概率論考試題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(X=μ)=（）A.1B.0.5C.0D.取決于σ的值答案：C2.對于任意兩個隨機事件A和B，P(A-B)=（）A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(AB)C.P(A)+P(B)D.P(A)+P(B)-P(AB)答案：B3.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量，且X~N(0,1)，Y~N(1,1)，則Z=X+Y服從（）A.N(0,2)B.N(1,2)C.N(1,0)D.N(0,1)答案：B4.若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=1/2,-1<x<1，則P(X>0)=（）A.0.5B.0.25C.1D.0答案：A5.設(shè)事件A,B相互獨立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=（）A.0.58B.0.7C.0.12D.0.42答案：A6.離散型隨機變量X的分布律為P(X=k)=Cλ^k/k!(k=0,1,2…),其中λ>0，則C=（）A.e^λB.1-e^λC.1D.e^(-λ)答案：D7.設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為ρ(X,Y)，若Y=aX+b（a≠0），則ρ(X,Y)=（）A.1B.-1C.a/|a|D.0答案：C8.設(shè)隨機變量X的方差D(X)=1，則D(2X-1)=（）A.4B.3C.2D.1答案：A9.一個盒子中有3個紅球，2個白球，每次取一個球，不放回地取兩次，則兩次都取到紅球的概率為（）A.3/10B.6/25C.9/25D.1/3答案：A10.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來自總體X的樣本，則樣本均值\(\overline{X}\)服從（）A.N(μ,σ2)B.N(μ,σ2/n)C.N(0,1)D.N(nμ,nσ2)答案：B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)，正確的有（）A.0≤P(A)≤1B.P(Ω)=1C.P(?)=0D.對于互斥事件A,B，P(A∪B)=P(A)+P(B)答案：ABCD2.設(shè)X是隨機變量，以下函數(shù)可以作為X的分布函數(shù)的是（）A.\(F(x)=\left\{\begin{matrix}0,x<0\\x,0\leqx<1\\1,x\geq1\end{matrix}\right.\)B.\(F(x)=\left\{\begin{matrix}0,x<-1\\\frac{1}{2},-1\leqx<0\\1,x\geq0\end{matrix}\right.\)C.\(F(x)=\left\{\begin{matrix}0,x<0\\\sinx,0\leqx<\frac{\pi}{2}\\1,x\geq\frac{\pi}{2}\end{matrix}\right.\)D.\(F(x)=\left\{\begin{matrix}0,x<0\\e^{-x},x\geq0\end{matrix}\right.\)答案：AB3.設(shè)X,Y是隨機變量，若X和Y獨立，則（）A.E(XY)=E(X)E(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.Cov(X,Y)=0D.f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)答案：ABCD4.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)是樣本，則以下統(tǒng)計量是μ的無偏估計的有（）A.\(\overline{X}\)B.\(X_{1}\)C.\(\frac{1}{2}(X_{1}+X_{2})\)D.\(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\)（\(\sum_{i=1}^{n}a_{i}=1\)）答案：ABCD5.下列關(guān)于二項分布的說法正確的是（）A.進(jìn)行n次獨立重復(fù)試驗B.每次試驗只有兩種可能結(jié)果C.每次試驗成功的概率為pD.隨機變量X表示n次試驗中成功的次數(shù)答案：ABCD6.設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax}(x\geq0)\)，則（）A.E(X)=1/λB.D(X)=1/λ2C.分布函數(shù)\(F(x)=\left\{\begin{matrix}1-e^{-\lambdax},x\geq0\\0,x<0\end{matrix}\right.\)D.P(X>t)=e^{-\lambdat}(t>0)答案：ABCD7.對于隨機變量X和Y，以下關(guān)于協(xié)方差Cov(X,Y)的說法正確的是（）A.Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]B.如果X和Y獨立，則Cov(X,Y)=0C.Cov(X,X)=D(X)D.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b為常數(shù))答案：ABCD8.設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P(X=k)=p_k(k=1,2,\cdots)，則（）A.\(p_{k}\geq0\)B.\(\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=1\)C.E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}kp_{k}\)D.D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}(k-E(X))^{2}p_{k}\)答案：ABCD9.設(shè)\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)是來自總體X的樣本，以下關(guān)于樣本方差\(S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}\)的說法正確的是（）A.E(S2)=σ2B.D(S2)=\frac{2\sigma^{4}}{n-1}\)C.S2是σ2的無偏估計D.\(S=\sqrt{S^{2}}\)是樣本標(biāo)準(zhǔn)差答案：ACD10.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則（）A.P(X≤a)=F(a)B.P(X>a)=1-F(a)C.P(a<X≤b)=F(b)-F(a)D.F(x)是單調(diào)不減函數(shù)答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.對于任意事件A，B，P(A|B)=P(A)當(dāng)且僅當(dāng)A和B相互獨立。（）答案：正確2.若隨機變量X的方差不存在，則其期望也不存在。（）答案：錯誤3.設(shè)X和Y是兩個隨機變量，若E(XY)=E(X)E(Y)，則X和Y一定相互獨立。（）答案：錯誤4.二項分布B(n,p)的期望為np，方差為np(1-p)。（）答案：正確5.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖象關(guān)于x=μ對稱。（）答案：正確6.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值μ的無偏估計，但不是相合估計。（）答案：錯誤7.設(shè)X服從均勻分布U(a,b)，則其概率密度函數(shù)在區(qū)間(a,b)上是常數(shù)。（）答案：正確8.對于任意兩個隨機變量X和Y，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)。（）答案：正確9.若總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則樣本方差\(S^{2}\)與樣本均值\(\overline{X}\)相互獨立。（）答案：正確10.設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為P(X=k)=p_k(k=1,2,\cdots)，則\(\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}\leq1\)。（）答案：錯誤四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述隨機變量的定義。答案：設(shè)E是隨機試驗，它的樣本空間是Ω={ω}，如果對于每一個ω∈Ω，有一個實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，這樣就得到一個定義在Ω上的單值實值函數(shù)X=X(ω)，稱X=X(ω)為隨機變量。2.什么是概率的公理化定義？答案：設(shè)試驗E的樣本空間為Ω，對于E的每一個事件A賦予一個實數(shù)P(A)，滿足：(1)非負(fù)性：對每一個事件A，有P(A)≥0；(2)規(guī)范性：P(Ω)=1；(3)可列可加性：設(shè)A?,A?,…是兩兩互不相容的事件，則\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})\)，則稱P(A)為事件A的概率。3.簡述大數(shù)定律的基本思想。答案：大數(shù)定律是說，在大量重復(fù)試驗下，隨機變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望。例如，當(dāng)試驗次數(shù)n足夠大時，樣本均值\(\overline{X}\)與總體均值μ會很接近。4.什么是無偏估計？答案：設(shè)\(\theta\)是總體的一個未知參數(shù)，\(\hat{\theta}=\hat{\theta}(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})\)是\(\theta\)的一個估計量，如果\(E(\hat{\theta})=\theta\)，則稱\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的無偏估計量。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用。答案：正態(tài)分布在很多實際生活中有應(yīng)用。如考試成績，大多數(shù)情況下接近正態(tài)分布，中間分?jǐn)?shù)段人數(shù)多。在質(zhì)量控制中，產(chǎn)品的尺寸等指標(biāo)也常服從正態(tài)分布，可據(jù)此設(shè)定上下限來控制產(chǎn)品質(zhì)量。2.如何理解隨機變量的獨立性？答案：隨機變量X和Y獨立意味著X的取值不影響Y的取值，反之亦然。從概率角度看，對任意實數(shù)x