第十三章三角形13.3三角形的內(nèi)角與外角13.3.2三角形的外角目錄1.學(xué)習(xí)目標(biāo)4.知識(shí)點(diǎn)1 三角形外角的定義7.課堂小結(jié)3.新課導(dǎo)入5.知識(shí)點(diǎn)2 三角形外角的性質(zhì)8.當(dāng)堂小練CONTENTS2.知識(shí)回顧9.對(duì)接中考10.拓展與延伸6.知識(shí)點(diǎn)3 三角形外角和定理1.理解三角形的外角的概念，并能夠在復(fù)雜圖形中找出三角形的外角.2.掌握三角形外角的性質(zhì)，會(huì)利用三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行角度的計(jì)算和證明.學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)回顧三角形的內(nèi)角和定理文字語言幾何語言圖形三角形的內(nèi)角和等于180°在△ABC

中，∠A＋∠B＋∠C=180°直角三角形的性質(zhì)與判定文字語言幾何語言圖形性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=90°判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形在△

ABC中，∵∠A＋∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形知識(shí)回顧?quán)徰a(bǔ)角的概念：∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線（∠1和∠2互補(bǔ)），具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：∠1+∠2=180°.CABO12如果延長△ABC的邊AB至點(diǎn)D，那么該延長線BD與相鄰的邊BC形成的角∠CBD具有什么樣的性質(zhì)呢？BCAD新課導(dǎo)入同學(xué)們，假設(shè)現(xiàn)在我們?cè)谝粋€(gè)巨大的三角形廣場(chǎng)游玩.從頂點(diǎn)

A出發(fā)，依次沿著AB、BC、CA

邊走回起點(diǎn)，這三次轉(zhuǎn)身的角度藏著什么秘密？今天，就讓我們一起探索三角形外角的性質(zhì)！ABC新課講解知識(shí)點(diǎn)1三角形外角的定義如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD.外角BACD三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.三角形外角的定義新課講解外角BACDE1.延長

AC到

E，∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角？是2.∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角？不是三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn).②角的一邊是三角形的一邊.③另一邊是三角形中一邊的延長線.思考總結(jié)新課講解三角形的一個(gè)外角，就是三角形一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角.向兩個(gè)方向延長三角形的各邊，可以畫出一個(gè)三角形所有的外角.ABC

三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們互為對(duì)頂角，一個(gè)三角形共有六個(gè)外角.新課講解例1.如圖，∠BEC是哪個(gè)三角形的外角？∠AEC是哪個(gè)三角形的外角？∠EFD是哪個(gè)三角形的外角？FABCDE解：∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC和△BEF的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.新課講解例

C

新課講解練一練如圖，點(diǎn)B，C分別在∠EAF的邊AE，AF上，點(diǎn)D在線段AC上，則下列是△ABD的外角的是

（

）A.∠BCF B.∠CBE

C.∠DBC D.∠BDFD新課講解1.三角形的外角和它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角.2.三角形的外角在三角形的外部，但是不能錯(cuò)誤地理解為三角形外部的角就是三角形的外角.3.三角形的外角具備3個(gè)特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一條邊；③另外一條邊是三角形某條邊的延長線.4.三角形共有6個(gè)外角.每個(gè)頂點(diǎn)處有2個(gè)外角.注意ABEFCD新課講解知識(shí)點(diǎn)2三角形外角的性質(zhì)思考如圖，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.能由∠A，∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A，∠B有什么關(guān)系？ABCD(((70°60°解：由三角形內(nèi)角和定理，得∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-60°=50°.由平角的定義，得∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°.又∠A+∠B=70°+60°=130°，所以∠ACD=∠A+∠B.新課講解思考任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角是否都有這種關(guān)系？證明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=180°-∠ACB.∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB.∴∠ACD=∠A+∠B.ABCD(((新課講解三角形外角性質(zhì)符號(hào)語言：∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.∴∠ACD=∠A+∠B.ABCD(((三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.推論是由定理直接推出的結(jié)論．和定理一樣，推論可以作為進(jìn)一步推理的依據(jù).一般地，由三角形的內(nèi)角和定理可以推出下面的推論：新課講解例

方法點(diǎn)撥：利用三角形外角的性質(zhì)，將∠ACD

轉(zhuǎn)化為∠B＋∠BAC

進(jìn)行求解.

新課講解例

思路導(dǎo)引：

新課講解練一練1.如圖所示，已知AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，則∠3的度數(shù)為_______.

80°新課講解練一練2.如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點(diǎn)E.求證：∠BAC=∠B+2∠E.解：∵∠1是△BCE的一個(gè)外角，∴∠1=∠B+∠E.∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分線，∴∠1=∠2.∵∠BAC是△ACE的一個(gè)外角，∴∠BAC=∠E+∠2=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E，即∠BAC=∠B+2∠E.ACEDB12新課講解1.性質(zhì)推論：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角.2.當(dāng)三角形的一個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形；當(dāng)三角形的每個(gè)外角都大于與它相鄰的內(nèi)角時(shí)，這個(gè)三角形是銳角三角形；當(dāng)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形.拓展新課講解知識(shí)點(diǎn)3三角形外角和定理思考如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，請(qǐng)問它們之間的大小關(guān)系？解：解法1由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.解：解法2如圖，∠BAE+∠1=180°，①∠CBF+∠2=180°，②∠ACD+∠3=180°，③又∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–180°=360°.新課講解三角形外角和

三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)處各有兩個(gè)外角，三角形的外角和不是指六個(gè)外角的總和，而是說在三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，三個(gè)不同頂點(diǎn)處的外角和叫做三角形的外角和.注意課堂小結(jié)三角形的外角三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.三角形的外角和等于360°.性質(zhì)外角和定義當(dāng)堂小練1.試說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù).

60?80?12（1）ABC30?40?12（2）ABC40?21┌（3）ABC當(dāng)堂小練2.判斷下列觀點(diǎn)是否正確.（1）三角形的外角都是鈍角. （）（2）三角形的外角大于任何一個(gè)內(nèi)角. （）（3）三角形的外角等于它的兩個(gè)內(nèi)角的和. （）（4）三角形的外角和等于360°. （）分析：（1）三角形的外角是銳角、鈍角或者直角.

（2）三角形的外角大于任何一個(gè)不相鄰內(nèi)角.（3）三角形的外角等于它的不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和.×××√當(dāng)堂小練3.如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，則∠ECD等于（）A.40°B.45°C.50°D.55°解析：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°.∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=50°.ABCDEC當(dāng)堂小練

110當(dāng)堂小練5.如圖，AB∥CD，AE與CD相交于點(diǎn)O，∠A=45°，∠C=∠E.求∠C的度數(shù).

ACBDE1O當(dāng)堂小練解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°.∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠1+∠2=90°.∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=45°.6.如圖，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度數(shù).BADC21┐∵∠ADB是△ACD的外角，∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°.∵∠C=65°，∴∠DAC=90°-∠C=25°.則∠BAC=∠1+∠DAC=70°.當(dāng)堂小練

FADEBC62°35°97°當(dāng)堂小練

減少10當(dāng)堂小練

對(duì)接中考

BEBCAFDαβ1234對(duì)接中考

C

拓展與延伸

B

拓展與延伸2.已知五角星如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).分析：利用三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，將∠A，∠B，∠C，∠D，∠E轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中.仔