第28頁（共28頁）2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《概率初步》一．選擇題（共10小題）1．（2025春?寶豐縣期中）若n為整數(shù)，關(guān)于代數(shù)式（3n+3）（2n+2）﹣6的值，下列說法屬于隨機事件的是（）A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除2．（2025春?織金縣期中）下列成語所描述的事件中，是必然事件的是（）A．水中撈月 B．旭日東升 C．一步登天 D．守株待兔3．（2025?沈陽一模）某展覽大廳有2個入口和2個出口，其示意圖如圖所示，參觀者可從任意一個入口進入，參觀結(jié)束后可從任意一個出口離開，小明從入口1進入并從出口A離開的概率是（）A．12 B．13 C．14 4．（2025春?沈陽期中）下列事件是必然事件的是（）A．拋擲一枚硬幣，四次中有兩次正面朝上 B．射擊運動員射擊一次，命中十環(huán) C．打開電視頻道，正在播放足球賽 D．若a是有理數(shù)，則|a|≥05．（2025?西豐縣校級二模）小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點投籃練習(xí)，用頻率估計他投中的概率為0.3，下列說法正確的是（）A．小星定點投籃1次，不一定能投中 B．小星定點投籃1次，一定可以投中 C．小星定點投籃10次，一定投中3次 D．小星定點投籃3次，一定投中1次6．（2025?天心區(qū)校級模擬）酸溶液和堿溶液混合會發(fā)生中和反應(yīng)，現(xiàn)有4瓶溶液標簽缺失，已知其分別為HCl（鹽酸），H2SO4（硫酸），NaOH（鈉堿），KOH（鉀堿），若從中任取2瓶混合，則會發(fā)生中和反應(yīng)的概率為（）A．12 B．13 C．16 7．（2025?鞍山模擬）在聯(lián)歡晚會上，有A、B、C三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢迷凇鰽BC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊上高的交點 D．三條垂直平分線的交點8．（2025?烏當區(qū)二模）商場舉行摸獎促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為0.1”．下列說法正確的是（）A．抽10次獎必有一次抽到一等獎 B．抽一次不可能抽到一等獎 C．抽10次也可能沒有抽到一等獎 D．抽了9次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎9．（2024秋?迪慶州期末）下列事件是必然事件的是（）A．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 B．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180° C．小明和小紅玩“石頭剪刀布”的游戲，小紅每次都贏小明 D．打開電視機，正在播放動畫片10．（2025?東臺市一模）如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被等分成6個扇形區(qū)域，并涂上了相應(yīng)的顏色，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向黃色區(qū)域的概率是（）A．16 B．13 C．12 二．填空題（共5小題）11．（2025春?重慶期中）現(xiàn)有外觀完全相同的4張刮刮卡，其中“表揚卡”2張，“加分卡”1張，“零食卡”1張，小育從中隨機抽取兩張刮開，則小育抽到一張是“表揚卡”和一張是“加分卡”的概率是．12．（2025?廈門模擬）在一個不透明的布袋中裝有4個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小紅隨機摸一個球，摸到白球的概率為13，則布袋中黑球的個數(shù)為13．（2025?新疆三模）隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個，能夠讓燈泡發(fā)亮的概率為．14．（2025?南安市模擬）化學(xué)實驗課上，張老師帶來了Mg（鎂）、Al（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬，這四種金屬分別用四個相同的不透明容器裝著，讓同學(xué)們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來制取氫氣．（根據(jù)金屬活動順序可知：Mg、AI、Zn可以置換出氫氣，而Cu不能置換出氫氣）小明和小紅分別從四種金屬中隨機選一種金屬進行實驗，則二人所選金屬均能置換出氫氣的概率是．15．（2025?南山區(qū)模擬）2024年農(nóng)業(yè)主導(dǎo)品種主推技術(shù)發(fā)布，山西的谷子品種“晉谷21號”上榜．為了進一步驗證該種子的性能，某生物興趣小組的同學(xué)在相同實驗條件下，對其發(fā)芽率進行了研究，并得到了以下部分數(shù)據(jù)：種子數(shù)307515020040080012002500發(fā)芽數(shù)286914119238877811672435發(fā)芽頻率0.9330.9200.9400.9600.9700.9730.9730.974根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計這種糧食種子在該實驗條件下發(fā)芽的概率是．（結(jié)果精確到0.01）三．解答題（共5小題）16．（2025?威遠縣校級模擬）某校為了解班級學(xué)生參加課后服務(wù)的學(xué)習(xí)效果，李老師對本班部分學(xué)生進行了為期一個月的追蹤調(diào)查，他將調(diào)查結(jié)果分為四類：A：很好；B：較好；C：一般；D：不達標，并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題：（1）此次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人；扇形統(tǒng)計圖中“不達標”對應(yīng)的圓心角度數(shù)是°；（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）為了共同進步，李老師準備從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機抽取一位同學(xué)進行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．17．（2025春?高新區(qū)校級期中）垃圾分類是建設(shè)生態(tài)文明的重要舉措，為提高大家對垃圾分類的認識，某校學(xué)生會組織學(xué)生到社區(qū)服務(wù)，因名額有限，小明和小亮只能去一人，小紅提出一個方法：從正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8張卡片（卡片除所印數(shù)字不同，其他均相同）中任取一張，抽到所印數(shù)字比4大的卡片，小明去；否則，小亮去．（1）求抽到印有4的卡片的概率；（2）你認為這個規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請說明理由并修改規(guī)則，使其對雙方都公平．18．（2024秋?萬全區(qū)期末）“記錄永恒經(jīng)典，傳承非遺文化”，嘉嘉組織并拍攝了4部萬全區(qū)非遺傳承短視頻，并利用自媒體平臺展示和傳播，記錄內(nèi)容分別為A﹣舊堡戲裝，B﹣龍池屯打棍，C﹣洗馬林麻葉制作技藝，D﹣高廟堡缸坊酒釀造技藝．為保證視頻質(zhì)量，嘉嘉邀請淇淇從4部作品中隨機選擇兩部試看，并上傳到自媒體平臺．（1）淇淇選中“蔚縣剪紙”非遺視頻觀看是事件．（填“不可能”“隨機”或“必然”）（2）補全下列表格，并求出淇淇選擇“A﹣舊堡戲裝”和“C﹣洗馬林麻葉制作技藝”兩個短視頻觀看的概率．19．（2024秋?寶應(yīng)縣期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5996b295480601摸到白球的頻率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝，b＝；（2）“摸到白球的”的概率的估計值是（精確到0.1）；（3）如果袋中有12個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的球？20．（2024秋?安順期末）某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識競賽．該校從學(xué)生成績都不低于80分的八（1）班和八（3）班中，各隨機抽取了20名學(xué)生成績進行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖及分析表．【收集數(shù)據(jù)】八（1）班20名學(xué)生成績：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95．八（3）班20名學(xué)生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述數(shù)據(jù)】八年級（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計表分數(shù)80859095100人數(shù)32ab2【分析數(shù)據(jù)】八（1）班和八（3）班20名學(xué)生成績分析表平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差八（1）班91n9536.5八（3）班9190p26.5【應(yīng)用數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，回答下列問題．（1）請補全條形統(tǒng)計圖，并求出n＝，p＝；（2）請結(jié)合數(shù)據(jù)分析，哪個班級的成績更好一些？（3）從上面4名得100分的學(xué)生中，隨機抽取2名學(xué)生參加市級知識競賽．請用列表法或畫樹狀圖法求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個班級的概率．

2025年暑期新高一數(shù)學(xué)人教新版學(xué)困生專題復(fù)習(xí)《概率初步》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ABCDADDCBA一．選擇題（共10小題）1．（2025春?寶豐縣期中）若n為整數(shù)，關(guān)于代數(shù)式（3n+3）（2n+2）﹣6的值，下列說法屬于隨機事件的是（）A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除【考點】隨機事件；多項式乘多項式．【專題】概率及其應(yīng)用；運算能力．【答案】A【分析】根據(jù)多項式乘多項式把原式化簡，再根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．【解答】解：（3n+3）（2n+2）﹣6＝6n2+6n+6n+6﹣6＝6n2+12n＝6（n2+2n），∵n為整數(shù)，∴6（n2+2n）能被6整除，∴代數(shù)式（3n+3）（2n+2）﹣6的值被9整除是隨機事件，被6整除、被3整除、被2整除是必然事件，故選：A．【點評】本題考查的是隨機事件，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．（2025春?織金縣期中）下列成語所描述的事件中，是必然事件的是（）A．水中撈月 B．旭日東升 C．一步登天 D．守株待兔【考點】隨機事件．【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念分別對每一項進行分析，即可得出答案．【解答】解：A、水中撈月是不可能事件，不是必然事件，不符合題意；B、旭日東升是必然事件，符合題意；C、一步登天是不可能事件，不是必然事件，不符合題意；D、守株待兔是隨機事件，不是必然事件，不符合題意，故選：B．【點評】此題考查了隨機事件，熟知必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關(guān)鍵．3．（2025?沈陽一模）某展覽大廳有2個入口和2個出口，其示意圖如圖所示，參觀者可從任意一個入口進入，參觀結(jié)束后可從任意一個出口離開，小明從入口1進入并從出口A離開的概率是（）A．12 B．13 C．14 【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】常規(guī)題型．【答案】C【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出從入口1進入并從出口A離開的情況數(shù)，即可求出所求概率．【解答】解：畫樹狀圖得：所有等可能的情況有4種，其中從入口1進入并從出口A離開的情況有1種，則P=1故選：C．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．（2025春?沈陽期中）下列事件是必然事件的是（）A．拋擲一枚硬幣，四次中有兩次正面朝上 B．射擊運動員射擊一次，命中十環(huán) C．打開電視頻道，正在播放足球賽 D．若a是有理數(shù)，則|a|≥0【考點】隨機事件；絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值．【專題】概率及其應(yīng)用．【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生可能性的大小進行解題即可．【解答】解：A、是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，屬于不確定事件，不符合題意；B、是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，屬于不確定事件，不符合題意；C、是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，屬于不確定事件，不符合題意；D、是必然事件的是：若a是實數(shù)，則|a|≥0，符合題意；故選：D．【點評】本題考查絕對值、必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件．5．（2025?西豐縣校級二模）小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點投籃練習(xí)，用頻率估計他投中的概率為0.3，下列說法正確的是（）A．小星定點投籃1次，不一定能投中 B．小星定點投籃1次，一定可以投中 C．小星定點投籃10次，一定投中3次 D．小星定點投籃3次，一定投中1次【考點】概率的意義；利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生，據(jù)此求解即可．【解答】解：小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點投籃練習(xí)，用頻率估計他投中的概率為0.3，則由概率的意義可知，小星定點投籃1次，不一定能投中，A正確，B錯誤；小星定點投籃10次，不一定投中3次，C錯誤；小星定點投籃3次，不一定投中1次，D錯誤．故選：A．【點評】本題主要考查了概率的意義，利用頻率估計概率，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2025?天心區(qū)校級模擬）酸溶液和堿溶液混合會發(fā)生中和反應(yīng)，現(xiàn)有4瓶溶液標簽缺失，已知其分別為HCl（鹽酸），H2SO4（硫酸），NaOH（鈉堿），KOH（鉀堿），若從中任取2瓶混合，則會發(fā)生中和反應(yīng)的概率為（）A．12 B．13 C．16 【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】統(tǒng)計與概率；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】D【分析】會發(fā)生中和反應(yīng)的有HCl和NaOH，HCl和KOH，H2SO4和NaOH，H2SO4和KOH，列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及會發(fā)生中和反應(yīng)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：酸溶液和堿溶液混合會發(fā)生中和反應(yīng)，現(xiàn)有4瓶溶液標簽缺失，已知其分別為HCl（鹽酸），H2SO4（硫酸），NaOH（鈉堿），KOH（鉀堿），若從中任取2瓶混合，根據(jù)題意可得列表如下：HClH2SO4NaOHKOHHCl（HCl，H2SO4）（HCl，NaOH）（HCl，KOH）H2SO4（H2SO4，HCl）（H2SO4，NaOH）（H2SO4，KOH）NaOH（NaOH，HCl）（NaOH，H2SO4）（NaOH，KOH）KOH（KOH，HCl）（KOH，H2SO4）（KOH，NaOH）共有12種等可能的結(jié)果，其中會發(fā)生中和反應(yīng)的結(jié)果有8種，所以會發(fā)生中和反應(yīng)的概率為23故選：D．【點評】本題主要考查概率，熟練掌握概率的求法是解題的關(guān)鍵．7．（2025?鞍山模擬）在聯(lián)歡晚會上，有A、B、C三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢迷凇鰽BC的（）A．三邊中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊上高的交點 D．三條垂直平分線的交點【考點】游戲公平性；三角形的角平分線、中線和高；線段垂直平分線的性質(zhì)；概率公式．【專題】幾何圖形；應(yīng)用意識．【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等即可得解．【解答】解：由題意可得：要使游戲公平，那么凳子到三個人的距離相等才行，∴凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的三邊垂直平分線的交點．故選：D．【點評】本題考線段垂直平分線的性質(zhì)，正確理解游戲的公平性是解題的關(guān)鍵．8．（2025?烏當區(qū)二模）商場舉行摸獎促銷活動，對于“抽到一等獎的概率為0.1”．下列說法正確的是（）A．抽10次獎必有一次抽到一等獎 B．抽一次不可能抽到一等獎 C．抽10次也可能沒有抽到一等獎 D．抽了9次如果沒有抽到一等獎，那么再抽一次肯定抽到一等獎【考點】概率的意義．【答案】C【分析】根據(jù)概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)進行解答即可．【解答】解：根據(jù)概率的意義可得“抽到一等獎的概率為0.1”就是說抽10次可能抽到一等獎，也可能沒有抽到一等獎，故選：C．【點評】此題主要考查了概率的意義，概率是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)．9．（2024秋?迪慶州期末）下列事件是必然事件的是（）A．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 B．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180° C．小明和小紅玩“石頭剪刀布”的游戲，小紅每次都贏小明 D．打開電視機，正在播放動畫片【考點】隨機事件；三角形內(nèi)角和定理．【專題】概率及其應(yīng)用；三角形．【答案】B【分析】必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，不符合題意；B．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°是必然事件，符合題意；C．小明和小紅玩“石頭剪刀布”的游戲，小紅每次都贏小明是隨機事件，不符合題意；D．打開電視機，正在播放動畫片是隨機事件，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．熟練掌握必然事件、不可能事件、隨機事件的概念是解題的關(guān)鍵．10．（2025?東臺市一模）如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被等分成6個扇形區(qū)域，并涂上了相應(yīng)的顏色，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向黃色區(qū)域的概率是（）A．16 B．13 C．12 【考點】幾何概率．【專題】計算題．【答案】A【分析】由于轉(zhuǎn)盤被等分成6個扇形區(qū)域，則轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的區(qū)域有6種等可能的結(jié)果，而黃色區(qū)域占其中的一個，根據(jù)概率的概念計算即可．【解答】解：∵轉(zhuǎn)盤被等分成6個扇形區(qū)域，而黃色區(qū)域占其中的一個，∴指針指向黃色區(qū)域的概率=1故選：A．【點評】本題考查了幾何概率的計算方法：先計算出整個圖形的面積n，再計算出某事件所占有的面積m，然后通過P=m二．填空題（共5小題）11．（2025春?重慶期中）現(xiàn)有外觀完全相同的4張刮刮卡，其中“表揚卡”2張，“加分卡”1張，“零食卡”1張，小育從中隨機抽取兩張刮開，則小育抽到一張是“表揚卡”和一張是“加分卡”的概率是13【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】13【分析】先列表展示所有等可能的結(jié)果，再找出小育抽到一張是“表揚卡”和一張是“加分卡”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算概率即可．【解答】解：列表如下：第一張第二張表揚卡1表揚卡2加分卡零食卡表揚卡1表揚卡1表揚卡2表揚卡1加分卡表揚卡1零食卡表揚卡2表揚卡2表揚卡1表揚卡2加分卡表揚卡2零食卡加分卡加分卡表揚卡1加分卡表揚卡2加分卡零食卡零食卡零食卡表揚卡1零食卡表揚卡2零食卡加分卡由表格可知：小育抽到一張是“表揚卡”和一張是“加分卡”的概率=4故答案為：13【點評】本題主要考查了列表法或樹狀圖法求概率，根據(jù)概率公式計算概率等知識點，熟練掌握列表法或樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．12．（2025?廈門模擬）在一個不透明的布袋中裝有4個白球和若干個黑球，除顏色外其他都相同，小紅隨機摸一個球，摸到白球的概率為13，則布袋中黑球的個數(shù)為8【考點】概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用；運算能力．【答案】8．【分析】設(shè)黑球的個數(shù)為x，則根據(jù)題意列出關(guān)于x的分式方程，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)黑球的個數(shù)為x，則根據(jù)題意可得：摸到白球的概率為44+解得x＝8，經(jīng)經(jīng)驗，x＝8是原方程的解，∴黑球個數(shù)為8，故答案為：8．【點評】本題主要考查已知概率求數(shù)量，以及分式方程的實際應(yīng)用，能夠根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．13．（2025?新疆三模）隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個，能夠讓燈泡發(fā)亮的概率為23【考點】列表法與樹狀圖法．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與隨機閉合開關(guān)中的兩個，能夠讓燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能夠讓燈泡發(fā)光的有4種情況，∴隨機閉合開關(guān)中的兩個，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為：46故答案為：23【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．（2025?南安市模擬）化學(xué)實驗課上，張老師帶來了Mg（鎂）、Al（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬，這四種金屬分別用四個相同的不透明容器裝著，讓同學(xué)們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來制取氫氣．（根據(jù)金屬活動順序可知：Mg、AI、Zn可以置換出氫氣，而Cu不能置換出氫氣）小明和小紅分別從四種金屬中隨機選一種金屬進行實驗，則二人所選金屬均能置換出氫氣的概率是916【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】916【分析】利用畫樹狀圖法解答即可．【解答】解：設(shè)Mg用A表示、AI用B表示、Zn用C表示，Cu用D表示，根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：由圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中二人所選金屬均能置換出氫氣的有9種，∴二人所選金屬均能置換出氫氣的概率是916故答案為916【點評】本題考查了事件，樹狀圖法求概率，熟練掌握畫樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．15．（2025?南山區(qū)模擬）2024年農(nóng)業(yè)主導(dǎo)品種主推技術(shù)發(fā)布，山西的谷子品種“晉谷21號”上榜．為了進一步驗證該種子的性能，某生物興趣小組的同學(xué)在相同實驗條件下，對其發(fā)芽率進行了研究，并得到了以下部分數(shù)據(jù)：種子數(shù)307515020040080012002500發(fā)芽數(shù)286914119238877811672435發(fā)芽頻率0.9330.9200.9400.9600.9700.9730.9730.974根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計這種糧食種子在該實驗條件下發(fā)芽的概率是0.97．（結(jié)果精確到0.01）【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用頻率估計概率求解即可．【解答】解：由題意知，估計這種糧食種子在該實驗條件下發(fā)芽的概率是0.97，故答案為：0.97．【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．三．解答題（共5小題）16．（2025?威遠縣校級模擬）某校為了解班級學(xué)生參加課后服務(wù)的學(xué)習(xí)效果，李老師對本班部分學(xué)生進行了為期一個月的追蹤調(diào)查，他將調(diào)查結(jié)果分為四類：A：很好；B：較好；C：一般；D：不達標，并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題：（1）此次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為20人；扇形統(tǒng)計圖中“不達標”對應(yīng)的圓心角度數(shù)是36°；（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）為了共同進步，李老師準備從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機抽取一位同學(xué)進行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）20；36；（2）見解析；（3）見解析，12【分析】（1）由條形統(tǒng)計圖中B類學(xué)生數(shù)及扇形統(tǒng)計圖中B類學(xué)生的百分比即可求得參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)；由扇形統(tǒng)計圖可求得不達標的學(xué)生所占的百分比，它與360°的積即為所求的結(jié)果；（2）根據(jù)兩種統(tǒng)計圖及（1）中所求得的總?cè)藬?shù)，可分別求得C類、D類學(xué)生的人數(shù)，從而可求得這兩類中未知的學(xué)生數(shù)，從而可補充完整條形統(tǒng)計圖；（3）畫樹狀圖即可求得所有可能的結(jié)果數(shù)及所選兩位同學(xué)恰好是一位男生和一位女生的結(jié)果數(shù)，從而可求得概率．【解答】解：（1）由題意得：B類學(xué)生共有6+4＝10（人），B類學(xué)生所占的百分比為50%，則參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：10÷50%＝20（人），D類學(xué)生所占的百分比為：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，則扇形統(tǒng)計圖中“不達標”對應(yīng)的圓心角度數(shù)是：360°×10%＝36°，故答案為：20；36；（2）C等級的人數(shù)有：20×25%＝5（人），C等級的女生人數(shù)有：5﹣2＝3（人），D等級的男生人數(shù)有：20﹣（1+2+6+4+5+1）＝1（人），補全統(tǒng)計圖如下：（3）從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機抽取一位同學(xué)進行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，作樹狀圖如下：從樹狀圖可知，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，所選兩位同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果共有3種．所以P（所選兩位同學(xué)恰好是一位男生和一位女生)=3【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法，扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，概率公式，解答本題的關(guān)鍵是讀懂兩個統(tǒng)計圖并能從圖中獲取信息．17．（2025春?高新區(qū)校級期中）垃圾分類是建設(shè)生態(tài)文明的重要舉措，為提高大家對垃圾分類的認識，某校學(xué)生會組織學(xué)生到社區(qū)服務(wù)，因名額有限，小明和小亮只能去一人，小紅提出一個方法：從正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8張卡片（卡片除所印數(shù)字不同，其他均相同）中任取一張，抽到所印數(shù)字比4大的卡片，小明去；否則，小亮去．（1）求抽到印有4的卡片的概率；（2）你認為這個規(guī)則公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請說明理由并修改規(guī)則，使其對雙方都公平．【考點】游戲公平性；概率公式．【專題】概率及其應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)概率公式求解，即可得到答案；（2）分別求出小明去和小亮去的概率，比較大小可得方法不公平，再修改出公平的規(guī)則即可．【解答】解：（1）因為8張卡片中，有2張是印有4的，所以P（抽到印有4的卡片）=2（2）不公平．理由：根據(jù)題意，得P（小明去）=38，P（小亮去）因為38修改規(guī)則如下：從印有1，2，3，4，4，5，6，7的8張卡片中任取一張，抽到所印數(shù)字比4大的卡片，小明去；抽到所印數(shù)字比4小的卡片，小亮去；抽到印有4的卡片重新抽．（答案不唯一）【點評】本題考查了概率公式，游戲公平性的判斷，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2024秋?萬全區(qū)期末）“記錄永恒經(jīng)典，傳承非遺文化”，嘉嘉組織并拍攝了4部萬全區(qū)非遺傳承短視頻，并利用自媒體平臺展示和傳播，記錄內(nèi)容分別為A﹣舊堡戲裝，B﹣龍池屯打棍，C﹣洗馬林麻葉制作技藝，D﹣高廟堡缸坊酒釀造技藝．為保證視頻質(zhì)量，嘉嘉邀請淇淇從4部作品中隨機選擇兩部試看，并上傳到自媒體平臺．（1）淇淇選中“蔚縣剪紙”非遺視頻觀看是不可能事件．（填“不可能”“隨機”或“必然”）（2）補全下列表格，并求出淇淇選擇“A﹣舊堡戲裝”和“C﹣洗馬林麻葉制作技藝”兩個短視頻觀看的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；隨機事件；概率公式．【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用．【答案】（1）不可能；（2）表格見解析，16【分析】（1）根據(jù)事件的分類解答即可；（2）先列出表格得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到選擇A和C的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【解答】解：（1）∵四個視頻中沒有“蔚縣剪紙”，∴淇淇選中“蔚縣剪紙”非遺視頻觀看是不可能事件．故答案為：不可能；（2）補全表格如下：ABCDABACADABABCBDBCACBCDCDADBDCD由表格可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中符合條件的結(jié)果有2種，所以淇淇選擇“A﹣舊堡戲裝”和“C﹣洗馬林麻葉制作技藝”兩個短視頻觀看的概率P=【點評】本題考查了事件的分類，樹狀圖法或列表法求解概率，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．19．（2024秋?寶應(yīng)縣期末）在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5996b295480601摸到白球的頻率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝0.59，b＝116；（2）“摸到白球的”的概率的估計值是0.6（精確到0.1）；（3）如果袋中有12個白球，那么袋中除了白球外，還有多少個其它顏色的球？【考點】利用頻率估計概率．【專題】概率及其應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用頻率＝頻數(shù)÷樣本容量直接求解即可；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，當n很大時，摸到白球的頻率接近0.6；（3）根據(jù)利用頻率估計概率，可估計摸到白球的概率為0.6，然后利用概率公式計算其他顏色的球的個數(shù)．【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．故答案為：0.59，116（2）“摸到白球的”的概率的估計值是0.6；故答案為：0.6（3）12÷0.6﹣12＝8（個）．答：除白球外，還有大約8個其它顏色的小球；【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．20．（2024秋?安順期末）某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識競賽．該校從學(xué)生成績都不低于80分的八（1）班和八（3）班中，各隨機抽取了20名學(xué)生成績進行整理，繪制了不完整的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖及分析表．【收集數(shù)據(jù)】八（1）班20名學(xué)生成績：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95．八（3）班20名學(xué)生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述數(shù)據(jù)】八年級（1）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計表分數(shù)80859095100人數(shù)32ab2【分析數(shù)據(jù)】八（1）班和八（3）班20名學(xué)生成績分析表平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差八（1）班91n9536.5八（3）班9190p26.5【應(yīng)用數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，回答下列問題．（1）請補全條形統(tǒng)計圖，并求出n＝92.5，p＝90；（2）請結(jié)合數(shù)據(jù)分析，哪個班級的成績更好一些？（3）從上面4名得100分的學(xué)生中，隨機抽取2名學(xué)生參加市級知識競賽．請用列表法或畫樹狀圖法求所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個班級的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；中位數(shù)；眾數(shù)；方差．【專題】概率及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）見解析，92.5；90；（2）八（1）班，見解析；（3）13【分析】（1）由八年級（3）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，即可補全條形統(tǒng)計圖，再由中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分析即可得解；（3）列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【解答】解：（1）由八年級（3）班20名學(xué)生成績統(tǒng)計可得90分學(xué)生有7人，95分學(xué)生有6人，補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：（1）數(shù)據(jù)排列：80，80，80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，95，100，100，故中位數(shù)n=由八（3）班20名學(xué)生成績可得90出現(xiàn)的次數(shù)最多，故p＝90，故答案為：92.5，90；（2）八年級（1）班和（3）班的平均成績相同，但八年級（1）班的中位數(shù)和眾數(shù)都比（3）班高，即八年級（1）班高分段人數(shù)較多．因此（1）班成績較好．（3）設(shè)八年級（1）班的兩名100分的學(xué)生用A、B表示．八年級（3）班的兩名100分的學(xué)生用X、Y表示，則隨機抽兩名學(xué)生的所有情況列表如下：（1）班（3）班ABXYAABAXAYBBABXBYXXAXBXYYYAYBYX由表格數(shù)據(jù)可知：一共有12種等可能的結(jié)果，其中兩名同學(xué)在同一個班級的有AB、BA、XY、YX共4種，∴P（所抽取的2名學(xué)生恰好在同一個班級）=4【點評】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)、條形統(tǒng)計圖、列表法或畫樹狀圖求概率，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．

考點卡片1．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．3．多項式乘多項式（1）多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）運用法則時應(yīng)注意以下兩點：①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積．4．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．5．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．6．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．7．扇形統(tǒng)計圖（1）扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分數(shù)量占總數(shù)的百分數(shù)．通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．用整個圓的面積表示總數(shù)（單位1），用圓的扇形面積表示各部分占總數(shù)的百分數(shù)．（2）扇形圖的特點：從扇形圖上可以清楚地看出各部分數(shù)量和總數(shù)量之間的關(guān)系．（3）制作扇形圖的步驟①根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)先算出各部分在總體中所占的百分數(shù)，再算出各部分圓心角的度數(shù)，公式是各部分扇形圓心角的度數(shù)＝部分占總體的百分比×360°．②按比例取適當半徑畫一個圓；按扇形圓心角的度數(shù)用量角器在圓內(nèi)量出各個扇形的圓心角的度數(shù)；④在各扇形內(nèi)寫上相應(yīng)的名稱及百分數(shù)，并用不同的標記把各扇形區(qū)分開來．8．條形統(tǒng)計圖（1）定義：條形統(tǒng)計圖是用線段長度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來．（2）特點：從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較．（3）制作條形圖的一般步驟：①根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線．②在水平射線上，適當分配條形的位置，確定直條的寬度和間隔．③在與水平射線垂直的射線上，根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少．④按照數(shù)據(jù)大小，畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量．9．中位數(shù)（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．（2）中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點”，不易受極端值影響，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息．（3）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的移動對中位數(shù)沒有影響，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中也可能不在所給的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其趨勢．10．眾數(shù)（1）一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．（2）求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù)．（3）眾數(shù)不易受數(shù)據(jù)中極端值的影響．眾數(shù)也是數(shù)據(jù)的一種代表數(shù)，反映了一組數(shù)據(jù)的集中程度，眾數(shù)可作為描述一組數(shù)據(jù)集中