專題01任意角的三角函數(shù)和弧度制

（-）弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用

例I.如圖是一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)為4R,則這個(gè)扇形所含弓形（陰影區(qū)域）的面積是（）

2

4.；(2-sMlcosl)/?2B.^RsinlcoslC.D(1-sElcosl)解

/2/?

【解析】l=^R-2R=2R,a=-=—=2

RR

111

S房形=-IR=-x2/?x/?=”75=角形=-x2RsinlxRcosl=sinl?cosl-R7，

S弓"=S扁形?S三柏形=R2-si〃1?cos1?R2,選。

練習(xí)1.下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

7T

A.終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（Q,Q）（a工0）的角的集合是{a|a=-+kn,kGZ）

B.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)是:

C.若。是第三象限角，則:是第二象限角，2a為第一或第二象限角

D.M={x|x=45°+/c-90°tke7.},N={y|y=90°+k?45°,kwZ},則“？'

itCL）」

【脩析】因?yàn)閍為第三象限角，g|J2/cn-+n<a<2kn+37r所以，kn+^-<^-<kn+3

2224

當(dāng)2為奇數(shù)時(shí)它是第四象限，當(dāng)4為偶數(shù)時(shí)它是第二象限的角.4E+27r<2a<4k7r+37rj￡Z.

所以2a的終邊的位置是第一或第二象限，y的非正半軸.選C

練習(xí)2.圓。與直線，相切于點(diǎn)A點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)力出發(fā)，P沿著直線，向右、Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)力時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，連接OQ,0P（如圖），則陰影部分面積與，S2的大小關(guān)系是（）

A.§1=52B.S[&S?

C.S]>S2[）,先S]<S2,再S]=S2,最后S]>S2

【解析】如圖所示，因?yàn)橹本€/與圓0相切，所以。力，?!化

所以扇形的面積為S扇開(kāi)為0Q=]?魂?r=]?4?,OA,S^Qp=OA-AP,

因?yàn)橄?力0，所以扇形AOQ的面積S扇彩40Q=~S扇形408=SM0P~S扇開(kāi)％0B,所以S[=52,

練習(xí)3.鐘撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)了弧度，時(shí)針轉(zhuǎn)了度.

【解析】將時(shí)鐘撥慢5分鐘，分針、時(shí)針都是按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的角都是正角，這時(shí)，分針轉(zhuǎn)過(guò)的

角度是%=30。，即30X盤=，（弧度），時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是竺=2.5°

練習(xí)4.如圖，單位圓。的圓心初始位置在點(diǎn)（0,1）,圓上一點(diǎn)P的初始位置在原點(diǎn)，圓沿支軸正方向滾

動(dòng).當(dāng)點(diǎn)"第一次滾動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為；當(dāng)圓心Q位于點(diǎn)（3,1）時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【解析】由題意，作輔助圖形，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P第一次滾動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P向右滾動(dòng)了圓的半個(gè)周長(zhǎng)7T,

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為5,2）；當(dāng)圓心Q位于（3,1）時(shí)，此時(shí)圓心角為3,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3-sin（n-3）=3-sin3f

縱坐標(biāo)為1+cos（n-3）=1-cos3,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3-si〃3,l-cos3）.

（二）象限角

例2.已知a是第二象限角，則（）

aa

A.5是第一象限角B.sin->0

C.sin2a>0D.2a是第三或第四象限角

【解析】對(duì)于4，???a是第二象限甬，???1+2/^<。<江+2女兄kwZ,

TTa7ia

：,-+kn<-<-+kn,kwZ,???；是第一象限或第三象限角，故錯(cuò)誤；

4222

對(duì)于由4可知g是第一象限或第三象限角，故錯(cuò)誤；對(duì)于C,??七是第二象限角，

：.n+4kn<2a<2n+4knfkw2,工2a是第三象限或第四象限角,sin2a<0,故錯(cuò)誤;

對(duì)于/）,丁a是第二象限角，4-2kn<a<n+2kn,keZ,/,n+4kn<2a<2n+4kn,kEZ,

???2a是第三象限或第四象限角，故正確；選。

練習(xí)1.已知A=｛第一象限角｝,4二｛銳角｝,。=｛小于90。的角｝,那么A,B,C的關(guān)系是（）

A.B=AC\CB.BuC=C

C.AQBQCD.A=B=C

【解析】｛第一象限角｝二｛/旌360°<a<h360°+90°,kwZ｝;8=｛銳角｝二｛a[0°<a<90°｝：C=｛小于

90。的角｝二｛a|a<90]二⑶JC=｛小于90。的角｝=C即BLC,RBrA,

則B不一定等于ADC,A不一定是C的子集，三集合不一定相等，

由集合間的關(guān)系可得BuC=a故選B.

練習(xí)2.若手絲吧二2,則x的取值范圍是()

+sinxcosx

A.2kir<x<2kn+nB.2kn+n<x<2kn+2n

nnn3TT,,,,

C.2kn—<x<2kn+-D.2kw+—<%<2kzr+(以上kEZ)

/I-sinxsinx-

【解析】*/si/t2x+cos2x=1,KPcos2x=1-sin2x=(1+sinx)(I-sinx),?'?I----------=--------

+sinxcosx

VI"inx)2=曰=吧=.cosx<0,

yl+sinx^(1+sinx)(l-sinx)\cosx\cosx

??」的范圍為TT:+2EVx〈3J7r+2Hawz),選。.

22

（三）三角函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題

a

sin-

例3.若a是第四象限角，則。=—的值為（

aa

sin—cos—

22

A.0B.2C.-2D.2或一2

【解析】?；a是第四象限角，.???2EVaV2兀+2E,kGZ,

.?.二依〈襄兀+E,k￡Z,?,?白是第二或第四象限角，

422

aaaa

sin-cos-sin-cos-

當(dāng):是第二象限角時(shí)，a=----=0.當(dāng):是第四象限角時(shí)，?=--+—=0,選A.

2aa2aa

sin—cos-sin—cos-

2222

練習(xí)1.在A4Z?C中，若>1,那么△?!〃。是()

人銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

【解析】?.?在A4BC中,tanAtanB>1>0,tanA>0,tanB>0,為銳角.

_sinAsinB

又tan/kanB=----------->1,/.cosAcosB<sinAsinB,cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC<0,

cosAcosB

???C為銳角，???A/1BC為銳角三角形，選A.

練習(xí)2.化簡(jiǎn)J1-2sM(L+4)cos(乃+4)等于().

A.cos4-sin4B.sin4-cos4

C.-stn4-cos4D.si〃4+cos4

【解析】原式二^,1-2sin4cos4=^(sin4-cos4)2=\sin4-cos4|,

53

因?yàn)?7r<4V所以cos4>sin4.所以|si〃4-cos4|=cos4-si/14.故選A.

練習(xí)3.化簡(jiǎn)Jl+sE8=()

A.cos4B.si〃4C.sin4+cos4D.-sin4-cos4

【解析】+sin8=X1+2sin4cos4=J(sin4+cos4)2=|s也4+cos4|

3n

乂Ji<4<—,所以si/?4<0,cos4<0,

2

則|sE4+cos4\=-sin4-cos4,選D

2sin4J1-siii23

練習(xí)4.化簡(jiǎn),-^的結(jié)果為（）

71-COS24COS3

4.-3B.-\C.1D.3

【解析】產(chǎn)軍

-COS24COS3

2sinAJCOS23工人2sin4-cos3…

=/+-———因?yàn)閟m#4<0,cos3<0所以原式=———+-----=-2-1=-3,選A

2

Jsin4cos3-szn4cos3

（四）三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化

例4.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式

為：弧田面積=:（弦X矢+矢2）,弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”

等干半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為廣,半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧

田面積約是（V3?1.73）

A.6平方米B.9平方米C,12平方米D.15平方米

【解析】如圖，由題意可得:NA08二一，0A=4,

3

一,一,0nn11

在RdAOD中，可得：ZAOD=-,ZDAO=-,OZ>-^O=-x4=2,

3622

可得：矢=4?2=2,由AZ）=4O?si若=4x史=24,

32

可得：弦=2AD=2x2仔44，所以：弧出面積鳥(niǎo)（弦x矢+矢2）=1（4^x2+22）=44+功平方米.

故答案為：B.

1/C>/Il

練習(xí)1,。王小二一道題：，以215。-,勺值是多少？王小二微笑著告訴王小一:就等于s加卜7T+727rl?cos卜不7T

的值，你認(rèn)為王小二說(shuō)得對(duì)嗎？(對(duì)或不對(duì))

［解析］sinf-zr4-72TT\?cost--=sir197r?cos——

\6)\6)66224

21I,2、1x/3

COS2150--=-(2COS215O_1)=-cos30°=—.

2臥)24

所以說(shuō)得對(duì)，

(五)三角函數(shù)定義的應(yīng)用

例5.已知0為銳角，角a的終邊過(guò)點(diǎn)(3,4),sin(a+4)=妻，則cos/?=()

7^/2「7a

B.V?---

lb-10

3.4

【解析】由角a的終訪過(guò)點(diǎn)(3,4).得cosa=q.sina=

J

sina=g>曰=sin(a+/?).又a+夕>a,所以cos(a+/?)=-

cosp=cos(a+0-a)

=cos(a+P)cosa+sin(a+p)sina="去|+容4故選:D.

練習(xí)1.若點(diǎn)P(si〃a-cosa,tQ7ia)在第一象限，則在［0,2幻內(nèi)a的取值范圍是().

B.(要M喏)

【解析】點(diǎn)P(S由a-cosam?在第一象限，=『黑公°冷，如下圖所示:

在02江)內(nèi)a的取值范圍是的U(點(diǎn))，本題選A

練習(xí)2.,c=logcoslsinlfd=logcosltanlf貝lja,b,c,d的大小關(guān)系為()

A.b<a<d<cB.b<d<a<c

C.d<b<c<aD.b<d<c<a

【解析】*?tan\>1>sinl>cosl>0,a=logsinicosl,b=logsi〃i3?l,c=loga>sisinl,d=loga>$\tan\t

.*.d=logsi,j|COSl>logsiHlSi/?l=I,0<C=loga)slSinI<log<wicosI=1/.?>c>0.

「IgtanlIgtanl

又;gfanl>U>/gsiM>/gcosl,方—logsi"Ma〃l=,—,—<,-logi/?/il-J<0,：.0>d'>b.

IgsiniIgcosln)s

綜上可得：a>c>0>(t>b.,\b<d<c<a,選。

(六)三角函數(shù)中分段函數(shù)

例6.設(shè)函數(shù)U<0)若角a的終邊經(jīng)過(guò)p(4,一3),則"(sEa)]的值為()

1

從C24

2一￡).

【解析】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)P（4,-3）,所以seTvf-3,所以Wf（-#35x（-3/4=1,則

f[/(sina)]=/(I)=21=2,故選C

'sinx,0<x<1g

練習(xí)1..f(%)=cosx,l<x,則=)

tanx,x>I”

'sinx,0<x<1

n則甩二，礙/選

【脩析】根據(jù)題意,fW=cosx,1<x<J2,1L1<-<y/2,

tanxtx>.3

（七）解三角不等式

例7.使不等式媳一2s加K）成立的x的取值集合是（）

,n,3TT,(,n,/yr,

x2kn+-<x<2kn4--,kGZB.lx2kn+-<x<2knH---,keZ

!44[44

,57r,n,1(,5TT,7n,

C.x2kn---<x<2kn+—,kEZD.lx2knH--<x<2knH----,k6Z

4444

【解析】A/2-2si/u>0解得：si心4萬(wàn)

進(jìn)一步利用單位圓解得：選C

練習(xí)1.四個(gè)命題：①集合力=b|相4》￡2根-1},8={刈1式X￡3},若{《￡則m的取值范圍為［1,2］；②函數(shù)

y=3并。93“1-1只有一個(gè)零點(diǎn);③函數(shù)y=cos（x+$的周期為九;④角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x,4）,若cosa=￡則

4

sEa=R.這四個(gè)命題中，正確的命題有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

2m-l>m

【解?析】對(duì)于①，A=0時(shí),即2〃!-當(dāng)A*0時(shí)，2m-143<=>1勺叱2.

zn>1

綜上所述，〃?的取值范圍為（-8,2］；???①不對(duì)；

對(duì)于②，函數(shù)'=31，。93%|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于方程（》=1唯加的解的個(gè)數(shù)，

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=尸與y=|bgMl的圖象，如圖所示：

易判斷其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，所以函數(shù)y=3并。93H-l有兩個(gè)零點(diǎn)，???②不對(duì)：

由『（x+兀）=|c-osCx+n+|=|cos（工+勺|=/（x）,可得函數(shù)y=|cos（x+；）|的周期為兀，故③正確;

JJO

Qx4

對(duì)于④，當(dāng)A-0時(shí)，cosa=0=-=但si〃a=1工『可判④錯(cuò)誤.

555

故選A.

(A)三角函數(shù)定義和弧度制的綜合

例8.某公司擬設(shè)計(jì)?個(gè)扇環(huán)形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后

通過(guò)點(diǎn)。的兩條線段圍成.設(shè)圓弧糜、砂所在圓的半徑分別為門、「2米，圓心角為。(弧度).

27r

(1)若6=石，ri=3,「2=6,求花壇的面積；

(2)根據(jù)公司要求扇環(huán)形狀的花壇面積為32平方米，已知扇環(huán)花壇的直線部分的裝飾費(fèi)用為45元/米，弧

線部分的裝飾費(fèi)用為90元/米，求當(dāng)裝飾費(fèi)用最低時(shí)線段AD的長(zhǎng).

9TT197T

【解析】⑴設(shè)花壇的面積為S,則S:尹。-尹

所以花壇的面積為9兀(w2)

(2)標(biāo)的長(zhǎng)為r6米，廟的長(zhǎng)為9米,線段的長(zhǎng)為(r2-n)米

由題意知S=^r220-|ri20=-^-(ri0+r20)(rz-n)=32,

64

貝I」口。+n0=二，

r2-r1

記「2-門=%，則x>0,裝飾總費(fèi)用為y,

則y=45x2(F2-ri)+90(口0+門0)=90金

x

根據(jù)均值不等式得到當(dāng)下8時(shí)，y有最小值為1440,

故當(dāng)線段AO的長(zhǎng)為8米時(shí)，花壇的裝飾費(fèi)用最小.

練習(xí)1.某小區(qū)規(guī)劃時(shí)，計(jì)劃在周邊建造一片扇形綠地，如圖所示已知扇形綠地的半徑為50米，圓心角

乙408=］從綠地的圓弧邊界上不同于A,4的一點(diǎn)P處出發(fā)鋪設(shè)兩條道路PO與PC（均為直線段），其中PC

平行于綠地的邊界OB記，POC=/其中0＜。?

（1）當(dāng)6=3時(shí),求所需鋪設(shè)的道路長(zhǎng):

（2）若規(guī)劃中，綠地邊界的OC段也需鋪設(shè)道路，且道路的鋪設(shè)費(fèi)用均為每米100元，當(dāng)。變化時(shí)，求鋪路所

需費(fèi)用的最大值（精確到1元）.

7TTT7TTTTT27r

【解析】（1）在APOC中，0=-,LCPO則〃（。=萬(wàn)一弓=石,

5°450的

0P_PC

由正弦定理可得一^=F，可得PC二

sin—sin-3

34

2

所需鋪設(shè)的道路長(zhǎng)為5。+畔m.

(2)在APOC中,可得

OPPCOC100J3

27rsinOn3,0＜。＜二，

sin—sin(—0)3

33

.100J3100A./3n

可得PC=——y-sinO,OC=———srn(--8),

333

則鋪路所需費(fèi)用為/'(6)=100[50+吧旦山。+魯艮出4-。)]

333

10000J3J31100004J31

=5000H----———(sinO+—cosO—sinO)=5000H----———(—cosd+—sinO)

322322

lOOOOJ^TT

=5000+.....-sin(-+6),

33

當(dāng):+。=：3si〃C+o）取得最大值i,

3263

則鋪路所需費(fèi)用的最大值為5000+吧誓。10774元.

練習(xí)2.如圖所示，有一塊扇形鐵皮04B,乙4O8=60°,O4=72cm,要剪下來(lái)一個(gè)扇環(huán)ABC。，作圓臺(tái)形容器的

側(cè)面，并且在余下的扇形0。。內(nèi)剪下?塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺(tái)形容器的下底面（大底面）.試求：

（1）4。的長(zhǎng);

（2）容器的容積.

參考公式：圓臺(tái)的體積公式：V=；（S'+\^+SM（S',S分別是上、下底面面積，人為臺(tái)體的高）

【解析】（1）如圖1,設(shè)與圓K相切與總，

設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓的半徑分別為尸、r,

JT

V=—x72,/.r=12

3

在RtLOER中，RE=r，OR=2r,?'?OD=3r

/.AD=OA—OD=36（cm）.

（2）???2m'=-3廣，"=6

3

圓臺(tái)的軸截面為圖2,圓臺(tái)的高人=口石77二阿二1=酒

V=：（刀/27*。.和，+6戶）我=?爾/"+"+/）為

=1萬(wàn)&+6x12+122）x6后=504席開(kāi)

3

即容器的容積為504底穴c病

專題02同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

（一）同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

2

例I.已知tana=l,則11主吃4=()

sin1a

A.2B.-2C.3D.-3

1+2cosa_3cos-a+sin~a_3+tana_4

sin2a2sinacosa2tana2

練習(xí)1.已知。是笫三象限角，月.sin%+cos%=§,貝iJsEOcosO=（）

避11

V32

從c

---

A.-333

【解析】因?yàn)?是第二象限角?所以sinO<0,cosO<0.故sinOcosO>0.

55

又因?yàn)閟izi%+cos40=所以sir?%+cos%=(sin20+cos20)2-2sin23cos20.^1-2sin26cos20=

所以si〃8cos。=—?故選B.

3

sinacosa

練習(xí)2.已知向量Q=(4sina,-cosa),h=(1,2)?若a?B=0,則萬(wàn)丁二()

2sina-cosa

12

A.-1B.--C.--D.1

27

［解析］va=(4sma,-cos。)，h=(1,2),且2?6=0

1

4,nn1misinacosatana2一出〃

4sin。-2cosa=0n,即Htana=->則------------=--------=--------=-1?選力

/2sina-cosia2tar/a-1^〕

ZX--1

4

2

例2則1+'"2°+曲力2。的值為（）

3一

sin2a

256525

B.——C.4D.

4~6

1+cos2a+8sin2a2cos2a+Bsin2a

【解析】

sin2a2sinacosa

2,22

上下同時(shí)除以cos2a得2c1a+8sina=2；8Uma=_g,選。

2sinacosa2tana6

練習(xí)1.求4〃21。+5E22。+5也23°—?+5出2880+5訪289。的值為

［解析］vsE89。=sin(90°-1°)=cosl。，

.'.sin2l°+stn289°=sin2l°+cos2l0=1，

同理si〃2°+sin880=1,???,sin440+sin460=1,

1

sin2l°+sin220+sin23°+???+sin288°+5in289°=44+-=44.5,故答案為44.5.

2

練習(xí)2.⑴伊簡(jiǎn).皿

Vl-2sin360cos36°

.、tanasinatana+sina

(2)求證：--------=------：一.

tana-sinatanasina

cos360-sin360

【解析】（1）原式=

7sin236°+COS2360-2sin360cos36°

cos360-sin360cos360-sin360cos360-sin360

/==--------------------=-------------------=1

J(cos36。-sin36°)2|cos36。-sin36°\cos360-sin360

tan2a-sin2a

（2）證明?J右邊=

(tana-sina}tanasina

tan2a-tan2acos2atan2a(l-cos2a)

(tana-sina)tanasina(tana-sina)tanasina

tan^asin^atanasina左邊

(tana-sina'jtanasinatana-sina

???原等式成立.

（三）5由工+以刀工與5m入位05人的關(guān)系

例3.已知sinx+cosx=貝ijsin%+cos4x=)

777

A.—B.--CD.--

88-\4

［解析】因?yàn)閟inx+cosx=J,

一111

所以(sinx+cosx)=即1+Isinxcosx=一，所\^ksinxcosx=-

224

因此si/x+cos%=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x選A

【解析】因?yàn)閏os。-sin。=—，左右兩邊同時(shí)平方得

cos%-2sinacosa4-sin%=~—

25

3277

因?yàn)閏os%+sin%=1化簡(jiǎn)可得2sEacosa=1--=--即sE2a,選4

練習(xí)2.已知sEa-cosa=--，則sina?cosa等于()

4

"999

A.—B.----C.---D.

41632

525

【解析】因?yàn)閟i〃a-cosa=—,平方可得1-2si〃acosa=—

416

99

所以2si〃acosa=---,gpsinacosa=----,故選C.

1632

(四)角的一致性原則

例4.已知sin2a=翡〈2々〈冗)，Um("0)=g，則tm(a+/?)等于()

22

A.-2B.-1C.--D.

1111

3yr43

【解析】由題意S加2a=3廣20＜立以及si/a+cos22a=1可得cos2a=y，則￡即2”-丁

,-、s，c、、tan2a-tan(a-B)

5(。+為"刖2"("期=1+.2-L選'

31

練習(xí)1.已知a、［3為銳角，cosa=w，S〃(a邛)=F，則柩呻=()

3.________44

【解析】因?yàn)閏osa=w，且a為銳角，則sEa=J1-cos2a=工，所以ta〃a=Q,

vJKJO

tana-tan(a-/?)

因?yàn)??=a-(Q-/?),所以=tan[a-(a-0)]3,選6

1+tanatan(a-p)

V，sin(——a)=且aW[彳句,06

練習(xí)2。若si〃2a=，則a+￡的值是()

97r77rSnIn57r497r

A.—B.—仁彳或彳?彳或彳

44

【解析】口嗚

同，?6,,y]

5?r、…n

2aG[^,2n],又0<sin2a=—<-,...2/不，TT),UJaG(-,-)

52

n137rrI-----7—2M

???COS2a=-Ji-sin^2a=--

"212o

「x/10_n,-----5-----3A/10

乂sin(B-a)=-y0-??'?一a€(彳江)，?'?cos(p-a)=-41-sin(p-a)=—j0-

:.cos(a4-/?)=cos[2a+(0-a)]=cos2acos(p-a)-sin2asin(0-a)=-x(-[())-x=

57rTT、37r,小Yin-7n

乂aW(石，5)，"€[r〃，—]l????(a+0)W(~^y,2萬(wàn))，.-.?+/?=—,選8

X乙乙乙工乙

,I3”7,33TFr

練習(xí)3.已知。<0V：VaV「，cos(g-a)=*sin(J+0)=/,則sE(a+H)=()

4445413

16561656

4—B—C---D---

*65,65,65*65

【解析】由題意知，O<0<?VaV當(dāng)，cos仔-a)=:,sin俘+，)=身

4414/5I4/13

4

練習(xí)4.0都為銳角，若加八￡二§,cos(a+Q)=0,則cos2a的值是()

187718

B.—C---D.

425252525

【解析】由于cos(a+.)=0,所以。+0=1兀+12。=2切［+兀一20

1

sin2fi-cos2ptan2p-17

所以cos2a=cos(2kit+九-20)=-cos2/?=sin2p-cos2p=

sin2p+cos2stan2p+1R

（五）誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用

例5.若$皿（75+。）=-^，則cos（3。-2a）

)

44

A.-B.——D

99-4

【解析】令75'+a=6，則a=，—75°

由sin(75"+2)=4>，可得sin9=4^

25

cos(30-2a)=cos［30^-2(<9-75°)］=cos(180°-2^)=-cos2^=-(1-2sin6>)l-2x

29

選D

練習(xí)1.已知a=lan(-()，b=tan(-^),c=sin(-$則有()

A.a>b>cB.c>b>aC.0a>bD.b>c>a

【解析】。=tan(--)=-tan—<0,Z?=tan(—)=tan(^+—=tan—^>0,c=sin(-y)=-siny<0,

^5

71

a-tan一1

而一二------=----->l,c=sin(----)=-sin—<0=>a<cf故本題選D.

。.乃乃55

-sin—cos—

55

練習(xí)2.計(jì)算si〃2i5o。+stn2135°+2sin210°+cos2225°的值是()

139

c11

A.4-B.4-4一￡).4-

［解析］ttlsin2150o+stn2135°+2sin210°+cos22250

=5in2(180°-30°)+sin2(180°-45°)+2s出(1800+30°)+cos2(180°+45°)

,,,1111

=sin2300+sin2450-2sin30°+cos245°=+--l+-=7.

74224

7T2?r37r47r57r67r

練習(xí)3.計(jì)算:cos-+cos---kcos---Fcos---Fcos---1-cos—=

777777

,n27r37r

［解析】原式=cos-+cos—+cos—+cos

n27r37r37r27rn

=cos—+cos---Fcos---cos----cos----cos-=0.

777777

(六)特殊角的替換作用

cos40°

例6.化簡(jiǎn):----------；.~()

cos25°?l-sin400

A.1B..C.&D.2

【解析】原式二黑翳離第

l&x/2

yj2(^-cos20y+—srn20°)

cos200Isin20022J2cos(450-25。)-

之…c

cos250cos250cos25°

31

-+64sinz20°=

練習(xí)l.—n-?----；一：?

sinz20COS220

22

313cos200-sin20°

【解析】因?yàn)?/p>

sin220°COS2200sin2200cos2200

(、,GCOS20°+si〃20°)(價(jià)cos200-sin20°)

12

-sin240°

4

2cos(20。-30°)2cos(20°+30°)

-sin240°

4

16COS10°CO550°16sin80°

szn240°sin40°

32sE400cos40°

=32cos40°

sin400

31+64sM220。=32cos40。+64x|(l-cos40')=32

所以其一,

(七)函數(shù)性質(zhì)與誘導(dǎo)公式綜合

例7.定義在R上的偶函數(shù)/'(乃，在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增，已知Q,0是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則/'(Sina),

f(cos夕)的大小關(guān)系是()

A.f(sina)<f(cos。)B.f(sina)>f(cos0)

C.f{sina)=f{cosp)D.以上情況都有可能

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)八乃是定義在R上的偶函數(shù)，

在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)人乃在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減.

因?yàn)椤跋κ卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以。+