2025年八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案（一）一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求，每小題3分，共30分） 1．下列各式（1﹣x），，，+x，，其中分式共有（）個(gè)． A．2 B．3 C．4 D．52．函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是（） A．x＞2 B．x≠2 C．x＞﹣1 D．x≠﹣13．二十一世紀(jì)，納米技術(shù)將被廣泛應(yīng)用，納米是長(zhǎng)度計(jì)量單位，1納米=0.000000001米，則5納米可以用科學(xué)記數(shù)法表示為（） A．5×109米 B．50×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣8米4．下列命題是假命題的是（） A．菱形的對(duì)角線互相垂直平分 B．有一斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等 C．有一組鄰邊相等且垂直的平行四邊形是正方形 D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 5．對(duì)于數(shù)據(jù)：80，88，85，85，83，83，84．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（） A、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是84；B、這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是85；C、這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是84；D、這組數(shù)據(jù)的方差是36． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．貨車(chē)行駛25千米與小車(chē)行駛35千米所用時(shí)間相同，已知小車(chē)每小時(shí)比貨車(chē)多行駛20千米，求兩車(chē)的速度各為多少？設(shè)貨車(chē)的速度為x千米/小時(shí)，依題意列方程正確的是（） A． B． C． D．7．將五個(gè)邊長(zhǎng)都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A、B、C、D分別是四個(gè)正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為（） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm28．“已知：正比例函數(shù)y1=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y2=（m＞0）圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別是1和﹣1，求不等式kx＞的解集．”對(duì)于這道題，某同學(xué)是這樣解答的：“由圖象可知：當(dāng)x＞1或﹣1＜x＜0時(shí)，y1＞y2，所以不等式kx＞的解集是x＞1或﹣1＜x＜0”．他這種解決問(wèn)題的思路體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是（） A．?dāng)?shù)形結(jié)合 B．轉(zhuǎn)化 C．類比 D．分類討論9．已知四邊形ABCD，下列說(shuō)法正確的是（） A．當(dāng)AD=BC，AB∥DC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形 B．當(dāng)AD=BC，AB=DC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形 C．當(dāng)AC=BD，AC平分BD時(shí)，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)AC=BD，AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形 10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路線是A→D→C→B→A，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為x，以點(diǎn)A、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（） A． B． C． D． 二、填空題（每小題3分，共18分） 11．若分式的值為零，則x=． 12．在y=5x+a﹣2中，若y是x的正比例函數(shù)，則常數(shù)a=． 13．在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員10次射擊的平均成績(jī)都是7環(huán)，其中甲的成績(jī)的方差為1.2，乙的成績(jī)的方差為3.9，由此可知的成績(jī)更穩(wěn)定． 14．定義運(yùn)算“★”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a★b=a2+b，如：2★4=22+4=8．若（x﹣1）★3=7，則實(shí)數(shù)x的值是． 15．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，那么∠BDC的度數(shù)為． 16．如圖，已知：在?ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，則EF+BF的最小值為． 三、解答題（72分） 17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=2+，y=2﹣． 18．某游泳館普通票價(jià)20元/張，暑假為了促銷(xiāo)，新推出兩種優(yōu)惠卡： ①金卡售價(jià)600元/張，每次憑卡不再收費(fèi)． ②銀卡售價(jià)150元/張，每次憑卡另收10元． 暑假普通票正常出售，兩種優(yōu)惠卡僅限暑假使用，不限次數(shù)．設(shè)游泳x次時(shí)，所需總費(fèi)用為y元 （1）分別寫(xiě)出選擇銀卡、普通票消費(fèi)時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）在同一坐標(biāo)系中，若三種消費(fèi)方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，請(qǐng)求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)； （3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出選擇哪種消費(fèi)方式更合算． 19．平行四邊形的2個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），（1，0），第三個(gè)頂點(diǎn)在y軸上，且與x軸的距離是3個(gè)單位，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 20．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF． 求證：四邊形AECF是矩形． 21．房山某中學(xué)改革學(xué)生的學(xué)習(xí)模式，變“老師要學(xué)生學(xué)習(xí)”為“學(xué)生自主學(xué)習(xí)”，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力．小華與小明同學(xué)就“最喜歡哪種學(xué)習(xí)方式”隨機(jī)調(diào)查了他們周?chē)囊恍┩瑢W(xué)，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了以下的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)下面兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖回答以下問(wèn)題： （1）這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了名學(xué)生； （2）補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖； （3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估算該校1000名學(xué)生中大約有多少人選擇“小組合作學(xué)習(xí)”？ 22．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點(diǎn)F、G， AF與BG交于點(diǎn)E． （1）求證：AF⊥BG，DF=CG； （2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的長(zhǎng)度． 23．如圖，直線y=﹣2x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和B． （1）直接寫(xiě)出坐標(biāo)：點(diǎn)A，點(diǎn)B； （2）以線段AB為一邊在第一象限內(nèi)作?ABCD，其頂點(diǎn)D（3，1）在雙曲線y=（x＞0）上． ①求證：四邊形ABCD是正方形； ②試探索：將正方形ABCD沿x軸向左平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)C恰好落在雙曲線y=（x＞0）上． 參考答案與試題解析 一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求，每小題3分，共30分） 1．下列各式（1﹣x），，，+x，，其中分式共有（）個(gè)． A．2 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】分式的定義． 【分析】根據(jù)分式的定義對(duì)上式逐個(gè)進(jìn)行判斷，得出正確答案． 【解答】解：中的分母含有字母是分式．故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的定義，π不是字母，不是分式． 2．函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是（） A．x＞2 B．x≠2 C．x＞﹣1 D．x≠﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍． 【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0；分析原函數(shù)式可得關(guān)系式x+1≠0，解可得答案． 【解答】解：根據(jù)題意可得x+1≠0； 解得x≠﹣1； 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍，當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，要注意考慮分式的分母不能為0． 3．二十一世紀(jì)，納米技術(shù)將被廣泛應(yīng)用，納米是長(zhǎng)度計(jì)量單位，1納米=0.000000001米，則5納米可以用科學(xué)記數(shù)法表示為（） A．5×109米 B．50×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣8米【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)． 【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定． 【解答】解：5納米=5×10﹣9， 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定． 4．下列命題是假命題的是（） A．菱形的對(duì)角線互相垂直平分 B．有一斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等 C．有一組鄰邊相等且垂直的平行四邊形是正方形 D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 【考點(diǎn)】命題與定理． 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)直角三角形的判定方法對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)正方形的判定方法對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對(duì)D進(jìn)行判斷． 【解答】解：A、菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以A選項(xiàng)為真命題； B、有一斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等，所以B選項(xiàng)為真命題； C、有一組鄰邊相等且垂直的平行四邊形是正方形，所以C選項(xiàng)為真命題； D、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以D選項(xiàng)為假命題． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理． 5．對(duì)于數(shù)據(jù)：80，88，85，85，83，83，84．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（） A、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是84；B、這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是85；C、這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是84；D、這組數(shù)據(jù)的方差是36． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】中位數(shù)；算術(shù)平均數(shù)；眾數(shù)；方差． 【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)與方差的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是掌握計(jì)算公式或方法． 注意：眾數(shù)是指出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，在一組數(shù)據(jù)中有時(shí)出現(xiàn)次數(shù)最多的會(huì)有多個(gè)，所以其眾數(shù)也會(huì)有多個(gè)． 【解答】解：由平均數(shù)公式可得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為84； 在這組數(shù)據(jù)中83出現(xiàn)了2次，85出現(xiàn)了2次，其他數(shù)據(jù)均出現(xiàn)了1次，所以眾數(shù)是83和85； 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：80、83、83、84、85、85、88，可得其中位數(shù)是84； 其方差S2=[（80﹣84）2+（88﹣84）2+（85﹣84）2+（85﹣84）2+（83﹣84）2+（83﹣84）2+（84﹣84）2]=； 所以②、④錯(cuò)誤． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)． 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)． 6．貨車(chē)行駛25千米與小車(chē)行駛35千米所用時(shí)間相同，已知小車(chē)每小時(shí)比貨車(chē)多行駛20千米，求兩車(chē)的速度各為多少？設(shè)貨車(chē)的速度為x千米/小時(shí)，依題意列方程正確的是（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程． 【分析】題中等量關(guān)系：貨車(chē)行駛25千米與小車(chē)行駛35千米所用時(shí)間相同，列出關(guān)系式． 【解答】解：根據(jù)題意，得 ． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】理解題意是解答應(yīng)用題的關(guān)鍵，找出題中的等量關(guān)系，列出關(guān)系式． 7．將五個(gè)邊長(zhǎng)都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A、B、C、D分別是四個(gè)正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為（） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】連接AP、AN，點(diǎn)A是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，進(jìn)而可得四邊形AENF的面積等于△NAP的面積，同理可得答案． 【解答】解：如圖，連接AP，AN，點(diǎn)A是正方形的對(duì)角線的交 則AP=AN，∠APF=∠ANE=45°， ∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°， ∴∠PAF=∠NAE， ∴△PAF≌△NAE， ∴四邊形AENF的面積等于△NAP的面積， 而△NAP的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4， ∴四邊形AENF的面積為1cm2，四塊陰影面積的和為4cm2． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)﹣旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度． 8．“已知：正比例函數(shù)y1=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y2=（m＞0）圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別是1和﹣1，求不等式kx＞的解集．”對(duì)于這道題，某同學(xué)是這樣解答的：“由圖象可知：當(dāng)x＞1或﹣1＜x＜0時(shí)，y1＞y2，所以不等式kx＞的解集是x＞1或﹣1＜x＜0”．他這種解決問(wèn)題的思路體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是（） A．?dāng)?shù)形結(jié)合 B．轉(zhuǎn)化 C．類比 D．分類討論【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題． 【分析】根據(jù)數(shù)形結(jié)合法的定義可知． 【解答】解：由正比例函數(shù)y1=kx（k＞0）與反比例函數(shù)y2=（m＞0）圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別是1和﹣1，然后結(jié)合圖象可以看出x＞1或﹣1＜x＜0時(shí)，y1＞y2，所以不等式kx＞的解集是x＞1或﹣1＜x＜0”． 解決此題時(shí)將解析式與圖象緊密結(jié)合，所以解決此題利用的數(shù)學(xué)思想方法叫做數(shù)形結(jié)合法． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合法是解決函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常采用的一種方法，關(guān)鍵是要找出圖象與函數(shù)解析式之間的聯(lián)系． 9．已知四邊形ABCD，下列說(shuō)法正確的是（） A．當(dāng)AD=BC，AB∥DC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形 B．當(dāng)AD=BC，AB=DC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形 C．當(dāng)AC=BD，AC平分BD時(shí)，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)AC=BD，AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；矩形的判定；正方形的判定． 【分析】由平行四邊形的判定方法得出A不正確、B正確；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正確． 【解答】解：∵一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形， ∴A不正確； ∵兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形， ∴B正確； ∵對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形， ∴C不正確； ∵對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形， ∴D不正確； 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟練掌握平行四邊形、矩形、正方形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 10．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路線是A→D→C→B→A，設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為x，以點(diǎn)A、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象． 【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，首先向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，此時(shí)y不隨x的增加而增大，當(dāng)點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)點(diǎn)P在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y不變，據(jù)此作出選擇即可． 【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，即0≤x≤4時(shí)，y的值為0； 當(dāng)點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，即4＜x≤8時(shí)，y隨著x的增大而增大； 當(dāng)點(diǎn)P在CB上運(yùn)動(dòng)，即8＜x≤12時(shí)，y不變； 當(dāng)點(diǎn)P在BA上運(yùn)動(dòng)，即12＜x≤16時(shí)，y隨x的增大而減?。? 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象問(wèn)題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x的變化而變化的趨勢(shì)． 二、填空題（每小題3分，共18分） 11．若分式的值為零，則x=﹣2． 【考點(diǎn)】分式的值為零的條件． 【分析】直接利用分式的值為0，則分子為0，分母不為0，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：∵分式的值為零， ∴3x2﹣12=0，x﹣2≠0， 解得：x=﹣2． 故答案為：﹣2． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的值為零，正確把握定義是解題關(guān)鍵． 12．在y=5x+a﹣2中，若y是x的正比例函數(shù)，則常數(shù)a=2． 【考點(diǎn)】正比例函數(shù)的定義． 【分析】一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，由此可得a﹣2=0，解出即可． 【解答】解：∵一次函數(shù)y=5x+a﹣2是正比例函數(shù)， ∴a﹣2=0， 解得：a=2． 故答案為：2； 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)的定義，正比例函數(shù)y=kx的定義條件是：k為常數(shù)且k≠0，自變量次數(shù)為1． 13．在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員10次射擊的平均成績(jī)都是7環(huán)，其中甲的成績(jī)的方差為1.2，乙的成績(jī)的方差為3.9，由此可知甲的成績(jī)更穩(wěn)定． 【考點(diǎn)】方差． 【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定． 【解答】解：因?yàn)镾甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的為甲，所以本題中成績(jī)比較穩(wěn)定的是甲． 故答案為：甲； 【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的意義．方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定． 14．定義運(yùn)算“★”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a★b=a2+b，如：2★4=22+4=8．若（x﹣1）★3=7，則實(shí)數(shù)x的值是3或﹣1． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開(kāi)平方法． 【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則得到關(guān)于x的方程，通過(guò)解方程來(lái)求x的值． 【解答】解：依題意得：（x﹣1）2+3=7， 整理，得（x﹣1）2=4， 直接開(kāi)平方，得x﹣1=±2， 解得x1=3，x2=﹣1． 故答案是：3或﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握新定義a★b=a2+b，此題難度不大． 15．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，那么∠BDC的度數(shù)為30°． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠ADC=90°，OA=OD，得出∠ODA=∠DAE，由已知條件求出∠ADE，得出∠DAE、∠ODA，即可得出∠BDC的度數(shù)． 【解答】解：如圖所示： ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，OA=AC，OD=BD，AC=BD， ∴OA=OD， ∴∠ODA=∠DAE， ∵∠ADE=∠CDE， ∴∠ADE=×90°=30°， ∵DE⊥AC， ∴∠AED=90°， ∴∠DAE=60°， ∴∠ODA=60°， ∴∠BDC=90°﹣60°=30°； 故答案為：30°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 16．如圖，已知：在?ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，則EF+BF的最小值為． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】首先菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，從而可知BF=DF，則EF+BF=EF+DF，當(dāng)點(diǎn)D、F、E共線時(shí)，EF+BF有最小值． 【解答】解：∵?ABCD中，AB=AD， ∴四邊形ABCD為菱形． ∴點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱． ∴BF=DF． 連接DE． ∵E是AB的中點(diǎn)， ∴AE=1． ∴= 又∵∠DAB=60°， ∴cos∠DAE=． ∴△ADE為直角三角形． ∴DE===， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是最短路徑、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)和判定，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)將EF+FB的最小值轉(zhuǎn)化為DF+EF的最小值是解題的關(guān)鍵． 三、解答題（72分） 17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=2+，y=2﹣． 【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值． 【分析】將原式第一個(gè)因式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，分子利用完全平方公式展開(kāi)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，第二個(gè)因式通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，分子提取﹣1并利用平方差公式分解因式，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，然后將x與y的值代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到原式的值． 【解答】解：原式= =（﹣） =4xy =， 則當(dāng)x=2+，y=2﹣時(shí)，原式==﹣=﹣4． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找出最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)先將多項(xiàng)式分解因式后再約分，此外化簡(jiǎn)求值題要先化簡(jiǎn)再代值． 18．某游泳館普通票價(jià)20元/張，暑假為了促銷(xiāo)，新推出兩種優(yōu)惠卡： ①金卡售價(jià)600元/張，每次憑卡不再收費(fèi)． ②銀卡售價(jià)150元/張，每次憑卡另收10元． 暑假普通票正常出售，兩種優(yōu)惠卡僅限暑假使用，不限次數(shù)．設(shè)游泳x次時(shí)，所需總費(fèi)用為y元 （1）分別寫(xiě)出選擇銀卡、普通票消費(fèi)時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）在同一坐標(biāo)系中，若三種消費(fèi)方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示，請(qǐng)求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)； （3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出選擇哪種消費(fèi)方式更合算． 【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)銀卡售價(jià)150元/張，每次憑卡另收10元，以及旅游館普通票價(jià)20元/張，設(shè)游泳x次時(shí)，分別得出所需總費(fèi)用為y元與x的關(guān)系式即可； （2）利用函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法分別得出即可； （3）利用（2）的點(diǎn)的坐標(biāo)以及結(jié)合得出函數(shù)圖象得出答案． 【解答】解：（1）由題意可得：銀卡消費(fèi)：y=10x+150，普通消費(fèi)：y=20x； （2）由題意可得：當(dāng)10x+150=20x， 解得：x=15，則y=300， 故B（15，300）， 當(dāng)y=10x+150，x=0時(shí)，y=150，故A（0，150）， 當(dāng)y=10x+150=600， 解得：x=45，則y=600， 故C（45，600）； （3）如圖所示：由A，B，C的坐標(biāo)可得： 當(dāng)0＜x＜15時(shí)，普通消費(fèi)更劃算； 當(dāng)x=15時(shí)，銀卡、普通票的總費(fèi)用相同，均比金卡合算； 當(dāng)15＜x＜45時(shí)，銀卡消費(fèi)更劃算； 當(dāng)x=45時(shí)，金卡、銀卡的總費(fèi)用相同，均比普通票合算； 當(dāng)x＞45時(shí)，金卡消費(fèi)更劃算． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出自變量的取值范圍得出是解題關(guān)鍵． 19．平行四邊形的2個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），（1，0），第三個(gè)頂點(diǎn)在y軸上，且與x軸的距離是3個(gè)單位，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】找第四個(gè)頂點(diǎn)，關(guān)鍵是看哪條邊為對(duì)角線，再者第三個(gè)頂點(diǎn)在y軸上，且與x軸的距離是3個(gè)單位，本身又有兩種情況，所以做題時(shí)要考慮周全． 【解答】解：（1）當(dāng)?shù)谌齻€(gè)點(diǎn)C1在y軸正半軸時(shí)： AC1為對(duì)角線時(shí)，第四個(gè)點(diǎn)為（﹣4，3）； AB為對(duì)角線時(shí)，第四個(gè)點(diǎn)為（﹣2，﹣3）； BC1為對(duì)角線時(shí)，第四個(gè)點(diǎn)為（4，3）． （2）當(dāng)?shù)谌齻€(gè)點(diǎn)C2在y軸負(fù)半軸時(shí)： AC2為對(duì)角線時(shí)，第四個(gè)點(diǎn)為（﹣4，﹣3）； AB為對(duì)角線時(shí)，第四個(gè)點(diǎn)為（﹣2，3）； BC2為對(duì)角線時(shí)，第四個(gè)點(diǎn)為（4，﹣3）． 即第4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，3），（﹣4，3），（﹣2，﹣3），或（4，﹣3），（﹣4，﹣3），（﹣2，3）． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要是對(duì)平行四邊形的性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)的表示等知識(shí)的直接考查，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想，題目的條件既有數(shù)又有形，解決問(wèn)題的方法也要既依托數(shù)也依托形，體現(xiàn)了數(shù)形的緊密結(jié)合． 20．如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF． 求證：四邊形AECF是矩形． 【考點(diǎn)】矩形的判定；菱形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根據(jù)菱形的對(duì)邊平行且相等以及中點(diǎn)的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可得證． 【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵AB=AC， ∴△ABC是等邊三角形， ∵E是BC的中點(diǎn)， ∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一）， ∴∠AEC=90°， ∵E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)， ∴AF=AD，EC=BC， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD=BC， ∴AF∥EC且AF=EC， ∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）， 又∵∠AEC=90°， ∴四邊形AECF是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明得到四邊形AECF是平行四邊形是解題的關(guān)鍵，也是突破口． 21．房山某中學(xué)改革學(xué)生的學(xué)習(xí)模式，變“老師要學(xué)生學(xué)習(xí)”為“學(xué)生自主學(xué)習(xí)”，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力．小華與小明同學(xué)就“最喜歡哪種學(xué)習(xí)方式”隨機(jī)調(diào)查了他們周?chē)囊恍┩瑢W(xué)，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了以下的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)下面兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖回答以下問(wèn)題： （1）這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了500名學(xué)生； （2）補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖； （3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估算該校1000名學(xué)生中大約有多少人選擇“小組合作學(xué)習(xí)”？ 【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖． 【分析】（1）根據(jù)個(gè)人自學(xué)后老師點(diǎn)撥的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)即可； （2）用小組合作學(xué)習(xí)的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)得出小組合作學(xué)習(xí)所占的百分比，用總?cè)藬?shù)減去其他學(xué)習(xí)方式的人數(shù)求出教師傳授的人數(shù)，再除以總?cè)藬?shù)，求出教師傳授的人數(shù)所占的百分比，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖； （3）用該校的總?cè)藬?shù)乘以“小組合作學(xué)習(xí)”所占的百分比即可得出答案． 【解答】解：（1）這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查的學(xué)生數(shù)是：=500（名）； 故答案為：500． （2）小組合作學(xué)習(xí)所占的百分比是：×100%=30%， 教師傳授的人數(shù)是：500﹣300﹣150=50（人）， 教師傳授所占的百分比是：×100%=10%； 補(bǔ)圖如下： （3）根據(jù)題意得： 1000×30%=300（人）． 答：該校1000名學(xué)生中大約有300人選擇“小組合作學(xué)習(xí)”． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。? 22．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點(diǎn)F、G， AF與BG交于點(diǎn)E． （1）求證：AF⊥BG，DF=CG； （2）若AB=10，AD=6，AF=8，求FG和BG的長(zhǎng)度． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（1）由在平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點(diǎn)F、G，易求得2∠BAF+2∠ABG=180°，即可得∠AEB=90°，證得AF⊥BG，易證得△ADF與△BCG是等腰三角形，即可得AD=DF，BC=CG，又由AD=BC，即可證得DF=CG； （2）由（1）易求得DF=CG=8，CD=AB=10，即可求得FG的長(zhǎng)；過(guò)點(diǎn)B作BH∥AF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證得四邊形ABHF為平行四邊形，即可得△HBG是直角三角形，然后利用勾股定理，即可求得BG的長(zhǎng)． 【解答】（1）證明：∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=∠BAF=∠BAD． ∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG=∠CBG=∠ABC． ∵四邊形ABCD平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°， 即2∠BAF+2∠ABG=180°， ∴∠BAF+∠ABG=90°． ∴∠AEB=180°﹣（∠BAF+∠ABG）=180°﹣90°=90°． ∴AF⊥BG； ∵AB∥CD， ∴∠BAF=∠AFD， ∴∠AFD=∠DAF，