有限元方法理論及應(yīng)用考試題目及要求2012秋含答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪種方法不屬于加權(quán)殘值法的基本類型？（）A.配點法B.子域法C.最小二乘法D.里茲法答案：D（里茲法屬于變分法，加權(quán)殘值法包括配點法、子域法、最小二乘法、伽遼金法等）2.二維四節(jié)點矩形單元的形函數(shù)滿足的基本性質(zhì)不包括（）A.在節(jié)點i處，N_i=1，其他節(jié)點j≠i時N_j=0B.∑N_i=1（對所有單元節(jié)點i求和）C.形函數(shù)在單元邊界上線性變化D.形函數(shù)對坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)在單元內(nèi)連續(xù)答案：C（二維四節(jié)點矩形單元的形函數(shù)為雙線性函數(shù)，在邊界上呈線性變化，但更準(zhǔn)確的性質(zhì)是雙線性，C選項描述不全面，實際正確性質(zhì)應(yīng)包含雙線性，而C選項的“線性變化”未體現(xiàn)二維特性，故錯誤）3.采用高斯積分計算一維單元剛度矩陣時，若單元位移模式為二次多項式，至少需要（）個積分點。A.1B.2C.3D.4答案：B（二次多項式的積分需要至少2個高斯點，因高斯積分的階數(shù)n可精確積分2n1次多項式，二次多項式最高次數(shù)為2，2n1≥2→n≥2）4.對于平面應(yīng)力問題，彈性矩陣D的表達(dá)式中，泊松比ν的取值范圍是（）A.ν>0.5B.0<ν<0.5C.1<ν<0.5D.ν=0.5答案：B（各向同性線彈性材料的泊松比ν滿足0≤ν≤0.5，實際工程材料ν>0，故0<ν<0.5）5.有限元分析中，“應(yīng)力鎖死”現(xiàn)象主要發(fā)生在（）A.薄板彎曲問題中采用低階單元B.不可壓縮材料的體積變形分析C.大變形問題的幾何非線性分析D.熱應(yīng)力耦合場分析答案：B（應(yīng)力鎖死（StressLocking）通常指不可壓縮或近似不可壓縮材料（如ν→0.5）在使用低階單元時，由于體積應(yīng)變計算誤差導(dǎo)致的應(yīng)力高估現(xiàn)象）二、填空題（每空2分，共20分）1.有限元法的核心思想是將連續(xù)體離散為有限個______，通過______的組合逼近原問題的解。答案：單元（或“有限單元”）；單元插值函數(shù)（或“形函數(shù)”）2.加權(quán)殘值法中，伽遼金法的權(quán)函數(shù)取為______，其本質(zhì)是使殘值在______空間中正交。答案：試函數(shù)（或“形函數(shù)”）；試函數(shù)（或“形函數(shù)”張成的）3.一維二節(jié)點桿單元的形函數(shù)表達(dá)式為N?=______，N?=______（設(shè)單元長度為l，局部坐標(biāo)ξ∈[1,1]）。答案：(1ξ)/2；(1+ξ)/24.平面問題中，應(yīng)變向量ε=[ε_xx,ε_yy,γ_xy]^T，對應(yīng)的虛應(yīng)變能表達(dá)式為∫_Ω______dΩ（用應(yīng)力σ和虛應(yīng)變δε表示）。答案：δε^Tσ5.等參元的“等參”指______與______采用相同的參數(shù)（節(jié)點數(shù)和插值函數(shù)）。答案：幾何形狀描述；位移場插值6.有限元分析中，本質(zhì)邊界條件（強(qiáng)制邊界條件）需通過______或______方法直接施加。答案：節(jié)點位移約束（或“直接法”）；罰函數(shù)法（或“拉格朗日乘子法”）三、簡答題（每題8分，共32分）1.簡述有限元法中“變分原理”與“加權(quán)殘值法”的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：二者均為建立有限元方程的理論基礎(chǔ)，目標(biāo)均為將微分方程轉(zhuǎn)化為等效的積分形式。區(qū)別：變分原理要求原問題存在能量泛函（如最小勢能原理對應(yīng)彈性力學(xué)問題），通過泛函極值推導(dǎo)方程；加權(quán)殘值法則直接處理微分方程的殘值，通過選擇權(quán)函數(shù)使殘值的加權(quán)積分為零，不依賴能量泛函的存在（如非自伴問題無法用變分法時，可用伽遼金法等加權(quán)殘值法）。2.說明線性三角形單元（3節(jié)點）和雙線性四邊形單元（4節(jié)點）在位移場插值中的差異，并比較其精度特性。答案：差異：線性三角形單元的位移場為線性多項式（u=ax+by+c,v=dx+ey+f），在單元內(nèi)呈線性變化；雙線性四邊形單元的位移場為雙線性多項式（u=a+bx+cy+dxy,v=e+fx+gy+hxy），包含交叉項xy，在兩個方向上分別線性。精度特性：雙線性四邊形單元因包含更多高階項，對彎曲變形的描述更準(zhǔn)確，單元內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力為常數(shù)（三角形單元）或線性變化（四邊形單元），因此四邊形單元在相同節(jié)點數(shù)下精度更高，尤其在模擬曲面邊界或非均勻變形時；三角形單元對復(fù)雜幾何的適應(yīng)性更好，但需更密的網(wǎng)格以達(dá)到相同精度。3.解釋“單元剛度矩陣”的物理意義，并說明其主要性質(zhì)（至少列出3條）。答案：物理意義：單元剛度矩陣K^e表示單元節(jié)點位移向量u^e與節(jié)點力向量f^e之間的線性關(guān)系（f^e=K^eu^e），反映單元抵抗變形的能力。主要性質(zhì)：①對稱性（由應(yīng)變能的互等性，K^e=K^e^T）；②奇異性（單元可發(fā)生剛體位移，秩不足，需施加邊界條件消除）；③分塊性（節(jié)點i的剛度系數(shù)K_ij表示節(jié)點j產(chǎn)生單位位移時節(jié)點i的反力）；④正定性（在約束剛體位移后，矩陣正定）。4.有限元分析中為何需要進(jìn)行網(wǎng)格劃分的“加密”或“自適應(yīng)”調(diào)整？舉例說明其應(yīng)用場景。答案：原因：有限元解的精度與網(wǎng)格密度直接相關(guān)，粗網(wǎng)格可能導(dǎo)致應(yīng)變/應(yīng)力計算誤差過大（如應(yīng)力集中區(qū)域），或無法捕捉梯度變化劇烈的場變量（如裂紋尖端、邊界層）。自適應(yīng)調(diào)整通過誤差估計（如能量范數(shù)誤差、應(yīng)力梯度）自動優(yōu)化網(wǎng)格，在誤差大的區(qū)域加密，提高效率。應(yīng)用場景：①結(jié)構(gòu)應(yīng)力集中區(qū)域（如圓孔、缺口附近）；②熱傳導(dǎo)問題中的高溫梯度區(qū)（如冷卻通道邊緣）；③接觸問題的接觸界面；④斷裂力學(xué)中的裂紋尖端（需采用奇異單元或加密網(wǎng)格）。四、計算題（共25分）1.（10分）考慮一維桿的軸向拉伸問題，桿長L=2m，彈性模量E=200GPa，橫截面面積A=0.01m2。采用兩個二節(jié)點桿單元離散（節(jié)點123，節(jié)點間距均為1m），試推導(dǎo)整體剛度矩陣K，并說明其奇異性的原因及消除方法。解：（1）單元1（節(jié)點12）：局部坐標(biāo)ξ∈[1,1]，長度l=1m。形函數(shù)N?=(1ξ)/2，N?=(1+ξ)/2；應(yīng)變ε=du/dx=d(N?u?+N?u?)/dx=(u?u?)/l（因dx=ldξ/2，故d/dx=2/ld/dξ）；應(yīng)力σ=Eε=E(u?u?)/l；單元剛度矩陣K^e?=∫?^lAσ(dN_i/dx)dx=AE∫?^l(dN?/dxdN?/dxdN?/dxdN?/dxdN?/dxdN?/dxdN?/dxdN?/dx)dx計算dN?/dx=1/(2(l/2))=1/l（因dx=ldξ/2，d/dx=2/(l)d/dξ，dN?/dξ=1/2，故dN?/dx=(1/2)(2/l)=1/l），同理dN?/dx=1/l。積分結(jié)果：∫?^l(1/l2)dx=l(1/l2)=1/l。故K^e?=(AE/l)[11;11]=(0.01200e9/1)[11;11]=2e9[11;11]。（2）單元2（節(jié)點23）：同理，K^e?=2e9[11;11]。（3）整體剛度矩陣集成：節(jié)點1對應(yīng)自由度1，節(jié)點2對應(yīng)自由度2，節(jié)點3對應(yīng)自由度3。K=[K^e?(1,1)K^e?(1,2)0;K^e?(2,1)K^e?(2,2)+K^e?(1,1)K^e?(1,2);0K^e?(2,1)K^e?(2,2)]代入數(shù)值得：K=2e9[110;121;011]（4）奇異性原因：整體剛度矩陣未考慮邊界條件，桿可發(fā)生剛體位移（如所有節(jié)點位移u?=u?=u?=常數(shù)），導(dǎo)致矩陣行列式為零，秩不足3（實際秩為2）。消除方法：施加本質(zhì)邊界條件（如固定節(jié)點1，u?=0），此時剛度矩陣的第一行和第一列僅保留對角線元素，其余位置置零（或采用縮聚法），得到降階的正定矩陣。2.（15分）二維四節(jié)點矩形單元（局部坐標(biāo)(ξ,η)∈[1,1]×[1,1]），節(jié)點坐標(biāo)依次為(1,1),(3,1),(3,3),(1,3)（全局坐標(biāo)(x,y)）。試：（1）推導(dǎo)該單元的形函數(shù)N_i(ξ,η)（i=1,2,3,4）；（2）計算雅可比矩陣J及行列式|J|；（3）若單元內(nèi)某點的應(yīng)變ε=[ε_xx,ε_yy,γ_xy]^T=[0.001,0.002,0.003]^T，彈性矩陣D=E/(1ν2)[1ν0;ν10;00(1ν)/2]（平面應(yīng)力），求該點的應(yīng)力σ。解：（1）四節(jié)點矩形單元的形函數(shù)為雙線性形式，局部坐標(biāo)(ξ,η)，節(jié)點1(ξ=1,η=1)，節(jié)點2(ξ=1,η=1)，節(jié)點3(ξ=1,η=1)，節(jié)點4(ξ=1,η=1)。形函數(shù)公式：N_i=(1+ξ_iξ)(1+η_iη)/4，其中(ξ_i,η_i)為節(jié)點i的局部坐標(biāo)。故：N?=(1ξ)(1η)/4；N?=(1+ξ)(1η)/4；N?=(1+ξ)(1+η)/4；N?=(1ξ)(1+η)/4。（2）全局坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的關(guān)系：x=∑N_ix_i，y=∑N_iy_i。代入節(jié)點坐標(biāo)：x=(1ξ)(1η)/41+(1+ξ)(1η)/43+(1+ξ)(1+η)/43+(1ξ)(1+η)/41展開計算：x=[(1ξ)(1η)+3(1+ξ)(1η)+3(1+ξ)(1+η)+(1ξ)(1+η)]/4=[(1ηξ+ξη)+3(1η+ξξη)+3(1+η+ξ+ξη)+(1+ηξξη)]/4=[1ηξ+ξη+33η+3ξ3ξη+3+3η+3ξ+3ξη+1+ηξξη]/4=[8+4ξ]/4=2+ξ同理，y=∑N_iy_i=2+η（計算過程類似，y_i分別為1,1,3,3，代入后化簡得y=2+η）。雅可比矩陣J=?(x,y)/?(ξ,η)=[?x/?ξ?x/?η;?y/?ξ?y/?η]=[10;01]（因x=2+ξ→?x/?ξ=1，?x/?η=0；y=2+η→?y/?ξ=0，?y/?η=1）。行列式|J|=1100=1。（3）平面應(yīng)力問題中，應(yīng)力σ=Dε，代入D和ε：σ_xx=E/(1ν2)(ε_xx+νε_yy)=E/(1ν2)(0.001+ν0.002)σ_yy=E/(1ν2)(νε_xx+ε_yy)=E/(1ν2)(ν0.001+0.002)σ_xy=E/(1ν2)((1ν)/2γ_xy)=E/(1ν2)((1ν)/20.003)=E0.003/(2(1+ν))五、綜合題（8分）某簡支梁受均布載荷q作用（跨度L，截面慣性矩I，彈性模量E），采用有限元法分析其撓度分布。要求：（1）簡述建模步驟（單元選擇、網(wǎng)格劃分、載荷處理、邊界條件施加）；（2）說明為何采用梁單元（如歐拉伯努利梁單元）比平面單元更高效；（3）若計算得到跨中撓度u=qL?/(768EI)，而理論解為u=5qL?/(384EI)，分析可能的誤差來源。答案：（1）建模步驟：①單元選擇：采用歐拉伯努利梁單元（2節(jié)點，每個節(jié)點有撓度w和轉(zhuǎn)角θ兩個自由度），或鐵木辛柯梁單元（考慮剪切變形）；②網(wǎng)格劃分：根據(jù)梁的長度L，均勻劃分n個單元（如n=10），節(jié)點間距h=L/n，確保單元長度h遠(yuǎn)小于梁高（滿足梁理論假設(shè)）；③載荷處理：均布載荷q轉(zhuǎn)化為單元節(jié)點力，通過形函數(shù)積分計算等效節(jié)點載荷（如每個單元的節(jié)點力為qL/2（剪力）和qL2/12（彎矩））；④邊界條件施加：簡支端（左、右端）施加w=0，轉(zhuǎn)角θ自由（彎矩為零）。（2）高效性原因：梁單元通過引入梁理論（如平截面假設(shè)）將二維/三維問題降維為一維，每個節(jié)點僅需2個自由度（撓度和轉(zhuǎn)角），而平面單元（如四節(jié)點四邊形單元）需每個節(jié)點2個位移自由度（u,v），且需劃分二維網(wǎng)格。梁單元的總自由度和計算量遠(yuǎn)小于平面單元，尤其在長細(xì)比大的梁結(jié)構(gòu)中，梁理論能準(zhǔn)確描述變形，無需二維細(xì)節(jié)。（3）誤差來源：①單元類型選擇不當(dāng)：若采用線性梁單元（位移場為二次多項式），其撓度解為三次多項式，而均布載荷下梁的理論解為四次多項式，線性單元無法精確表示，導(dǎo)致誤差；②網(wǎng)格過粗：若僅劃分1個單元（