x22=0的所有實數(shù)根組成的集合A;(2)由大于10且小于20的所有整數(shù)組成的集合B.師生活動:引導(dǎo)學(xué)生分析集合中的元素及元素的共同特征,教師給出解答示范.(設(shè)計意圖:繼續(xù)鞏固用描述法和列舉法表示集合的方法,體會描述法與列舉法各自的特點.)練習(xí)1選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉ū硎窘滩牡?頁的6個例子;練習(xí)2教材第5頁練習(xí)第3題.師生活動:學(xué)生先自主完成,然后進(jìn)行展示,最后教師點評總結(jié).(設(shè)計意圖:通過讓學(xué)生根據(jù)需要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯?深化從不同集合語言形式對同一內(nèi)容的理解,并從中體會集合的三種表示方法(自然語言、列舉法和描述法)的必要性、各自的特點和適用對象.學(xué)會綜合聯(lián)系所學(xué)知識去分析和選擇較簡單的集合的表示法,從中感受集合語言的意義和作用,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力.)問題8舉例說明,用自然語言、列舉法和描述法表示集合時各自的特點.師生活動:學(xué)生獨立思考、討論交流,根據(jù)學(xué)生交流情況,教師補充完善、提煉總結(jié).自然語言:用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?既簡單明了、通俗易懂,又能清晰地反映出集合中的所有元素.列舉法:把集合中元素一一列舉出來表示集合的方法.一般情況下,對于有限集,在元素不太多的情況下,宜采用列舉法,它具有直觀明了的特點.描述法:用概括集合所含元素的共同特征來表示集合的方法.對于無限集,一般采用描述法.(設(shè)計意圖:讓學(xué)生反思、總結(jié)本節(jié)的學(xué)習(xí),體會不同表示方法的特點.學(xué)生舉例說明的過程實際上就是對三種表示方法理解掌握的過程.通過交流使學(xué)生明確三種表示方法各自的特點及使用范圍,體會它們的區(qū)別和聯(lián)系.表示集合時應(yīng)根據(jù)具體問題確定采用哪種表示方法.使學(xué)生體會到作為數(shù)學(xué)表達(dá)的兩種基本形式,列舉法和描述法是既相互對立,又相輔相成的,用列舉法表示集合可以得到對集合中元素特點的直接的、清晰的認(rèn)識,在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步抽象概括出集合中元素的特征性質(zhì);用描述法表示集合可更加突顯集合中元素的公共屬性,也可通過列舉其中的特殊元素從而對集合中元素的公共屬性有更加具體的認(rèn)識.)評價反饋評價反饋1.下列說法正確的是()A.0與{0}的意義相同B.某市比較文明的市民可以組成一個集合C.集合A={(x,y)|3x+y=2,x∈N}是有限集D.方程x2+2x+1=0的解集只含有一個元素答案D解析A:0是元素,{0}表示集合,故意義不同,錯誤;B:“比較文明的市民”的描述不夠明確,不符合集合中元素的確定性,不能組成集合,錯誤;C:3x+y=2且x∈N在平面直角坐標(biāo)系中有無數(shù)個對應(yīng)點,故不是有限集,錯誤;D:x2+2x+1=(x+1)2=0,其解集為{1},只有一個元素,正確.故選D.2.設(shè)集合A={1,a22a+5},若4∈A,則a=()A.1 B.0 C.1 D.3答案C解析因為4∈A,所以a22a+5=4,解得a=1.故選C.3.若集合A={x∈R|x23x+a>0},且2?A,則實數(shù)a的取值范圍是()A.{a|a≤2} B.{a|a≥2}C.{a|a≤2} D.{a|a≥2}答案A解析由題意可得223×2+a≤0,解得a≤2.故選A.4.(多選題)若x,y,z為非零實數(shù),代數(shù)式x|x|+y|yA.0?M B.2∈M C.4∈M D.4∈M答案CD解析當(dāng)x,y,z均為負(fù)數(shù)時,x|x當(dāng)x,y,z兩負(fù)一正時,x|x當(dāng)x,y,z