第12節(jié)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的融合創(chuàng)新問題題型分析高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的新定義壓軸題主要涉及以下幾個方面：1.定義新函數(shù).2.定義函數(shù)的相關(guān)點、直線.3.與帕德逼近、洛必達法則、泰勒公式、柯西中值定理(含羅爾中值定理)、微積分、微分幾何等高等數(shù)學(xué)知識相關(guān)聯(lián).題型一定義新函數(shù)例1(2025·浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)定義max{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))已知函數(shù)f(x)＝max{lnx，－4x3＋mx－1}，其中x∈R.(1)當m＝5時，求過原點的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)只有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍.訓(xùn)練1(2025·廣州調(diào)研)已知函數(shù)y＝f(x)，x∈D，如果存在常數(shù)M，對任意滿足x1<x2<…<xn－1<xn的實數(shù)x1，x2，…，xn－1，xn，其中x1，x2，…，xn－1，xn∈D，都有不等式eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝2))|f(xi)－f(xi－1)|≤M恒成立，則稱函數(shù)y＝f(x)，x∈D是“絕對差有界函數(shù)”.(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)，x≥eq\f(1,e)是“絕對差有界函數(shù)”，求常數(shù)M的取值范圍；(2)對于函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]，存在常數(shù)k，對任意的x1，x2∈[a，b]，有|f(x1)－f(x2)|≤k|x1－x2|恒成立，求證：函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]為“絕對差有界函數(shù)”；(3)判斷函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xcos\f(π,2x)，0<x≤1，,0，x＝0))是不是“絕對差有界函數(shù)”？說明理由.題型二定義函數(shù)的相關(guān)點、線或性質(zhì)例2(2024·T8二聯(lián))記A＝{l(x)|l(x)＝kx＋m，k，m∈R}，若l0(x)∈A，滿足：對任意l(x)∈A，均有|f(x)－l(x)|≥|f(x)－l0(x)|，則稱l0(x)為函數(shù)f(x)在x∈[a，b]上“最接近”直線，已知函數(shù)g(x)＝2lnx－x2＋3，x∈[r，s].(1)若g(r)＝g(s)＝0，證明：對任意l(x)∈A，|g(x)－l(x)|≥1；(2)若r＝1，s＝2，證明：g(x)在x∈[1，2]上的“最接近”直線為l0(x)＝(2ln2－3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1＋x0,2)))＋eq\f(2＋g（x0）,2)，其中x0∈(1，2)且為二次方程2x2＋(2ln2－3)x－2＝0的根.訓(xùn)練2(2024·上海卷)已知D是R的一個非空子集，y＝f(x)是定義在D上的函數(shù)，對于點M(a，b)，函數(shù)s(x)＝(x－a)2＋(f(x)－b)2.若對于P(x0，f(x0))，滿足s(x)在x＝x0處取得最小值，則稱P是M的“f最近點”.(1)若D＝(0，＋∞)，f(x)＝eq\f(1,x)，M(0，0)，求證：對于點M(0，0)，存在點P，使得P是M的“f最近點”.(2)若D＝R，f(x)＝ex，M(1，0)，請判斷是否存在一個點P，它是M的“f最近點”，且直線MP與曲線y＝f(x)在點P處的切線垂直.(3)若D＝R，已知y＝f(x)是可導(dǎo)的，y＝g(x)的定義域為R且函數(shù)值恒為正，t∈R，M1(t－1，f(t)－g(t))，M2(t＋1，f(t)＋g(t)).若對于任意t∈R，都存在曲線y＝f(x)上的一點P，使得P既是M1的“f最近點”，又是M2的“f最近點”，試判斷y＝f(x)的單調(diào)性.題型三與高等數(shù)學(xué)知識有關(guān)的新定義問題例3(2025·廈門模擬)帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法，在計算機數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)f(x)在x＝0處的[m，n]階帕德近似定義為：R(x)＝eq\f(a0＋a1x＋…＋amxm,1＋b1x＋…＋bnxn)，且滿足：f(0)＝R(0)，f′(0)＝R′(0)，f(2)(0)＝R(2)(0)，…，f(m＋n)(0)＝R(m＋n)(0).其中f(2)(x)＝[f′(x)]′，f(3)(x)＝[f(2)(x)]′，…，f(m＋n)(x)＝[f(m＋n－1)(x)]′.已知f(x)＝ln(x＋1)在x＝0處的[2，2]階帕德近似為R(x)＝eq\f(a＋bx＋\f(1,2)x2,1＋x＋\f(1,6)x2).(1)求實數(shù)a，b的值；(2)設(shè)h(x)＝f(x)－R(x)，證明：xh(x)≥0；(3)已知x1，x2，x3是方程lnx＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))的三個不等實根，求實數(shù)λ的取值范圍，并證明：eq\f(x1＋x2＋x3,3)>eq\f(1,λ)－1.訓(xùn)練3(2025·武漢模擬)我們知道，通過牛頓－萊布尼茨公式可以求曲線梯形(如圖1所示的陰影部分)的面積A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\i\in(a,b,)f（x）dx，f（x）>0，,－\i\in(a,b,)f（x）dx，f（x）<0，))其中eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)，F(xiàn)′(x)＝f(x).如果平面圖形由兩條曲線圍成(如圖2所示的陰影部分)，曲線C1可以表示為y＝f1(x)，曲線C2可以表示為y＝f2(x)，那么陰影區(qū)域的面積A＝eq\i\in(a,b,)(f2(x)－f1(x))dx，其中eq\i\in(a,b,)(f2(x)－f1(x))dx＝eq\i\in(a,b,)f2(x)dx－eq\i\in(a,b,)f1(x)dx.(1)如圖3，連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－3，－2]與[2，3]的圖形分別為直徑為1的上、下半圓，在區(qū)間[－2，0]與[0，2]的圖形分別為直徑為2的下、上半圓，設(shè)F(x)＝eq\i\in(0,x,)f(t)dt，求eq\f(5,4)F(2)－F(3)的值；圖3(2)在曲線f(x)＝x2(x≥0)上某一個點處作切線，使之與曲線和x軸所圍成的面積為eq\f(1,12)，求切線方程；(3)正項數(shù)列{bn}是公差為d(d為常數(shù)，d>0)的等差數(shù)列，b1＝1，兩條拋物線y＝bnx2＋eq\f(1,bn)，y＝bn＋1x2＋eq\f(1,bn＋1)(n∈N*)，記它們交點的橫坐標的絕對值為an，兩條拋物線圍成的封閉圖形的面積為Sn，求證：eq\f(S1,a1)＋eq\f(S2,