專題04勾股定理內(nèi)容導(dǎo)航考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺考點鞏固：必考題型講透練透，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點1多邊形1.多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.2.多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成了(n-2)個三角形，其中每條對角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對角線.3.多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為.4.多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關(guān)系.5.多邊形的外角和定理在正多邊形中的應(yīng)用：1）正n邊形的每個內(nèi)角為，每一個外角為．2）若正多邊形的一個外角為m°，則正多邊形的邊長為.6.平面鑲嵌[選]鑲嵌：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，叫做平面圖形的鑲嵌，又稱作平面圖形的密鋪.鑲嵌成立的條件：圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角的和等于360°.知識點2平行四邊形1.平行四邊形的性質(zhì)定理性質(zhì)符號語言圖示邊平行四邊形兩組對邊平行且相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角平行四邊形對角相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC對角線平行四邊形的對角線互相平分∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=AC,BO=DO=BD2.平行四邊形的判定定理判定符號語言定義一組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形邊兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形知識點3中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.【補充】三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行.數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系.知識點4矩形1.矩形的性質(zhì)定理：性質(zhì)符號語言圖示邊兩組對邊平行且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角四個角都是直角∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°對角線兩條對角線互相平分且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AO=CO=BO=DO2.矩形的判定判定定理符號語言圖示角一個角是直角的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形三個角是直角的四邊形是矩形在四邊形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形對角線對角線相等的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形知識點5菱形1.菱形的性質(zhì)定理性質(zhì)定理符號語言圖示邊四條邊都相等∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC對角線對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD2.菱形的判定判定定理符號語言圖示邊四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形對角線對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形知識點6正方形1.正方形的性質(zhì)：1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.【補充】1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).

2）一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.2.正方形的判定：定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形菱形+一個角是直角有一個角是直角的菱形是正方形菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形知識點7四邊形綜合【題型1多邊形截角后的內(nèi)角和問題】高妙技法一個多邊形截去一個角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變.1．（22-23八年級下·安徽池州·期末）一個多邊形截去一個角后，得到的新多邊形內(nèi)角和為，則原多邊形邊數(shù)為（

）A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出n，再根據(jù)截去一個角，則會存在以下三種情況，多邊形邊數(shù)不變，增加1或減少1來解答．【詳解】解：設(shè)新多邊形邊數(shù)為n，∵新多邊形內(nèi)角和為，∴，解得，若多邊形截去一個角，則會存在以下三種情況，多邊形邊數(shù)不變，增加1或減少1，如下圖所示：

∴原多邊形邊數(shù)為4或5或6，故選：D．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和和邊數(shù)的關(guān)系，掌握內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.2．（22-23八年級上·廣西柳州·期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個四邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】一個邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是邊形或邊形或邊形．【詳解】解：∵當(dāng)剪去一個角后，剩下的部分是一個四邊形，∴這張紙原來的形狀可能是四邊形或五邊形或三角形，不可能是六邊形；即原多邊形紙片的邊數(shù)為:．故選．【點睛】本題考查了多邊形剪去一個角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰頂點，則少一條邊；經(jīng)過一個頂點和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條鄰邊，邊數(shù)增加一條．3．（2021·上海徐匯·二模）如果剪掉四邊形的一個角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)不可能是（）A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】B【分析】分四邊形剪去一個角，邊數(shù)減少1，不變，增加1，三種情況討論求出所得多邊形的內(nèi)角和，即可得解．【詳解】解：剪去一個角，若邊數(shù)減少1，則內(nèi)角和＝（3﹣2）×180°＝180°，若邊數(shù)不變，則內(nèi)角和＝（4﹣2）×180°＝360°，若邊數(shù)增加1，則內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，所以，所得多邊形內(nèi)角和的度數(shù)可能是180°，360°，540°，不可能是270°．故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，要注意剪去一個角有三種情況．【題型2多邊形內(nèi)角和問題】高妙技法公式總結(jié)：多邊形的有關(guān)計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導(dǎo)致錯誤：1）n邊形內(nèi)角和＝(n－2)×180°(n≥3).2)n邊形共有條對角線.3)n邊形的邊數(shù)＝(內(nèi)角和÷180°)＋2.4)n邊形的外角和是360°.5)n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.4．（24-25八年級下·上海閔行·期中）如果一個多邊形的邊數(shù)增加1，那么它的內(nèi)角和將增加（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，設(shè)原多邊形的邊數(shù)為n，則邊數(shù)變化后的多邊形邊數(shù)為，根據(jù)多項式內(nèi)角和計算公式分別表示出變化前后多邊形內(nèi)角和，二者相減即可得到答案．【詳解】解：設(shè)原多邊形的邊數(shù)為n，則邊數(shù)變化后的多邊形邊數(shù)為，∴原來多邊形的內(nèi)角和為，變化后的多邊形內(nèi)角和為，∵，∴內(nèi)角和將增加，故選：C．5．（2015·廣東茂名·中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和為，則它的邊數(shù)為．【答案】六/6【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理．熟練掌握多邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求解即可．邊形內(nèi)角和公式為（且為整數(shù)）．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為（且為整數(shù)），解得．故答案為：．6．（22-23八年級下·上海青浦·期中）如圖所示，求．【答案】【分析】此題考查三角形外角的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和，設(shè)與、的交點為、，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到,，即可求出答案，正確理解三角形外角性質(zhì)將角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵【詳解】解：設(shè)與、的交點為、，∵,∴∴【題型3多邊形的外角和問題】7．（22-23八年級上·福建福州·期末）一個多邊形的每個外角都等于，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】A【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于，用360除以一個多邊形的每個外角的度數(shù)，求出這個多邊形的邊數(shù)是多少即可．【詳解】解：，這個多邊形的邊數(shù)是8．故選A．【點睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：多邊形的外角和等于．8．（23-24八年級下·上海青浦·期中）一般地，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．比如：等邊三角形是正三角形，正方形是正四邊形．如圖，八邊形是正八邊形，那么它的一個外角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了多邊形外角和為，正多邊形的性質(zhì)；根據(jù)多邊形的每個內(nèi)角相等，則其每個外角也相等，再由多邊形外角和為即可求解．【詳解】解：∵八邊形是正八邊形，∴正八邊形的每個內(nèi)角相等，∵正八邊形的每個內(nèi)角與其外角互補，∴正八邊形的每個外角相等，∵多邊形外角和為，∴；故選：D．【題型4多邊形內(nèi)角和與外角和綜合】高妙技法①n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°，根據(jù)已知條件列出方程求邊數(shù)；②若由已知數(shù)據(jù)很容易求得一個外角的度數(shù)，根據(jù)正多邊形的外角和始終等于360°,用360°除一個外角的度數(shù)，從而得到正多邊形的邊數(shù).9．（2022·山東煙臺·中考真題）一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，則這個正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形【答案】C【分析】設(shè)這個外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是360°即可求解．【詳解】解：∵一個正多邊形每個內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，∴設(shè)這個外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)題意得：x+3x＝180°，解得：x＝45°，360°÷45°＝8（邊），故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補列出方程是解題的關(guān)鍵．10．（22-23八年級上·四川瀘州·期中）已知一個正多邊形相鄰的內(nèi)角比外角大．(1)求這個正多邊形的內(nèi)角與外角的度數(shù)；(2)求這個正多邊形的邊數(shù)．【答案】(1)內(nèi)角為，外角為(2)12【分析】(1)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和、外角和公式即可求出答案；（2）由多邊形外角個數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系即可求出答案．【詳解】（1）設(shè)正多邊形的外角為，則內(nèi)角為，由題意，得，解得．正多邊形的內(nèi)角為，外角為．（2）這個正多邊形的邊數(shù)為：．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練運用多邊形的內(nèi)角和公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．11．（2022八年級下·上?！ｎ}練習(xí)）如果某個凸多邊形每個內(nèi)角都相等，已知從它的一個頂點出發(fā)可以引出9條對角線，那么它是幾邊形？它的每個內(nèi)角是幾度？【答案】是十二邊形，它的每個內(nèi)角150°【分析】根據(jù)多邊形從一個頂點引出的對角線條數(shù)公式（n﹣3）求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可求解每個內(nèi)角．【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)為n，∵從凸多邊形的一個頂點出發(fā)可以引出9條對角線，∴n﹣3＝9，解得n＝12，所以，它是十二邊形，它的每個內(nèi)角＝×（12﹣2）×180°＝150°．答：它是十二邊形，它的每個內(nèi)角150°．【點睛】此題考查了多邊形內(nèi)角與外角，多邊形的對角線，熟記多邊形對角線公式求出邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．（23-24八年級上·廣西河池·期中）已知一個多邊形的邊數(shù)為．(1)若該多邊形的內(nèi)角和的比外角和多，求的值；(2)若該多邊形是正多邊形，且其中一個內(nèi)角為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，正多邊形的性質(zhì)，（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式與外角和列式計算即可解答；（2）根據(jù)正多邊形的性質(zhì)及多邊形內(nèi)角和公式解答即可；解題的關(guān)鍵是掌握：①邊形的內(nèi)角和為（且為正整數(shù)），外角和為；②正邊形的每條邊相等、每個內(nèi)角相等、每個外角相等．【詳解】（1）解：依題意，得：，解得：，即的值為；（2）（2）依題意，得：，解得：，即的值為．【題型5利用平行四邊形的性質(zhì)求解】13．（24-25八年級下·上?！て谥校┰谥校c相交于點O，若，，．則的面積為．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，含角直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．過點A作于E，設(shè)，則，，在直角三角形中，利用勾股定理可得，進(jìn)而可求出a的值，由平行四邊形的性質(zhì)可知：的面積，即可求解．【詳解】解：過點A作于E，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，在直角三角形中，由勾股定理可得，∴，解得：（負(fù)數(shù)已舍），，∴的面積．故答案為：．14．（24-25八年級下·上?！て谥校┢叫兴倪呅蔚膬蓷l對角線分別為和，則其中一條邊長的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系定理，解題的關(guān)鍵是利用三邊關(guān)系確定范圍．根據(jù)平行四邊形對角線互相平分求出兩對角線的一半，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求解即可．【詳解】解：如圖，，，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，在中，，即，∴，故選：．15．（24-25八年級下·上海崇明·期中）已知平行四邊形的周長是，和交于點O，比的周長小3，則的長為．【答案】4【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的周長，熟練掌握知識點是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)比的周長小3，即可求得．【詳解】解：∵平行四邊形的周長是，∴，∵比的周長小3，∴，∴．故答案為：4．16．（23-24八年級下·上海金山·期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，的對角線的交點正好與坐標(biāo)原點重合，且點A、B坐標(biāo)分別為，．(1)求點C、D的坐標(biāo)；(2)求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形是中心對稱圖形，結(jié)合已知即可求得點C、D的坐標(biāo)；（2）由勾股定理可求得的長度，即可求得平行四邊形的周長．【詳解】（1）解：的對角線的交點正好與坐標(biāo)原點重合，且平行四邊形是中心對稱圖形，關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱，；（2）解：，由勾股定理得：，的周長為．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征，勾股定理．【題型6添加一個條件證明四邊形是平行四邊形】17．（21-22八年級下·上海靜安·期中）在四邊形中，已知，再添加一個條件還不能判斷四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵AB=CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；B、∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；C、∵，∴，又∵，不能證明四邊形是平行四邊形；故C符合題意；D、∵，∴AB∥CD，又∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；故選：C【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理進(jìn)行判斷．18．（21-22八年級下·上海·期末）在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，，添加下列條件后能判定這個四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，逐項分析即可．【詳解】A、由可得AD∥BC，此時只能得到這四邊形一組對邊平行，另一組對邊相等，顯然無法得到四邊形ABCD是平行四邊形，如下圖的等腰梯形ABCD滿足AB=CD，，但它不是平行四邊形；B、由，無法判定四邊形ABCD為平行四邊形，如下圖所示，作平行四邊形ABCE，AC、BE交于點O，則OA=OC，AB=CE，以點C為圓心CE長為半徑畫圓交OE于點D，則AB=CE=CD，且AO=CO，但此時四邊形ABCD不是平行四邊形；C、當(dāng)時，如下圖所示，作平行四邊形ABFE，過A作AN⊥BF于N，在BF上取FN=CN，連接AC，把△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度等于∠FAC，此時AE旋轉(zhuǎn)到AD，∠ABC=∠E=∠ADC，且AB=CD，但四邊形ABCD不是平行四邊形，故不符合題意；

D、當(dāng)AD=BC時，則根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形的判定即可得到四邊形ABCD是平行四邊形，故符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是關(guān)鍵．注意說明一個命題是假命題時，只要舉出一個反例即可．19．（24-25八年級下·上海松江·期中）在四邊形中，是對角線的交點，不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的判定，三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解：如圖，A選項：∵，，∴四邊形是平行四邊形，本選項不合題意；B選項：∵，∴，∵∴∴，∴四邊形是平行四邊形，本選項不合題意；C選項：∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，本選項不合題意；D選項：由無法證明四邊形是平行四邊形，本選項符合題意．故選：D．【題型7證明四邊形是平行四邊形】高妙技法一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）已知一組對邊平行,首先要考慮證另一組對邊平行，再考慮這組對邊相等；2）已知一組對邊相等,首先要考慮證另一組對邊相等，再考慮這組對邊平行；3）已知條件與對角線有關(guān)，?？紤]對角線互相平分；4)已知條件與角有關(guān)，常考慮兩組對角分別相等.20．如圖，已知是等邊三角形，點D、F分別在線段、上，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合題中，得到，即可解答．（2）連接，證明是等邊三角形，再證明，即可解答．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：如圖，連接，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，在與中，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練運用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（21-22八年級下·全國·課后作業(yè)）已知：如圖，等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的邊長為，求所組成的平行四邊形各組對邊之間的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)平行四邊形各組對邊之間的距離為．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，，進(jìn)一步可知：，，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）作，，求出，利用所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出，再利用勾股定理求出，同理可求出．【詳解】（1）證明：∵等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：作，，∵等邊的邊長為，∴，，∵，∴，∴，∴，同理：∵等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，即平行四邊形各組對邊之間的距離為．【點睛】本題考查平行四邊形的判定定理，等邊三角形的性質(zhì)，所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理，等邊三角形的性質(zhì)，所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理并能夠靈活運用．【題型8與三角形中位線有關(guān)的求解/證明問題】高妙技法當(dāng)已知三角形一邊中點時，可以設(shè)法找出另一邊的中點，構(gòu)造三角形中位線，進(jìn)而可以利用其證明線段平行.22．（23-24九年級上·山東濟(jì)南·期末）順次連接任意一個四邊形各邊中點所得到的四邊形一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形【答案】C【分析】本題考查三角形的中位線定理，平行四邊形的判定．如圖，根據(jù)三角形的中位線得出，，進(jìn)而得證平行四邊形．【詳解】解：如圖，四邊形中，、、、分別是、、、的中點，，，同理，，，，四邊形是平行四邊形，故選：C．23．（21-22八年級上·山東淄博·期末）如圖，在中，，點，，分別是三邊的中點，且，則的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接，由題意知是的中位線，證明，有，進(jìn)而可求的長．【詳解】解：如圖，連接由題意知是的中位線∴∴在和中∵∴∴∴cm故選A．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等．解題的關(guān)鍵在于對知識熟練掌握．24．（22-23八年級上·上海普陀·期中）如圖，在中，平分，且于點，交于點，，．那么的周長為．【答案】4【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，熟練掌握三角形中位線定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，然后由三角形中位線定理得，即可解決問題．【詳解】解：平分，，于，，，，，，，，，，，，，，，是的中位線，，的周長，故答案為：4．25．（22-23八年級下·上海虹口·期末）如圖，在梯形中，，點E、F分別是、的中點，如果，．那么．

【答案】4【分析】連接延長，交延長線于點G，證得，于是，，，從而．【詳解】連接延長，交延長線于點G，∵∴，又∴∴，∴∴

故答案為：4【點睛】本題考查三角形中位線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添設(shè)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．26．（24-25八年級下·上?！て谥校┤鐖D，在中，E為邊上一點，、分別平分、．

(1)求證：E為的中點；(2)如果點F為的中點，聯(lián)結(jié)交于點G．寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析．【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，由得到，，即，又由角平分線得到，從而，即可得到．同理得，即可得證；（2）取的中點H，聯(lián)結(jié)．根據(jù)中位線的性質(zhì)得到，，從而推出，即可證明，得到，進(jìn)而推出．【詳解】（1）證明：如圖，

∵四邊形是平行四邊形，，，．平分，，，．同理得．，，即E為的中點．（2）解：．取的中點H，聯(lián)結(jié)．

、H分別是、的中點，是的中位線，∴，．是CD中點，，，．∵，，∴，∴．在與中，，∴，∴，∵點H是的中點，∴，∴．【題型9利用菱形的性質(zhì)求解】高妙技法1）在求菱形面積時，要根據(jù)圖形特點及已知條件，靈活地選擇面積公式來解決問題.2）在利用對角線長求菱形的面積時，要特別注意不要漏掉計算公式中的.27．（21-22八年級下·河北滄州·期末）小明用四根相同長度的木條制作了一個正方形學(xué)具（如圖1），測得對角線，將正方形學(xué)具變形為菱形（如圖2），，則圖2中對角線的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運用相關(guān)知識．根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理可得，記交于點，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合可得，再利用勾股定理計算，即可解題．【詳解】解：正方形對角線，，，又菱形中，記交于點，，于點，，，且為等邊三角形，，，，．故選：C．28．（21-22八年級下·浙江寧波·期中）已知一個菱形的周長為，有一個內(nèi)角為，則較長的一條對角線長為．【答案】【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等，菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；利用30°直角三角形的邊長關(guān)系和勾股定理計算求值即可．【詳解】解：由題意得作圖如下：菱形ABCD中，∠DAB=60°，∵ABCD是菱形，∴AC、BD互相垂直平分，AC平分∠DAB，∴∠CAB=30°，∠AOB=90°，∵菱形周長為24cm，∴AB=24÷4=6cm，∴OB=AB=3cm，AO=cm，∴BD=2OB=6cm，AC=2AO=cm，∴較長的一條對角線長cm，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，30°直角三角形，勾股定理；掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．29．（24-25八年級下·上海·期中）如圖，在菱形中，，，P是邊上的一點，E、F分別是、的中點，那么線段長為．【答案】4【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到是等邊三角形，求出長，再根據(jù)三角形的中位線定理解答即可．【詳解】解：連接，∵是菱形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，又∵E、F分別是、的中點，∴，故答案為：．30．（24-25八年級下·上?！るA段練習(xí)）已知菱形一組對角的和為，較短的一條對角線的長度為4，那么這個菱形的面積為．【答案】【分析】先畫出圖形，根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，，，，證明是等邊三角形，得出，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)，據(jù)此即可解答．【詳解】解：由題意得，，，∵四邊形是菱形，∴，，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【題型10證明四邊形是菱形】高妙技法31．（23-24八年級下·上海金山·階段練習(xí)）如圖，在中，，點分別為邊上的點，，連接，點為的中點，連接，并延長交邊于．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)如果，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，由定理證明，，得到，根據(jù)平行四邊形的判定即可證的結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得，由三角形外角定理與已知條件證得，得到，即可證的結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，點為的中點，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形；（2）由（1）知四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，平行四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角定理，綜合運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．32．（23-24八年級下·上?！て谀┮阎?，如圖，是矩形的對角線的垂直平分線，與對角線及邊、分別交于點O，E，F(xiàn)．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)如果，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）證明，則，又由得到四邊形是平行四邊形，再由即可證明四邊形是菱形；（2）證明，得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：證明：∵四邊形是矩形∴，∴，∵是矩形的對角線的垂直平分線，∴，∴∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是菱形；（2）∵四邊形是菱形∴，∴，∵，∴∵∴，∴∴【題型11菱形的性質(zhì)與判定綜合】33．（21-22八年級下·上海楊浦·期中）如圖1，在平行四邊形中，的平分線交直線于點E，交直線于點F．(1)當(dāng)時，G是的中點，聯(lián)結(jié)（如圖2），請直接寫出的度數(shù)______．(2)當(dāng)時，，且，分別聯(lián)結(jié)、（如圖3），求的度數(shù)．【答案】(1)45°(2)60°【分析】（1）聯(lián)結(jié)CG，BG，證△DCG≌△BEG（SAS），得到BG=DG，∠CDG=∠EBG，再證△BGD是直角三角形，即得△BGD是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性質(zhì)求解；（2）延長AB、FG相交于H，聯(lián)結(jié)DH，先證四邊形ADFH是平行四邊形，再證平行四邊形ADFH是菱形，得∠HDF=∠ADF=60°，△DGF≌△DBH（SAS），得∠GDF=∠BDH，即可得∠BDG=∠HDF，可求解．【詳解】（1）解：∵平行四邊形，，∴四邊形為矩形，∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，∴∠ECF=90°，聯(lián)結(jié)CG，BG，如圖2，∵G是EF的中點，∴CG=EG=GF，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB，∴BE=CD，∴∠FEC=∠BEA=45°，∴∠BEG=135°，∴∠EFC=∠FEC=45°，∴∠GCF=∠EFC=45°，∴∠DCG=135°，∴∠DCG=∠BEF，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS），∴BG=DG，∠CDG=∠EBG，∵∠CDG+∠GDB+∠CBD=90°，∴∠EBG+∠GDB+∠CBD=90°，∴∠BGD=90°，∴△BGD是等腰直角三角形，∴∠BDG=45°；故答案為：45°；（2）解：延長AB、FG相交于H，聯(lián)結(jié)DH，如圖，∵FGCE，∴ADHF，∵AHDF，∴四邊形ADFH是平行四邊形，∵∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，∠ADC=∠ABC=120°，∵AF平分∠DAB，∴∠BAF=∠DAF=30°，∵AHDF，∴∠DFA=∠BAF=∠DAF=30°，∴DA=DF，∠AEB=∠FEC=30°，∴平行四邊形ADFH是菱形，CE=CF，∴∠HDF=∠ADF=60°，∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴FG=HB，在△DGF和△DBH中，，∴△DGF≌△DBH（SAS），∴∠GDF=∠BDH，∴∠BDG=∠HDF=60°．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題屬四邊形綜合題目，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（23-24八年級下·上海崇明·期末）已知：如圖，在梯形中，的平分線交延長線于點E，交于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)交點G，如果，求證：．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題考查的是梯形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一得到，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)菱形的判定定理證明；（2）連接，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出，證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是的平分線，，，，，，，，，∴四邊形為平行四邊形，，∴平行四邊形是菱形；（2）如圖，連接，在梯形中，，則梯形等腰梯形，，由（1）可知：四邊形是菱形，，，，，，，．35．（23-24八年級下·上海普陀·期中）如圖，已知，點分別在邊上，且四邊形是菱形．(1)請使用直尺與圓規(guī)確定點E的具體位置，再畫出菱形（不用寫作法、結(jié)論，保留畫圖痕跡）；(2)如果點M（不與點D重合）在邊上，且滿足，那么四邊形的形狀是________；(3)在（2）的條件下，如果，那么四邊形的面積是________．【答案】(1)見解析(2)等腰梯形(3)【分析】（1）作的角平分線交于點E，作的垂直平分線交于點D，F(xiàn)；（2）結(jié)合菱形的性質(zhì)和題意可得出，，即說明四邊形為等腰梯形；（3）由題可證，，都為等邊三角形，且邊長都為4，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求面積即可．【詳解】（1）解：如圖，菱形即為所作；（2）解：如圖，．由（1）可知四邊形為菱形，∴，，∴，，∴四邊形為等腰梯形．故答案為：等腰梯形；（3）解：∵四邊形為菱形，四邊形為等腰梯形，∴．∵，∴，，都為等邊三角形，且邊長都為4．如圖，過點A作于點H．∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查作圖—角平分線，作圖—線段垂直平分線，菱形的性質(zhì)，等腰梯形的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【題型12利用矩形的性質(zhì)求解】高妙技法1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經(jīng)常會用到等腰三角形的性質(zhì)解決問題.3）利用矩形的性質(zhì)可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.解題方法：理解記憶矩形的性質(zhì)，當(dāng)題目己知矩形或者證明出矩形時，要立刻能想到相應(yīng)的性質(zhì).36．（22-23八年級下·上海長寧·期中）如圖，在矩形中，對角線交于點，點E在邊上，連接，如果，，那么的度數(shù)為．

【答案】/60度【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，可得，求出，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后根據(jù)角的和差求解即可．【詳解】解：∵矩形，∴，，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．（23-24八年級下·上?！卧獪y試）在矩形中，，，的垂直平分線交于，交于，那么四邊形的面積等于．【答案】【分析】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出，從而求出，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明，從而證明，得到，證出四邊形為菱形，設(shè)菱形的邊長為，則，在中，由勾股定理得出邊長長度，求出最終結(jié)果；本題主要考查了矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)．【詳解】如圖所示：連接，四邊形是矩形，，，是的垂直平分線，，，四邊形是平行四邊形四邊形是菱形，設(shè)菱形的邊長為，則在中，由勾股定理，得，即，解得所以四邊形的面積為

故答案為：．38．（22-23八年級下·江蘇宿遷·期中）如圖，在矩形中，，，對角線、相交于點，是線段上的任意一點（點不與點，重合），過點作于點，于點，則．【答案】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理的運用．連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，點是對角線的中點，則，再根據(jù)，，即可求出的值．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴，，，，，，∴，根據(jù)勾股定理得：，∴，∵，，∴，∵于點，于點，∴，∴，∴，∴．故答案為：．39．（22-23八年級下·上海徐匯·期末）如圖，過矩形對角線的交點，且分別交、于、，那么陰影部分的面積與矩形的面積的比值是．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，則，進(jìn)而根據(jù)矩形的對角線互相平分，可得，即可求解．【詳解】由圖可知：，，，，，在與中，，高相等，，即，陰影部分的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型13證明四邊形是矩形】高妙技法40．（2025八年級下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在梯形中，，，過點作，垂足為，并延長至，使，聯(lián)結(jié)、、．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)聯(lián)結(jié)，如果，，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定定理．（1）連接，利用等腰梯形的性質(zhì)得到，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，從而得到，然后證得，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形；（2）利用等邊三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理，解答即可．【詳解】（1）證明：連接．梯形中，，，，和中，，，，．．又，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：垂直平分，∴，，，∴是等邊三角形，，，∵，∴，，∴∵，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形41．（22-23八年級下·江蘇宿遷·期末）如圖，菱形的對角線、相交于點O，，，與交于點F．

(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)詳見解析(2)96【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，問題隨之得證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理可得，問題隨之得解．【詳解】（1）證明：∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵菱形對角線交于點O，∴，即．∴四邊形是矩形；（2）∵菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∴菱形的面積為：．42．（2023·云南昭通·一模）如圖，在梯形中，，F(xiàn)為上一點，且，E為上一點，交于點G．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)，可得四邊形是平行四邊形，再由，即可求證；（2）根據(jù)四邊形是矩形，，從而得到，再由，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是矩形．（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型14矩形的性質(zhì)與判定綜合】43．（24-25八年級下·上?！るA段練習(xí)）已知，梯形中，，，，，，是邊上的任意一點，連接，連接．(1)若平分，求的長；(2)過點作，交所在直線于點．設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；連接，當(dāng)點是的中點時，求的長．【答案】(1)滿足條件的的值為或；(2)；．【分析】（）作于，則四邊形是矩形，則，，分兩種情形求解即可解決問題；（）作于利用面積法構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可；延長交于點，證，得，再由垂直平分，知，又，則，據(jù)此得，，根據(jù)可得答案．【詳解】（1）解：如圖中，作于，則四邊形是矩形，∴，，當(dāng)平分時，∴，∴，在中，，，∴，∴；當(dāng)平分時，同法可證：，，∴；綜上所述，滿足條件的的值為或；（2）解：如圖中，作于，在中，，∵，∴，∴；如圖，延長交于點，∵，∴，，∵是中點，∴，∴，∴，∵垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，函數(shù)解析式，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形及掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．44．（21-22八年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)詳見解析；(2)75°；(3)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)易證∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）由矩形和角平分線的性質(zhì)得出∠CDE＝∠CED＝45°，則EC＝DC，推出∠CDO＝60°，證明△OCD是等邊三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出結(jié)果；（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長即可．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，又∵矩形的對角線互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等邊三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，∵CO＝CE，∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，由（1）可知，∠OCB＝30°，∴AC=2AB=4，∴，∴矩形OEC的面積．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型15利用正方形的性質(zhì)求解】高妙技法正方形的性質(zhì)：1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.【補充】1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).

2）一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.5）正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸，分別是對邊中點所在的直線和兩條對角線所在的直線.6）正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是對稱中心.45．（20-21八年級下·山東煙臺·期末）如圖，延長正方形邊至點，使，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，連接，根據(jù)題意可得，則，由外角的性質(zhì)可得：，即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是正方形，∴，且，又∵，∴，∴，∵，∴．故選：A．46．（24-25八年級下·上?！て谥校┤鐖D，在正方形中，點E、F分別為邊的中點，點P在邊上，如果將沿直線翻折后，點C恰好落在線段上的點Q處，線段的長為1，那么正方形的邊長為．【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)和折疊的不變性．先得到四邊形為矩形，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)得到可設(shè)，，，在中由勾股定理建立方程，即可求解．【詳解】解：如圖：∵四邊形是正方形，∴，，，∵點E、F分別為邊的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∵翻折，∴，設(shè)正方形的邊長為，則，，，∴在中，由勾股定理得：，解得：或（舍），∴正方形的邊長為，故答案為：．47．（14-15九年級上·黑龍江綏化·期末）將n個邊長都為的正方形按如圖所示的方法擺放，點，，…，分別是正方形對角線的交點，則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為．【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)與三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是得到．連接，，根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，，即可得到，即可得到，即可得到一個圖形重疊的面積，即可得到答案；【詳解】解：連接，，∵正方形的邊上為，∴，，，∴，∴，∴，∴n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為：，故答案為：．【題型16證明四邊形是正方形】高妙技法判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等．48．（23-24八年級下·上海嘉定·期末）如圖，菱形中，E是對角線上一點，，交邊于點F，且．(1)求證：；(2)求證：四邊形是正方形．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）連接，先證明，即有，，根據(jù)，可得，問題隨之得證；（2）過E點作，交于點M，交于點N，證明，即可．【詳解】（1）連接，如圖，∵四邊形是菱形，∴，，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）過E點作，交于點M，交于點N，如圖，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴菱形是正方形．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)等知識，靈活運用菱形的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．49．（23-24八年級下·上海長寧·期末）已知：如圖，在中，，是邊上的高．H為線段上的點，以為鄰邊作矩形，連結(jié)交于點E，聯(lián)結(jié)交于點F．

(1)如果，求證：四邊形為正方形；(2)聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形為矩形．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）通過矩形的性質(zhì)得出證明，得出，再結(jié)合矩形的性質(zhì)，即可作答．（2）經(jīng)過角的等量代換得出，結(jié)合，得出，證明，得出，得出四邊形是平行四邊形，結(jié)合，即可作答．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形∴∵是邊上的高．∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形∴四邊形是正方形；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形；50．（22-23八年級下·上海靜安·期末）已知：如圖，梯形中，，，E、F、G、H分別是的中點，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)如果，，且，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）首先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，，證明出四邊形是平行四邊形，然后利用，得到，進(jìn)一步證明出四邊形是菱形；（2）延長交于點M，首先證明出，得到，，，然后得到四邊形是正方形，是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖所示，連接

∵E、F、G、H分別是的中點，∴是的中位線，是的中位線，∴，，，∴，∴四邊形是平行四邊形∵梯形中，，，∴四邊形是等腰梯形∴∵同理可得，是的中位線∴∴∴四邊形是菱形；（2）如圖所示，延長交于點M，

∵，，∴，，∵∴，又∵∴∴，∴，∵四邊形是菱形，∴四邊形是正方形∴，∴，∴是等腰直角三角形∴，即∴．∴四邊形的面積為8．【點睛】此題考查了梯形的性質(zhì)，菱形的判定定理，正方形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各判定定理及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型17正方形性質(zhì)與判定綜合】51．（23-24八年級下·上海·階段練習(xí)）已知在中，，，斜邊的中點為P點，動點D、E分別在邊、上，且．(1)求證：；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；(3)若為等腰三角形，請直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)(3)2或或4【分析】（1）過點P作，，可得四邊形是矩形，得到，結(jié)合，可得，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得，，得到，可得，得到；（2）根據(jù)中點性質(zhì)可得，結(jié)合，得到，可證矩形是正方形，得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)，得到；（3）連接，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得，，得到，結(jié)合，證得，可知是等腰三角形，當(dāng)時，點D與點A重合，可得；，成立；當(dāng)時，，可得，點D與點F重合，得到．【詳解】（1）如圖1，過點P作，，則，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵P是中點，∴，∵，∴，∴，同理，∵，∴，∴，∴；（2）如圖1，∵F是中點，，∴，∵，∴，∵，∴矩形是正方形，∴，∵，，∴，即；（3）如圖2，連接，∵，，∴，∵P是中點，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)是等腰三角形時，也是等腰三角形，當(dāng)時，，∴點D與點A重合，∴；當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，∴，點D與點F重合，∴．綜上，的長為：2或或4．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形綜合．熟練掌握等腰直角三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．52．（20-21八年級下·上海楊浦·期末）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC延長線上一點，聯(lián)結(jié)DE，過點B作BF⊥DE，垂足為點F，BF與邊CD相交于點G．(1)求證：CG＝CE；(2)聯(lián)結(jié)CF，求證：∠BFC＝45°；(3)如果正方形ABCD的邊長為2，點G是邊DC的中點，求EF的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【分析】（1）把CG和CE分別放在Rt△BCG和Rt△DCE中，說明它們?nèi)燃纯傻米C；（2）聯(lián)結(jié)CF，過點C作MC⊥CF交BG于M，說明△MCF為等腰三角形即可得證；（3）過點C作CN⊥BF于N，構(gòu)造△CNG≌△DFG，即可求出DF＝NC，再利用線段和差即可求出EF的長．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE，∵BF⊥DE，∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC，∴∠CBG＝∠EDC，在Rt△BCG與Rt△DCE中，∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA），∴CG＝CE．（2）作CM⊥CF交BF于點M，∵△BCG≌△DCE，∴∠E＝∠BGC，∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°，∴∠MCG＝∠FCE，在△MCG和△FCE中，∴△MCG≌△FCE（ASA），∴MG＝FE，MC＝FC，∴△MCF為等腰直角三角形，∴∠BFC＝45°．（3）作CN⊥BF于點N，∴△CNF為等腰直角三角形，CN＝NF，∵G為CD中點，正方形ABCD的邊長為2，∴CG＝DG＝CE＝1，∴BG＝DE＝＝，∴BC?CG＝BG?CN，∴CN＝＝＝，在△CNG和△DFG中，∴△CNG≌△DFG（AAS），∴DF＝CN＝，∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，構(gòu)造特殊三角形和三角形全等是解題的關(guān)鍵．【題型18與特殊平行四邊形有關(guān)的折疊問題】高妙技法矩形的折疊問題的常用解題思路：1）對折疊前后的圖形進(jìn)行細(xì)致分析，折疊后的圖形與原圖形全等，對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等，找出各相等的邊或角；2）折痕可看作角平分線（對稱線段所在的直線與折痕的夾角相等）．3)折痕可看作垂直平分線（互相重合的兩點之間的連線被折痕垂直平分）.4）選擇一個直角三角形(不找以折痕為邊長的直角三角形)，利用未知數(shù)表示其它直角三角形三邊，通過勾股定理/相似三角形知識求解.53．（23-24八年級上·上海崇明·期末）如圖，一張矩形紙片的長，寬，現(xiàn)將其折疊，使點與點重合，折痕為，則折痕的長是．【答案】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，證明四邊形是平行四邊形，作于，設(shè)，利用勾股定理即可求解；【詳解】解：如圖所示，作于，連接；由翻折可知，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，設(shè)，在中，則有，解得：，，四邊形是矩形，，，，，，故答案為：54．（23-24八年級下·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，是矩形，，，點是邊邊上一動點，連結(jié)，將四邊形沿所在直線翻折，落在的位置，點A、的對應(yīng)點分別為點、，邊與邊的交點為點．(1)當(dāng)坐標(biāo)為時，求點坐標(biāo)和直線的解析式；(2)過作交于，若，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．【答案】(1)，直線為：(2)【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理等知識點，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，先求出，再根據(jù)勾股定理求出點的坐標(biāo)，由點的坐標(biāo)可求出直線的解析式；（2）由折疊的性質(zhì)得出，利用勾股定理得出【詳解】（1）解：設(shè)，四邊形是矩形，，，由折疊得：，，，，，，，，在中，，，，，∴，，設(shè)直線為：，則，解得：，直線為：．（2）解：，，由對稱性可知：，，，，，，，，，在中，，，，當(dāng)與重疊時，與重合，此時，∴．55．（23-24八年級下·廣西柳州·期中）綜合與實踐折紙是一項有趣的活動，折紙活動也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)．在折紙過程中，我們可以研究圖形的運動和性質(zhì)，也可以在思考問題的過程中，初步建立幾何直觀，現(xiàn)在就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來折紙吧．定義：將紙片折疊，若折疊后的圖形恰能拼合成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為完美矩形．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，將紙片按所示折疊成完美矩形，若的面積為，，則此完美矩形的邊長，面積為．(2)類比探究：如圖②，將平行四邊形紙片按所示折疊成完美矩形，若平行四邊形的面積為，，則完美矩形的周長為．(3)拓展延伸：如圖③，將平行四邊形紙片按所示折疊成完美矩形，若，，求此完美矩形的周長為多少．【答案】(1)；(2)(3)【分析】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟悉利用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形的面積公式分別求出矩形的長和寬，即可得到矩形的周長；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形的面積公式分別求出矩形的長和寬，即可得到矩形的周長；（3）連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)證出四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，利用勾股定理求出矩形的長和寬，即可得到矩形的周長．【詳解】（1）解：由折疊可知，，，，∴，點是中點，過點作于點，交于點，如圖①所示：∵，，∴由折疊可知：，∴，∴完美矩形的面積為：；（2）解：由折疊可得：，，，，∴，∴，∴，∴矩形的周長；（3）解：連接，如圖所示：由折疊可得：點和分別是和的中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴設(shè)，則，∵在中，，∴，解得：，∴，，∴矩形的周長．【題型19求特殊平行四邊形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)】56．（22-23八年級下·上海·階段練習(xí)）已知一次函數(shù)

(1)求圖像與x軸、y軸的交點A、B的坐標(biāo)．(2)求點O到直線的距離．(3)點P在x軸，四邊形A、B、P、Q是菱形，求出Q點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）先求出當(dāng)時，y的值，時，x的值即可得到答案；（2）利用等面積法求解即可；（3）分當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，三種情況利用菱形的性質(zhì)討論求解即可．【詳解】（1）解：在中，令，則，令，則，∴；（2）解：設(shè)點O到直線的距離為h，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：設(shè)點P的坐標(biāo)為，當(dāng)為對角線時，則，即軸，∴點Q在y軸上，且被軸垂直平分，∴；當(dāng)為對角線時，則，即軸，∴點Q的坐標(biāo)為或；當(dāng)為對角線時，則，∴，解得，∴，∴點Q的坐標(biāo)為；綜上所述，點Q的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．57．（21-22八年級下·上海青浦·期末）如圖，已知點，點，點在軸負(fù)半軸上，，點為直線上一點．(1)求直線的解析式；(2)點為平面內(nèi)任一點，若以點、、、為頂點的四邊形是正方形，求點的坐標(biāo)；(3)當(dāng)直線與直線的夾角等于的倍時，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)，求出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，求出直線的解析式即可．（2）分是正方形的邊、是正方形的對角線兩種情況，利用正方形性質(zhì)即可求解．（3）當(dāng)時，，利用兩點間距離可求點坐標(biāo)；當(dāng)時，，此時，過點作交于，過點作軸交于，由是等腰直角三角形，求出，再由是的中點，求出的另一個點坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：，點，，，，，點在軸負(fù)半軸上，，設(shè)直線的解析式是，，解得，直線的解析式為；（2）解：①當(dāng)是正方形的邊時，對應(yīng)的正方形為，，，，，；②當(dāng)是正方形的對角線時，對應(yīng)的矩形為，、是正方形對角線，線段和線段互相垂直平分，點、的橫坐標(biāo)為，，，綜上所述：點的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)，①當(dāng)時，，，，；②當(dāng)時，，此時，是等腰三角形，過點作交于，過點作軸交于，，，是等腰直角三角形，是的中點，，，是的中點，；綜上所述：點坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．【題型20與特殊平行四邊形有關(guān)的存在性問題】58．（2022八年級下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣2x+12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．(1)求直線AM的函數(shù)解析式；(2)若點C是x軸上一點，且S△AMCS△ABM，求點C的坐標(biāo)；(3)點P在直線AB上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使四邊形BPMQ是菱形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x+6，(2)（2，0）或（10，0）；(3)存在，點P的坐標(biāo)（，12）或（，12）或（，）或（，9）．【分析】（1）通過函數(shù)y＝?2x＋12求出A、B兩點坐標(biāo)，又由點M為線段OB的中點，即可求得點M的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得直線AM的函數(shù)解析式；（2）設(shè)出C點坐標(biāo)，可求得AC的長，根據(jù)S△ABM＝BM?OA，S△AMCAC?OM，由S△AMC＝S△ABM，可得方程，解方程即可求得答案；（3）分兩種情況討論：①BM是菱形的邊時；②BM是菱形的對角線時，分別根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵直線AB的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+12，∴A（6，0），B（0，12），又∵M(jìn)為線段OB的中點，∴M（0，6），設(shè)直線AM的解析式為：y＝kx+b，∴，解得：，故直線AM的解析式為y＝﹣x+6；（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為：（x，0），∴AC＝|x﹣6|，∵B（0，12），M（0，6），∴BM＝6，∴S△ABMBM?OA6×6＝18，∵S△AMCS△ABM，∴S△AMCAC?OM6×|x﹣6|18，∴3×|x﹣6|＝12，解得：x＝2或10，故點C的坐標(biāo)為：（2，0）或（10，0）；（3）設(shè)P（x，﹣2x+12），①如圖所示：BM是菱形的邊時．過P2作P2C⊥y軸于C，∴P2C＝x，BC＝12﹣（﹣2x+12）＝2x，∵四邊形BP2Q2M是菱形，∴P2B＝BM＝6，在Rt△BP2C中，P2C2+BC2＝P2B2，∴x2+（2x）2＝62，解得x＝±，∴點P的坐標(biāo)為（，12）或（，12）；過P3作P3D⊥y軸于D，∴P3D＝x，MD＝6﹣（﹣2x+12）＝2x﹣6，∵四邊形BQ3P3M是菱形，∴P3M＝BM＝6，在Rt△MP3D中，P3D2+MD2＝P3M2，∴x2+（2x﹣6）2＝62，解得x或0（舍去），

∴點P的坐標(biāo)為（，）；②如圖所示：BM是菱形的對角線時，連接PQ交y軸于N，∵四邊形BQMP是菱形，∴PQ⊥BM，BN＝MN，∴點N的坐標(biāo)為（0，9）．∴點P的縱坐標(biāo)是9，∴﹣2x+12＝9，解得x，∴點P的坐標(biāo)為（，9）．綜上所述，存在，點P的坐標(biāo)（，12）或（，12）或（，）或（，9）．【點睛】本題為一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積、菱形的性質(zhì)等．解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．59．（20-21八年級下·上海·期中）若直線分別交軸、軸于A、C兩點，點P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點，PB⊥軸，B為垂足，且S△ABC=6(1)求點B和P的坐標(biāo)；(2)點D是直線AP上一點，△ABD是直角三角形，求點D坐標(biāo)；(3)請問坐標(biāo)平面是否存在點Q，使得以Q、C、P、B為頂點四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)B（2，0），P（2，3）(2)（2，3）或（，）(3)（0，5）或（0，-1）或（4，1）【分析】（1）設(shè)B（x，0），則P（x，x+2），由S△ABC=6列方程求出x的值，即得到點B和點P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點D與點P重合時，△ABD是直角三角形；當(dāng)點D與點P不重合時，過點C作CE⊥AP，先求出直線CE的解析式，再由直線BD∥CE求出直線BD的解析式且與y=x+2聯(lián)立方程組，求出點D的坐標(biāo)；（3）畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分三種情況得出點Q坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖1，設(shè)B（x，0），則P（x，x+2），對于y=x+2，當(dāng)y=0時，由x+2=0，得，x=-4；當(dāng)x=0時，y=2，∴A（-4，0），C（0，2），∵點P在第一象限，且S△ABC=6，∴×2（x+4）=6，解得x=2，∴B（2，0），P（2，3）．（2）如圖1，點D與點P重合，此時∠ABD=∠ABP=90°，∴△ABD是直角三角形，此時D（2，3）；如圖2，點D在線段AP上，∠ADB=90°，此時△ABD是直角三角形，作CE⊥AP，交x軸于點E，則∠ACE=∠ADB=90°，∴BD∥CE，AC=，設(shè)E（m，0），由AE?OC=AC?CE=S△ACE，得AE?OC=AC?CE，∴2（m+4）=CE，∴CE=（m+4），∵∠COE=90°，∴OE2+OC2=CE2，∴m2+22=(m+4)]2，整理得，m2-2m+1=0，解得，m1=m2=1，∴E（1，0）；設(shè)直線CE的解析式為y=kx+2，則k+2=0，解得，k=-2，∴y=-2x+2；設(shè)直線BD的解析式為y=-2x+n，則-2×2+n=0，解得，n=4，∴y=-2x+4，由，得：，∴D（，）；由圖象可知，當(dāng)點D在PA的延長線上，或點D在AP的延長線上，則△ABD不能是直角三角形，綜上所述，點D的坐標(biāo)是（2，3）或（，）；（3）存在．如圖，當(dāng)四邊形CQBP是平行四邊形時，此時，CQ=PB=3，∴Q（0，-1）；當(dāng)四邊形CQ1PB是平行四邊形時，此時，CQ1=PB=3，∴Q1（0，5）；當(dāng)四邊形CPQ2B是平行四邊形時，此時，CP∥BQ2且CB∥PQ2，∴Q2（4，1）；綜上所述，點Q的坐標(biāo)為（0，5）或（0，-1）或（4，1）．【點睛】此題重點考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，在解第（2）題、第（3）題時，應(yīng)進(jìn)行分類討論，求出所有符合條件的結(jié)果，此題綜合性較強，難度較大，屬于考試壓軸題．60．（21-22八年級下·上海靜安·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．一次函數(shù)y=-2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M．且點M為線段OB的中點．(1)求直線AM的解析式；(2)在直線AM上有一點P，且，求點P的坐標(biāo)；(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點C，使以A、B、M、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點P的坐標(biāo)為(0，6)或(12，-6)(3)存在，點C的坐標(biāo)為(6，-6)或(6，6)或(-6，18)【分析】（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點A，B的坐標(biāo)，由點M為線段OB的中點可得出點M的坐標(biāo)，根據(jù)點A，M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AM的函數(shù)解析式；（2）分兩種情況：①由點M為線段OB的中點．可得，即可得出點P于點M重合，②根據(jù)，即可得答案；（3）存在點C，使以A、B、M、C為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①以AM，BC為對角線；②以AB，CM為對角線；③以AC，BM為對角線，根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時，y=-2x+12=12，∴點B的坐標(biāo)為（0，12），當(dāng)y=0時，-2x+12=0，解得：x=6，∴點A的坐標(biāo)為（6，0）．∵點M為線段OB的中點，∴點M的坐標(biāo)為（0，6）．設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），將A（6，0），M（0，6）代入y=kx+b，得，解得：∴直線AM的函數(shù)解析式為y=-x+6；（2）解：①∵點M為線段OB的中點．∴，∴點P于點M重合，∴點P的坐標(biāo)為（0，6）；②如圖，∵點A的坐標(biāo)為（6，0）．點M的坐標(biāo)為（0，6）．∴×6×6=18，∵，∴，設(shè)點P的坐標(biāo)為：（x，-x+6），∴×6x-18=18，解得x=12，∴點P的坐標(biāo)為（12，-6）；∴點P的坐標(biāo)為（0，6）或（12，-6）；（3）解：分三種情況考慮（如圖所示）：存在點C，使以A、B、M、C為頂點的四邊形是平行四邊形，∵A（6，0），B（0，12），M（0，6），①以AM，BC為對角線，根據(jù)平移的性質(zhì)，得點C（6，-6），②以AB，CM為對角線，根據(jù)平移的性質(zhì)，得點C（6，6），③以AC，BM為對角線，根據(jù)平移的性質(zhì)，得點C（-6，18），綜上，點C的坐標(biāo)為（6，-6）或（6，6）或（-6，18）．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．【題型21與特殊平行四邊形有關(guān)的動點問題】61．（24-25八年級上·上海·階段練習(xí)）中，，D是的中點，E是邊上動點（E不與A、B重合），交于F．設(shè)．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域．(2)時，．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，正確證明是關(guān)鍵．（1）取的中點記為，取的中點記為．根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)余角的性質(zhì)可得，根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明，從而得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，以及x的定義域；（2）連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，當(dāng)，．【詳解】（1）解：取的中點記為H，取的中點記為N．連接，∵，點D是邊的中點，∴都是三角形中位線，∴，，，，∵，∴，∴，∵，∴在與中，，∴，∴，∴，即，∵E是邊上的一個動點（不與A、B重合），∴；（2）解：連接，當(dāng)E與H重合時，，∴，62．（23-24八年級下·上海金山·階段練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，，，，點為邊的中點，點為邊上一動點（點不與點重合），聯(lián)結(jié)和，點分別為的中點，設(shè)，．(1)求的長；(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)聯(lián)結(jié)，當(dāng)時，求的值．【答案】(1)4(2)(3)4【分析】（1）過點作于點，得出，根據(jù)，得出；（2）①當(dāng)點在點左側(cè)（），，根據(jù)，得出（）；②當(dāng)點在點右側(cè)（），，得出（）；（3）延長交于點，由三角形中位線定理推知點為的中點，，得出是等邊三角形，從而求出的值．【詳解】（1）解：過點作于點，四邊形是等腰梯形，，，．；（2）解：∵，．①當(dāng)點在點左側(cè)（），∵，∴，，，點分別為的中點，是的中位線，，；②當(dāng)點在點右側(cè)（），，，同理可得：，；綜上所述，；（3）解：延長交于點，，，四邊形是平行四邊形，，點分別為的中點，是的中位線，．點為的中點，∴．在與中，，，，，，為正三角形，．【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，有三角形的中位線和勾股定理，函數(shù)與圖形相結(jié)合等，掌握有三角形的中位線和勾股定理是解題的關(guān)鍵．63．（23-24八年級下·上?！卧獪y試）如圖，在矩形中，為坐標(biāo)原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點在邊上，點的坐標(biāo)為，，點是射線上一個動點，連接，．(1)求點的坐標(biāo)；(2)如果點，之間的距離為，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；(3)在點運動過程中，是否有可能為等腰三角形？若有可能，求出點的坐標(biāo)；若不可能，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)有可能為等腰三角形，點的坐標(biāo)為或或或．【分析