第三章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、其他未定式一、基本未定式目錄/Contents第二節(jié)洛必達(dá)法則一、基本未定式型或型稱(chēng)為基本未定式.定理3.4設(shè)函數(shù),滿(mǎn)足下列條件:(1)；(2)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)可除外),與都存在,且；(3)（或）；則有（或）.一、基本未定式證明由于我們要討論的是函數(shù)在點(diǎn)的極限,與,無(wú)關(guān),所以假設(shè),由定理?xiàng)l件(1)(2)知,,在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)就連續(xù)了.設(shè)點(diǎn)是這鄰域內(nèi)的一點(diǎn),則在以,為端點(diǎn)的區(qū)間上,滿(mǎn)足柯西中值定理的條件,由柯西中值定理有,在,之間,由于當(dāng)時(shí),,所以對(duì)上式兩邊求的極限,便得定理的結(jié)論.一、基本未定式將分子、分母分別求導(dǎo)再求極限的方法稱(chēng)為洛必達(dá)法則.若仍為型未定式,且函數(shù),仍滿(mǎn)足定理中,的條件,則可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則,即有,且依次類(lèi)推,直到確定式（即不是未定式）則求出極限.若無(wú)法判定的極限狀態(tài),

或能判定它振蕩而無(wú)極限,

則洛必達(dá)法則失效.

,需用別的方法來(lái)求.此時(shí)一、基本未定式【例1】求下列極限：(1).解(2).解..一、基本未定式(3).解(4).解..一、基本未定式(5).解(6).解..一、基本未定式(7).解(8).解..一、基本未定式對(duì)于型未定式的極限有如下定理:定理3.5設(shè)函數(shù),滿(mǎn)足下列條件:(1)；(2)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）,與都存在,且；(3)（或）；則有一、基本未定式【例2】求下列極限：(1).解(2).解..一、基本未定式(3).解(4).解..一、基本未定式定理3.4與定理3.5中改為時(shí),洛必達(dá)法則同樣有效,即同樣有.【例3】求下列極限:(1).解(2).解..一、基本未定式例3中不是正整數(shù)而是任意正數(shù)時(shí)，極限仍然為零.例3說(shuō)明:當(dāng)時(shí),冪函數(shù)比對(duì)數(shù)函數(shù)增大得快,而指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)又增大得快.通過(guò)上面例子我們看到,洛必達(dá)法則是求型或型未定式極限的一種重要且簡(jiǎn)便有效的方法,使用洛必達(dá)法則時(shí)應(yīng)該注意（1）檢驗(yàn)定理中的條件,還需及時(shí)的整理化簡(jiǎn)；以繼續(xù)使用.（2）使用時(shí)應(yīng)結(jié)合運(yùn)用其他求極限的方法,如等價(jià)無(wú)窮小量替換,作恒等變形結(jié)合使用能使運(yùn)算簡(jiǎn)捷.,則可如仍屬未定式,或適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q等一、基本未定式（3）洛必達(dá)法則的條件是充分的,

并非必要.如果所求極限不滿(mǎn)足其條件時(shí),

則應(yīng)考慮用其他方法求極限.【例4】求.解.一、基本未定式【例5】.解這個(gè)問(wèn)題屬于“”型未定式,但分子,分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限為振蕩型的,即,其極限為振蕩不存在,故洛必達(dá)法則失效,需用其它方法求此極限.事實(shí)上,有.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、其他未定式一、基本未定式目錄/Contents第二節(jié)洛必達(dá)法則二、其他未定式未定式還有,,,,型等,它們經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?可變?yōu)榛疚炊ㄊ叫突蛐?然后用洛必達(dá)法則來(lái)計(jì)算.對(duì)于,,型,由于它們都是,又,故,而是屬于型.二、其他未定式【例6】求下列極限：(1).解(2).解..二、其他未定式(3).解(4).解(5).解...e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B6