試題試題搶分秘籍06全等三角形中常見的基本模型目錄【解密中考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）【題型一】一線三等角模型【題型二】手拉手模型-旋轉型全等【題型三】倍長中線模型【題型四】截長補短模型【題型五】十字架模型【題型六】半角模型：全等三角形中常見的基本模型綜合題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因導致失分。1．從考點頻率看，手拉手、一線三等角、半角模型高頻，常涉對應邊/角相等、幾何變換，多在幾何綜合題中出現(xiàn)。2．從題型角度看，以解答題的最后三題題為主，造模型證全等，壓軸題常結合動點、多模型綜合。分值10-12分左右，著實不少?。菏煊浤Ｐ吞卣骷拜o助線（如倍長中線、截長補短），針對不同題型專項訓練，總結模型應用規(guī)律?！绢}型一】一線三等角模型【例1】（2025·四川南充·一模）如圖，在四邊形中，，點是邊上一點，．(1)求證：；(2)若，求的長度．類型圖示條件結論同側一線三等角點P在線段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)△APC≌△BDP異側一線三等扇點P在線段AB的延長線上,∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)△APC≌△BDP【例2】（2025·廣東深圳·二模）在平行四邊形中，點，分別在邊，上．【嘗試初探】（1）如圖1，若平行四邊形是正方形，為的中點，，求的值；【深入探究】（2）如圖2，，，，求的值；【拓展延伸】（3）如圖3，與交于點，，，，求的值．【變式1】（2025·山東泰安·一模）綜合與實踐【經(jīng)典再現(xiàn)】人教版八年級數(shù)學下冊教科書69頁14題：如圖1，四邊形是正方形，點是邊的中點，且交正方形外角的平分線于點．求證．（提示：取的中點，連接．）（1）請你思考題中的“提示”，這樣添加輔助線的目的是構造出______，進而得到．【類比探究】（2）如圖2，四邊形是矩形，且，點是邊的中點，，且交矩形外角的平分線于點，求的值（用含的式子表示）；【綜合應用】（3）如圖3，為邊上一點，連接，，在（2）的基礎上，當，，時，請直接寫出的長．【變式2】（2024·甘肅天水·二模）綜合與實踐感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖，點M在直線上，且（可以是直角、銳角或者鈍角），像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型，我們把它稱為“一線三等角”模型．應用：(1)如圖1，在矩形中，M，N分別為邊上的點，，且，則的數(shù)量關系是_____；(2)如圖2，在中，，，M是上的點（），且，，求的長；(3)如圖3，在四邊形中，，，，，求的值．【變式3】（2025·山東濟南·一模）（一）模型呈現(xiàn)（1）如圖1，點在直線上，，過點作于點，過點作于點，由，得，又，可以推理得到，進而得到_______，_______．我們把這個數(shù)學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；（二）模型體驗（2）如圖2，在中，點為上一點，，四邊形的周長為，的周長為．小誠同學發(fā)現(xiàn)根據(jù)模型可以推理得到，進而得到，那么，再根據(jù)題目中周長信息就可得_______；（三）模型拓展（3）如圖3，在中，，直線經(jīng)過點，且于點，于點．請猜想線段之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程：（四）模型應用（4）如圖4，已知在矩形中，，點在邊上，且．是對角線上一動點，是邊上一動點，且滿足，當在上運動時，請求線段的最大值，并求出此時線段的長度．【題型二】手拉手模型-旋轉型全等【例1】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖①，和都是等腰直角三角形，，當點在線段上，點在線段上時，我們很容易得到，，不需證明．(1)如圖②，將繞點逆時針旋轉，連接和，猜想：和的位置關系；數(shù)量關系：，并給出證明過程．(2)如圖③，當繞點逆時針旋轉，使得點恰好落在的延長線上，連接．若，，則線段＝；(3)若為中點，連接，，，當繞點逆時針旋轉時，最大值為，最小值為，則的值為．圖示OC在△OAB內且拉手線無交點OC在△OAB外且拉手線無交點OC在△OAB外且拉手線有交點條件在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,將ΔOCD繞點0旋轉一定角度后,連接AC,BD(稱為“拉手線”左手拉左手,右手拉右手),若拉手線有交點,記相交于點,連接OE結論1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手線相等);2.EO平分∠AED:3.∠AEB=∠AOB=a【例2】（2025·山西運城·模擬預測）綜合與探究問題情境：在研究旋轉問題時，卓越小組的同學使用了兩個全等的直角三角形展開探究．如圖1，將兩個三角形點A重合放置，，，．將固定，繞點A旋轉．猜想證明：（1）如圖2，當點D落在邊上時，連接，試猜想與的位置關系，并進行證明．問題拓展：（2）如圖3，當點D落在邊上時，過點D作，過點E作，與交于點F，連接，求的長．深入探究：（3）在繞點A旋轉的過程中，直線與直線交于點M，N，直線與直線交于點P，當時，請直接寫出四邊形的面積．【變式1】（2025·黑龍江牡丹江·一模）在菱形中，，是射線上一動點，以為邊向右側作等邊三角形，點的位置隨點的位置變化而變化，連接．推理證明：（）當點在菱形內部或邊上時，如圖①，求證：；寫出圖①的證明過程；探究問題：（）當點在菱形外部時，如圖②，圖③，請分別寫出線段之間的數(shù)量關系，不需證明；拓展思考：（）在（）和（）的條件下，若，，則的長為__________．圖①

圖②

圖③【變式2】（2025·廣西·一模）【經(jīng)典回顧】（1）如圖1，，都是等邊三角形，連接，．求證：；【類比遷移】（2）如圖2，，都是等腰直角三角形，，連接，相交于點，與相交于點，類比（1）有．點，，分別為，，的中點，連接，，與相交于點．請判斷，的關系，并證明；【拓展應用】（3）在（2）的條件下，連接，如圖3，繞點旋轉，若，．求旋轉過程中，面積的最大值．【變式3】（2025·廣東深圳·一模）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，將正方形和正方形按如圖所示的位置擺放，連接和，則與的數(shù)量關系是______，請說明理由．【類比探究】（2）若將“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如圖，點E、D、G三點共線，點G在線段上時，若，求的長．【拓展延伸】（3）若將“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如圖3，平分，點P在射線上，在射線上截取，使得，連接，當時，直接寫出的長．【題型三】倍長中線模型【例1】（2025·山東青島·模擬預測）【問題提出】小紅遇到這樣一個問題：如圖1，中，，，是中線，求的取值范圍．【構建模型】她的做法是：延長到E，使，連接，證明，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．她的這種做法把中線延長了一倍，所以我們通常稱為“倍長中線法”．請回答：（1）小紅證明的判定定理是：．（2）的取值范圍是【模型應用】（3）如圖2，在中，是的中線，，在上取一點E，連接，若，則“燕尾”四邊形的面積為．1）倍長中線模型（中線型）條件：AD為△ABC的中線。結論：證明：延長AD至點E，使DE=AD，連結CE。∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）2）倍長類中線模型（中點型）條件：△ABC中，D為BC邊的中點，E為AB邊上一點（不同于端點）。結論：△EDB≌△FDC。證明：延長ED，使DF=DE，連接CF。∵D為BC邊的中點，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）【例2】（2024·甘肅白銀·一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，D為邊的中點，連接并延長至點H，使，連接．由，得，則與的數(shù)量關系為________，位置關系為_______．【嘗試應用】（2）如圖2，在中，平分，D為邊的中點，過點D作，交的延長線于點Q，交邊于點K．試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展應用】（3）如圖3，在中，，，，D為邊的中點，連接，E為邊上一動點，連接交于點F．若．求的長度；【變式1】（2025·山東濟寧·一模）（1）如圖①，在中，若，，則邊上的中線的取值范圍是_____；（2）如圖②，在中，D是邊上的中點，于點交于點交于點F，連接，求證：；（3）如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于E，F(xiàn)兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明．【變式2】（2025·遼寧本溪·模擬預測）【問題初探】（1）如圖1，是的中線，，，求中線長度的取值范圍．小紅和小林兩名同學從不同角度進行思考，給出了兩種解題思路．①小紅同學的思考過程：如圖2，延長到點，使，連接，利用三角形中位線…；②小林同學的思考過程：如圖3，延長到點，使，連接，構造三角形全等…；請你選擇一名同學的解題思路，寫出解答過程．【遷移應用】（2）請你依照上述兩名同學的解題思路或者按照自己的思路，解答下面問題．如圖4，已知等腰中，，，點D在直線上移動，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，取中點，連接，猜想與之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想；【能力提升】（3）在（2）的條件下，若，，請你直接寫出的長度．【題型四】截長補短模型【例1】（2025·貴州黔東南·一模）閱讀材料，并解決問題：【思維指引】（1）如圖1等邊內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù).解決此題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時，連接，借助旋轉的性質可以推導出是______三角形；這樣利用旋轉變換，我們將三條線段轉化到一個三角形中，從而求出______；【知識遷移】（2）如圖2，在中，，，E、F為上的點且，請判斷，，的數(shù)量關系，并證明你的結論.【方法推廣】（3）如圖3，在中，，，，點P為內一點，連接，直接寫出的最小值.條件：AD為△ABC的角平分線，∠B=2∠C。結論：AB＋BD＝AC。證明：法1（截長法）:在線段AC上截取線段AB′＝AB，連接DB?！逜D為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。法2（補短法）:延長AB至點C′使得AC′＝AC，連接BC′?！逜D為△ABC的角平分線，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC?！纠?】（2025·廣東韶關·一模）【知識技能】（1）如圖1，點，分別在正方形的邊，上，，連接，試猜想，，之間的數(shù)量關系．梳理解答思路并完成填空．A．旋轉法：把繞點逆時針旋轉90°至，可使與重合，則，，可得，即，，三點共線．易證______，故，，之間的數(shù)量關系為________．B．截長補短法：延長至點，使得，由，，即，可以得到．【數(shù)學理解】（2）如圖2，在中，，，點，均在邊上，且，試猜想，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展探索】（3）如圖3，正方形的邊長為，，連接，分別交，于點，．若恰好為線段上靠近點的三等分點，求線段的長．【變式1】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）已知，在正方形中，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，連接并取其中點G，連接、．(1)如圖1，若的頂點E在線段上，則和的關系______；(2)如圖2，若的頂點E在線段上時，則（1）中的結論是否還成立?請說明理由；(3)若的頂點E在內，如圖3位置所示，則（1）中的結論是否還成立?請說明理由．【題型五】十字架模型【例1】（2025·廣東清遠·一模）已知正方形，點E，F(xiàn)分別為邊上兩點．【建立模型】（1）如圖1，連接，如果，求證：；【模型應用】（2）如圖2，點E為邊上一點，連接，作的垂直平分線交于點G，交于點F，若，，求的周長；【模型遷移】（3）如圖3，將沿折疊，使點B落在上的點G處，與交于點M，若，，求的長．條件：1）如圖1，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點，AE⊥BF；結論：AE=BF。證明：四邊形是正方形，，，∴AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。條件：2）如圖2，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AE⊥GF；結論：AE=GF。證明：在FC上取一點P，使得GB=PF，連結BP。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同1）中證明，可得AE=GF。條件：3）如圖3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點，EH⊥GF；結論：HE=GF。證明：在FC、BE上取一點P、Q，使得GB=PF，AH=QE，連結BP、AQ。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同理可證得：四邊形是平行四邊形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中證明，可得HE=GF?！纠?】（24-25九年級上·山西大同·期末）綜合與實踐數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)：一些含有兩條互相垂直的線段的圖形中，某些線段之間存在特殊的數(shù)量關系．他們進行了如下探究．(1)猜想證明如圖（1），在正方形中，點，，，分別在邊，，，上，且，請判斷和的數(shù)量關系，并加以證明．(2)遷移探究如圖（2），在中，，，點，分別在邊，上，且，求證：．(3)拓展應用如圖（3），在矩形中，，，平分交于點，點為上一點，交于點，交矩形的邊于點．當時，請直接寫出的長．【變式1】（24-25九年級上·湖南岳陽·期末）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是，上的兩點，連接，，，則的值為________；（2）如圖2，在矩形中，，點E是上的一點，連接，，且，則的值為_____；【類比探究】（3）如圖3，在四邊形中，，點E為上一點，連接，過點C作的垂線交的延長線于點G，交的延長線于點F，求證：；【拓展延伸】（4）如圖4，在中，，，，將沿翻折，點A落在點C處得，點E，F(xiàn)分別在邊，上，連接，，且，求的值．【題型六】半角模型【例1】（2025·貴州貴陽·模擬預測）當幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關系，我們稱之為“半角模型”，通常用“旋轉的觀點”看待圖形的幾何變換，使得兩個分散的角變換成為一個三角形，相當于構造出兩個三角形全等．【問題初探】（1）如圖1，在四邊形中，，、分別是、邊上的點，且，求出圖中線段之間的數(shù)量關系．如圖1，從條件出發(fā)：將繞著點逆時針旋轉到位置，根據(jù)“旋轉的性質”分析與之間的關系，再通過全等的性質得到線段之間的數(shù)量關系，可證得結論．【類比分析】（2）如圖2，在四邊形中，，，，且，，，求的長．【學以致用】（3）如圖3，在四邊形中，，與互補，點、分別在射線、上，且．當時，求出的周長．1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。證明：將△CBE繞點C逆時針旋轉90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線。∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過點C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對應邊上的高相等），再利用HL證得：△CBE≌△CHE，∴∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；結論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。證明：將△DBE繞點D順時針旋轉120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，過點D作DH⊥EF，DM⊥GF，則∠DHF=∠DMF=90°，∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形對應邊上的高相等），再利用HL證得：△DHF≌△DMF，∴∠HFD=∠MFD，同理可證：∠BFD=∠FED，即DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，過點F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，F(xiàn)H=CF=BD，∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2【例2】（23-24八年級上·北京東城·期中）已知，在四邊形中，分別是邊上的點，且．

(1)為探究上述問題，小王同學先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當時．小王同學探究此問題的方法是：延長到點，使，連接．請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路．小明的解題思路：先證明______；再證明了______，即可得出之間的數(shù)量關系為．(2)請你借鑒小王的方法探究圖2，當時，上述結論是否依然成立，如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．(3)如圖3，若分別是邊延長線上的點，其他已知條件不變，此時線段之間的數(shù)量關系為______．（不用證明）【變式1】（2024·甘肅蘭州·模擬預測）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，同學們以四邊形為背景，探究非動點的幾何問題．若四邊形是正方形，M，N分別在邊上，且，我們稱之為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．(1)【初步嘗試】如圖1，將繞點A順時針旋轉，點D與點B重合，得到，連接．用等式寫出線段的數(shù)量關系，并說明理由；(2)【類比探究】小啟改變點的位置后，進一步探究：如圖2，點M，N分別在正方形的邊的延長線上，，連接，用等式寫出線段的數(shù)量關系，并說明理由；(3)【拓展延伸】李老師提出新的探究方向：如圖3，在四邊形中，，，，點N，M分別在邊上，，用等式寫出線段的數(shù)量關系，并說明理由．【變式2】（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期末）【問題情境】神奇的半角模型在幾何圖形中，共頂點處的兩個角，其中較小的角是較大的角的一半時，我們稱之為半角模型．截長補短法是解決這類問題常用的方法．如圖1，在正方形中，以A為頂點的，與分別交于E、F兩點，為了探究之間的數(shù)量關系，小明的思路如下：如圖2，延長到點H，使，連接，先證明，再證明．從而得到之間的數(shù)量關系．(1)提出問題：之間的數(shù)量關系為________________．(2)知識應用：如圖3，，，以A為頂點的，，與分別交于E、F兩點，你認為（1）中的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．(3)知識拓展：如圖4，在四邊形中，，，．與互補，與分別交于E、F兩點，且，請直接寫出的周長________________．（用含a、b、c的式子表示．）搶分秘籍06全等三角形中常見的基本模型目錄【解密中考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）【題型一】一線三等角模型【題型二】手拉手模型-旋轉型全等【題型三】倍長中線模型【題型四】截長補短模型【題型五】十字架模型【題型六】半角模型：全等三角形中常見的基本模型綜合題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因導致失分。1．從考點頻率看，手拉手、一線三等角、半角模型高頻，常涉對應邊/角相等、幾何變換，多在幾何綜合題中出現(xiàn)。2．從題型角度看，以解答題的最后三題題為主，造模型證全等，壓軸題常結合動點、多模型綜合。分值10-12分左右，著實不少?。菏煊浤Ｐ吞卣骷拜o助線（如倍長中線、截長補短），針對不同題型專項訓練，總結模型應用規(guī)律?！绢}型一】一線三等角模型【例1】（2025·四川南充·一模）如圖，在四邊形中，，點是邊上一點，．(1)求證：；(2)若，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性質化簡【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質、勾股定理及二次根式的化簡等知識，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．（1）先求出，再證出，根據(jù)全等三角形的性質即可得證；（2）先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)全等三角形的性質可得，然后利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，，∴，在中，，由（1）已證：，∴，∵，∴．類型圖示條件結論同側一線三等角點P在線段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)△APC≌△BDP異側一線三等扇點P在線段AB的延長線上,∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)△APC≌△BDP【例2】（2025·廣東深圳·二模）在平行四邊形中，點，分別在邊，上．【嘗試初探】（1）如圖1，若平行四邊形是正方形，為的中點，，求的值；【深入探究】（2）如圖2，，，，求的值；【拓展延伸】（3）如圖3，與交于點，，，，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【知識點】全等三角形綜合問題、相似三角形的判定與性質綜合、根據(jù)正方形的性質證明、解直角三角形的相關計算【分析】（1）證明，由為中點得到，則，得到，，即可得到答案；（2）過點作于點，過點作交延長線于點，連，，證明都是等腰直角三角形，則，證明，即可得到答案；（3）延長，交于點點，過點作于，過點作交延長線于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性質進行證明即可．【詳解】（1）∵四邊形為正方形∴∴∵∴∴∵為中點∴，∴∴∴∴（2）過點作于點，過點作交延長線于點，連，，則，∵∴∴，∵，∴∴∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，是等腰直角三角形，∴，∴∴為等腰直角三角形∴∴∵，∴，∴為等腰直角三角形∴∵，∴，∵都是等腰直角三角形，∴，∴∴（3）延長，交于點點，過點作于，過點作交延長線于，不妨設，則，由，得由∴，∴，∵∴∴，∴∴，∵∴，相似比為∴∵∴∴【點睛】此題考查了正方形的性質、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、解直角三角形、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，綜合較強，證明三角形相似和全等是解題的關鍵．【變式1】（2025·山東泰安·一模）綜合與實踐【經(jīng)典再現(xiàn)】人教版八年級數(shù)學下冊教科書69頁14題：如圖1，四邊形是正方形，點是邊的中點，且交正方形外角的平分線于點．求證．（提示：取的中點，連接．）（1）請你思考題中的“提示”，這樣添加輔助線的目的是構造出______，進而得到．【類比探究】（2）如圖2，四邊形是矩形，且，點是邊的中點，，且交矩形外角的平分線于點，求的值（用含的式子表示）；【綜合應用】（3）如圖3，為邊上一點，連接，，在（2）的基礎上，當，，時，請直接寫出的長．【答案】（1）（2）（3）【知識點】根據(jù)正方形的性質證明、相似三角形的判定與性質綜合、全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形【分析】（1）根據(jù)正方形的性質可得，，，即可得出結論；（2）在上截取，連接，不妨設，則，，，從而可得，，可證，即可求解；（3）可設，，則，延長，，交于點R，作，交延長線于H，交的延長線于G，作于T，證明，可得，，，證明，可得，，由（2）知：，從而求得，，，根據(jù)得，，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，

取的中點H，連接，∵四邊形是正方形，∴，，∵E是的中點，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖2，

在上截取，連接，∵E時的中點，∴，不妨設，則，∵，∴，∴，由（1）得：，，∴，∴；（3）如圖3，

∵，∴可設，，則，延長，，交于點R，作，交延長線于H，交的延長線于G，作于T，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，由（1）知：，∵，∴，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，由（2）知：，∴，∴，∴，∴，由得，，∴，（舍去），∴．【點睛】本題考查正方形和矩形的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質及勾股定理，作出輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．【變式2】（2024·甘肅天水·二模）綜合與實踐感知：數(shù)學課上，老師給出了一個模型：如圖，點M在直線上，且（可以是直角、銳角或者鈍角），像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型，我們把它稱為“一線三等角”模型．應用：(1)如圖1，在矩形中，M，N分別為邊上的點，，且，則的數(shù)量關系是_____；(2)如圖2，在中，，，M是上的點（），且，，求的長；(3)如圖3，在四邊形中，，，，，求的值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、解直角三角形的相關計算、公式法解一元二次方程、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、解一元二次方程等知識，添加輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．（1）證明，則，，即可得到結論；（2）延長至點N，使，證明，則，設，則，，則，解得（負值已舍去）．則，過點M作于點D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可；（3）延長至點P，使，則，連接交的延長線于點Q，過點M作于點N，則四邊形為矩形，證明是等腰直角三角形，則，證明為等腰直角三角形，則．設，則，，，證明，得到，即，解得．證明，根據(jù)即可求出答案．【詳解】（1）解：．證明：四邊形為矩形，．，，又，∵，∴，，，，．故答案為：；（2）如圖1，延長至點N，使，．為等邊三角形，，∵，，∴，∴，∴，．設，則，，，解得（負值已舍去）．∴，過點M作于點D，在中，，，，，在中，，（3）如圖3，延長至點P，使，則，連接交的延長線于點Q，過點M作于點N，則四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，，，∴，為等腰直角三角形，．設，則，，，∵，∴，∵，∴，∴，，即，解得，（舍去），．，，，∴．【變式3】（2025·山東濟南·一模）（一）模型呈現(xiàn)（1）如圖1，點在直線上，，過點作于點，過點作于點，由，得，又，可以推理得到，進而得到_______，_______．我們把這個數(shù)學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；（二）模型體驗（2）如圖2，在中，點為上一點，，四邊形的周長為，的周長為．小誠同學發(fā)現(xiàn)根據(jù)模型可以推理得到，進而得到，那么，再根據(jù)題目中周長信息就可得_______；（三）模型拓展（3）如圖3，在中，，直線經(jīng)過點，且于點，于點．請猜想線段之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程：（四）模型應用（4）如圖4，已知在矩形中，，點在邊上，且．是對角線上一動點，是邊上一動點，且滿足，當在上運動時，請求線段的最大值，并求出此時線段的長度．【答案】（1）；（2）；（3），見解析；（4）當時【知識點】解直角三角形的相關計算、其他問題(二次函數(shù)綜合)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質綜合【分析】（1）由全等三角形的性質可得結論；（2）由全等三角形的性質得對應相等的線段，經(jīng)過等量代換即可求出；（3）證明，得，由，得，進而可得結論：（4）在上找一點使，延長交的延長線于點，過點作的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為．由矩形性質及勾股定理證明，求出，證明，進而證明，為等腰三角形，設，則，解直角三角形求出，，設，，證明，得，由二次函數(shù)的性質即可求解．【詳解】（1）解：，，故答案為：（2）解：四邊形的周長為，，，，的周長為，，，，，故答案為：；（3）解：；理由如下，，，，，，，，，，，，，，；（4）解：在上找一點使，延長交的延長線于點，過點作的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為．在矩形中，，，，，，，，，，，，，，為等腰三角形，，設，則，，，，，，，，，，，，，，，，∴，，設，，，，，即，，對稱軸為直線，當時，，即當時，．【點睛】本題主要涉及全等三角形的判定與性質、“一線三等角”模型等數(shù)學概念，利用“一線三等角”模型及全等三角形的判定定理證明三角形全等，進而得出對應邊相等；構造“一線三等角”模型，結合三角函數(shù)和相似三角形的性質及二次函數(shù)的性質，求解線段的最值及相應長度是正確解題的關鍵．【題型二】手拉手模型-旋轉型全等【例1】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）如圖①，和都是等腰直角三角形，，當點在線段上，點在線段上時，我們很容易得到，，不需證明．(1)如圖②，將繞點逆時針旋轉，連接和，猜想：和的位置關系；數(shù)量關系：，并給出證明過程．(2)如圖③，當繞點逆時針旋轉，使得點恰好落在的延長線上，連接．若，，則線段＝；(3)若為中點，連接，，，當繞點逆時針旋轉時，最大值為，最小值為，則的值為．【答案】(1)，，理由見解析(2)(3)【知識點】根據(jù)旋轉的性質求解、點與圓上一點的最值問題、全等的性質和SAS綜合（SAS）、用勾股定理解三角形【分析】（1）利用，證明，得，．（2）證明，得，則，再利用勾股定理可得答案．（3）連接、，先根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質求得，當繞點逆時針旋轉時，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，所以當點在直線上時，有最大和最小值，由圖可得的最大值為，最小值為，即．【詳解】（1）解：，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∵將繞點逆時針旋轉，∴，∴，∴，．如圖，延長與相交于H，在中，∴∴即．（2）解：∵∴又∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：如圖，連接、，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當點在直線上時，有最大值和最小值，∴由圖可得的最大值為，最小值為，∴，故答案為：．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質，兩點之間線段最短、二次根式的計算等知識，證明是解題的關鍵．圖示OC在△OAB內且拉手線無交點OC在△OAB外且拉手線無交點OC在△OAB外且拉手線有交點條件在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,將ΔOCD繞點0旋轉一定角度后,連接AC,BD(稱為“拉手線”左手拉左手,右手拉右手),若拉手線有交點,記相交于點,連接OE結論1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手線相等);2.EO平分∠AED:3.∠AEB=∠AOB=a【例2】（2025·山西運城·模擬預測）綜合與探究問題情境：在研究旋轉問題時，卓越小組的同學使用了兩個全等的直角三角形展開探究．如圖1，將兩個三角形點A重合放置，，，．將固定，繞點A旋轉．猜想證明：（1）如圖2，當點D落在邊上時，連接，試猜想與的位置關系，并進行證明．問題拓展：（2）如圖3，當點D落在邊上時，過點D作，過點E作，與交于點F，連接，求的長．深入探究：（3）在繞點A旋轉的過程中，直線與直線交于點M，N，直線與直線交于點P，當時，請直接寫出四邊形的面積．【答案】（1），證明見解析；（2）3；（3）或．【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、解直角三角形的相關計算、根據(jù)矩形的性質與判定求線段長、根據(jù)旋轉的性質求解【分析】（1）由旋轉的性質知，從而得；（2）先證明四邊形是矩形，再證明即可得；（3）分兩種情況：在上方時平行；在下方時平行，即可求得四邊形的面積．【詳解】解：（1）；證明如下：由旋轉知，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴，∴四邊形是矩形；∴；由旋轉知，，，∴，；∵，∴；∵，∴；∵，∴，∴；（3）∵，，∴；∵，，，∴；當在上方與之平行時，如圖；則，，由旋轉得，∴；∴；∵，∴，∴，∴，即點P是的中點，∴；∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴；當在下方與之平行時，如圖，與前一情況相同，點P是的中點，，，∴；∵，∴，∴，∴，∴；綜上，四邊形的面積為或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，旋轉的性質，等腰三角形的判定，銳角三角函數(shù)等知識，有一定的綜合性，注意分類討論思想的應用．【變式1】（2025·黑龍江牡丹江·一模）在菱形中，，是射線上一動點，以為邊向右側作等邊三角形，點的位置隨點的位置變化而變化，連接．推理證明：（）當點在菱形內部或邊上時，如圖①，求證：；寫出圖①的證明過程；探究問題：（）當點在菱形外部時，如圖②，圖③，請分別寫出線段之間的數(shù)量關系，不需證明；拓展思考：（）在（）和（）的條件下，若，，則的長為__________．圖①

圖②

圖③【答案】（）證明見解析；（）圖②中，；圖③中，；（）或【知識點】等邊三角形的判定和性質、利用菱形的性質證明、全等的性質和SAS綜合（SAS）、解直角三角形的相關計算【分析】（）連接，交于，可證，得到，即得，由可得，即可求證；（）如圖②，連接，同理（）可證，得，即得，由可得即可求解；如圖③，連接，同理可求解；（）由已知可得點在線段上，再根據(jù)圖①和圖②解答即可求解．【詳解】（）證明：連接，交于，∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（）如圖②，，理由如下：連接，同理（）可證，∴，∴，∵，∴；如圖③，，理由如下：連接，同理（）可證，∴，∴，∵，∴；（）∵，，∴點在線段上，如圖①，當點在菱形內部或邊上時，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；當點在菱形外部時，如圖②，同理可得，∴；綜上，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．【變式2】（2025·廣西·一模）【經(jīng)典回顧】（1）如圖1，，都是等邊三角形，連接，．求證：；【類比遷移】（2）如圖2，，都是等腰直角三角形，，連接，相交于點，與相交于點，類比（1）有．點，，分別為，，的中點，連接，，與相交于點．請判斷，的關系，并證明；【拓展應用】（3）在（2）的條件下，連接，如圖3，繞點旋轉，若，．求旋轉過程中，面積的最大值．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、與三角形中位線有關的證明、等邊三角形的性質、根據(jù)旋轉的性質求解【分析】（1）結合等邊三角形的性質證明，從而可得結論；（2）由（1）知，可得，，結合和的中位線，可得，，，，再進一步求解即可；（3）由（2）可知，，可得，可得當最大時，最大，再進一步求解即可；【詳解】解：（1），為等邊三角形，，，，，即，；（2）且；證明：由（1）知，，，，點，，分別為，，的中點，，分別是和的中位線，∴，，，，.，，，在和中，，∵，，，∵，，；（3）由（2）可知，，是等腰直角三角形，，當最大時，最大.在繞點旋轉時，，當點恰好在的延長線上時最長，最大長度為，的最大值.【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的中位線的性質，旋轉的性質，熟練的掌握基礎幾何圖形的性質是解本題的關鍵.【變式3】（2025·廣東深圳·一模）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，將正方形和正方形按如圖所示的位置擺放，連接和，則與的數(shù)量關系是______，請說明理由．【類比探究】（2）若將“正方形和正方形”改成“矩形和矩形，且矩形矩形，”，如圖，點E、D、G三點共線，點G在線段上時，若，求的長．【拓展延伸】（3）若將“正方形和正方形改成“菱形和菱形，且菱形菱形，如圖3，平分，點P在射線上，在射線上截取，使得，連接，當時，直接寫出的長．【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）或．【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、解直角三角形的相關計算、全等三角形綜合問題、根據(jù)正方形的性質證明【分析】（1）可證明，從而，進一步得出結論；（2）作于，可依次求得，，，解直角三角形求得，，可證明，從而，從而得出；（3）分為兩種情形：當在上時，連接，交于，作，交的延長線于，可證得，，從而得出，從而，可推出，從而，從而得出，設，，可求得，從而，從而得出，根據(jù)勾股定理得，得出，進而得出結果；當在的延長線上時，同樣方法得出結果．【詳解】解：（1）四邊形和四邊形是正方形，，，，，，故答案為：；（2）如圖2，作于，

四邊形是矩形，，，，，由得，，，，在中，，，，，矩形矩形，，，，，，；（3）如圖3，當在上時，連接，交于，作，交的延長線于，四邊形是菱形，，，菱形菱形，，，，，，平分，，；，，，，∵，∴，，，，，，，，設，，如圖4，過I作于M，

∵，，，∴，∵，，，∴∴，∴，∴，∴，，，，，，∴；如圖5，當在的延長線上時，

由上可知：，，∴；綜上所述：或．【點睛】本題考查了正方形、矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是正確分類，作輔助線，構造直角三角形．【題型三】倍長中線模型【例1】（2025·山東青島·模擬預測）【問題提出】小紅遇到這樣一個問題：如圖1，中，，，是中線，求的取值范圍．【構建模型】她的做法是：延長到E，使，連接，證明，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．她的這種做法把中線延長了一倍，所以我們通常稱為“倍長中線法”．請回答：（1）小紅證明的判定定理是：．（2）的取值范圍是【模型應用】（3）如圖2，在中，是的中線，，在上取一點E，連接，若，則“燕尾”四邊形的面積為．【答案】（1）；（2），（3）8【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質和判定、確定第三邊的取值范圍、三角形內角和定理的應用【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形三邊關系，等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質得出，，根據(jù)三角形三邊關系求出，即可求解；（3）延長至點F，使，同（1）可證，得出，，，進而得出，根據(jù)等邊對等角和三角形內角和定理可求出，然后根據(jù)“燕尾”四邊形的面積為求解即可．【詳解】解：（1）延長到E，使，連接BE，∵是中線，∴，又，∴，故答案為：；（2）∵，，∴，，又，∴，即，∴，∴，故答案為：；（3）延長至點F，使，同（1）可證，∴，，，又，∴，∴，∴，∴，∴“燕尾”四邊形的面積為，故答案為：8．1）倍長中線模型（中線型）條件：AD為△ABC的中線。結論：證明：延長AD至點E，使DE=AD，連結CE?！逜D為△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）2）倍長類中線模型（中點型）條件：△ABC中，D為BC邊的中點，E為AB邊上一點（不同于端點）。結論：△EDB≌△FDC。證明：延長ED，使DF=DE，連接CF?！逥為BC邊的中點，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）【例2】（2024·甘肅白銀·一模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，D為邊的中點，連接并延長至點H，使，連接．由，得，則與的數(shù)量關系為________，位置關系為_______．【嘗試應用】（2）如圖2，在中，平分，D為邊的中點，過點D作，交的延長線于點Q，交邊于點K．試判斷與的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展應用】（3）如圖3，在中，，，，D為邊的中點，連接，E為邊上一動點，連接交于點F．若．求的長度；【答案】（1），；（2），理由見詳解；（3）【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、相似三角形的判定與性質綜合、等腰三角形的性質和判定【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，等邊對等角和平行線的性質，熟知全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．（1）證，得，，再由平行線的判定得即可；（2）延長至點，使，連接，證，得，，再平行線的性質得，，然后證，即可得出結論；（3）延長至使得，連接，先證明，得，，再證明，根據(jù)相似三角形的性質求出的長，進而求出的長，進一步證明，利用相似三角形的性質即可求出的長．【詳解】（1）解：為邊的中點，，，，，，，，故答案為：，；（2）解：，理由如下：如圖2，延長至點，使，連接，

為的中點，，，，，，，，，，平分，，，；（3）解：延長至使得，連接，

為邊的中點，，，，，，，，在中，，，，D為邊的中點，，，，，∴，，，，即，，，∴，

，∴，，即，∴．【變式1】（2025·山東濟寧·一模）（1）如圖①，在中，若，，則邊上的中線的取值范圍是_____；（2）如圖②，在中，D是邊上的中點，于點交于點交于點F，連接，求證：；（3）如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交，于E，F(xiàn)兩點，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【知識點】確定第三邊的取值范圍、倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)、用SAS證明三角形全等（SAS）、根據(jù)等邊對等角證明【分析】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、三角形的三邊關系定理、角的和差等知識點，通過作輔助線，構造兩個全等三角形是解題關鍵．（1）延長至，使，連接，證明，得出，再利用三角形三邊關系即可得出答案；（2）延長至點，使，連接，，同（1）得，，得出再證明，得出，最后再利用三角形三邊關系即可得出答案；（3）延長至點，使，連接，證明得出，再證明，得出，即可得證．【詳解】（1）解：延長至，使，連接，如圖1所示：∵是邊上的中線，∴，在和中，∴，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴，即，∴；故答案為：；（2）證明：延長至點，使，連接，，如圖所示，同（1）得，，，，∴，在中，由三角形的三邊關系得，；（3），證明如下：延長至點，使，連接，如圖所示，，，在和中，，∴，，，，在和中，∴，．，．【變式2】（2025·遼寧本溪·模擬預測）【問題初探】（1）如圖1，是的中線，，，求中線長度的取值范圍．小紅和小林兩名同學從不同角度進行思考，給出了兩種解題思路．①小紅同學的思考過程：如圖2，延長到點，使，連接，利用三角形中位線…；②小林同學的思考過程：如圖3，延長到點，使，連接，構造三角形全等…；請你選擇一名同學的解題思路，寫出解答過程．【遷移應用】（2）請你依照上述兩名同學的解題思路或者按照自己的思路，解答下面問題．如圖4，已知等腰中，，，點D在直線上移動，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，取中點，連接，猜想與之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想；【能力提升】（3）在（2）的條件下，若，，請你直接寫出的長度．【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3）或【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、根據(jù)旋轉的性質求解、二次根式的應用、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了三角形的中位線定理、三角形全等的判定與性質、旋轉的性質、勾股定理等知識，通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．（1）①小紅同學的解題思路：延長到點，使，連接，先根據(jù)三角形的中位線定理可得，再根據(jù)三角形的三邊關系可得，由此即可得；②小林同學的解題思路：延長到點，使，連接，先證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，然后根據(jù)三角形的三邊關系可得，由此即可得；（2），證明：延長至，使，連接，先根據(jù)三角形的中位線定理可得，再證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，由此即可得；（3）先利用勾股定理可得，再分兩種情況：①當在點的右側時，②當在點的左側時，先求出的長，再參考（2）的思路證出，由此即可得．【詳解】解：（1）①小紅同學的解題思路：如圖，延長到點，使，連接，∵是的中線，，∴是的中位線，∴，即，∵，，∴，∵，∴在中，，即，∴，∴．②小林同學的解題思路：如圖，延長到點，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴在中，，即，∴，∴．（2），證明如下：如圖，延長至，使，連接，∵點為中點，，∴是的中位線，∴，∵，∴，∵將繞點逆時針旋轉得到，∴，，∴，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴．（3）∵等腰中，，，∴，∵．則分以下兩種情況：①如圖，當在點的右側時，∴，由（2）已證：，∴；②如圖，當在點的左側時，延長至，使，連接，∵點為中點，，∴是的中位線，∴，∵，∴，∵將繞點逆時針旋轉得到，∴，，∴，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴；綜上，的長度為或．【題型四】截長補短模型【例1】（2025·貴州黔東南·一模）閱讀材料，并解決問題：【思維指引】（1）如圖1等邊內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù).解決此題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時，連接，借助旋轉的性質可以推導出是______三角形；這樣利用旋轉變換，我們將三條線段轉化到一個三角形中，從而求出______；【知識遷移】（2）如圖2，在中，，，E、F為上的點且，請判斷，，的數(shù)量關系，并證明你的結論.【方法推廣】（3）如圖3，在中，，，，點P為內一點，連接，直接寫出的最小值.【答案】（1）等邊；150；（2），理由見解析過程；（3）【知識點】全等三角形綜合問題、根據(jù)旋轉的性質求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形【分析】（1）根據(jù)旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）根據(jù)旋轉的性質可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證；（3）由旋轉的性質可得，由等腰直角三角形的性質可得，即，則當A，P，，四點共線時，取到最小值，最小值為長，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1），，，，依題意得旋轉角，為等邊三角形，，，，為直角三角形，且，；故答案為：等邊；150；（2），理由如下：如圖2，把繞點A逆時針旋轉得到，由旋轉的性質得，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，由勾股定理得，，即；（3）如圖，在內部任取一點P，連接，，，將繞點B順時針旋轉得到，由旋轉的性質得：，，，，當A，P，，四點共線時，取到最小值，最小值為長，如圖，過點A作垂線交延長線于點D，，，，，又，，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉構造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關鍵．條件：AD為△ABC的角平分線，∠B=2∠C。結論：AB＋BD＝AC。證明：法1（截長法）:在線段AC上截取線段AB′＝AB，連接DB?！逜D為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。法2（補短法）:延長AB至點C′使得AC′＝AC，連接BC′?！逜D為△ABC的角平分線，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC?！纠?】（2025·廣東韶關·一模）【知識技能】（1）如圖1，點，分別在正方形的邊，上，，連接，試猜想，，之間的數(shù)量關系．梳理解答思路并完成填空．A．旋轉法：把繞點逆時針旋轉90°至，可使與重合，則，，可得，即，，三點共線．易證______，故，，之間的數(shù)量關系為________．B．截長補短法：延長至點，使得，由，，即，可以得到．【數(shù)學理解】（2）如圖2，在中，，，點，均在邊上，且，試猜想，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展探索】（3）如圖3，正方形的邊長為，，連接，分別交，于點，．若恰好為線段上靠近點的三等分點，求線段的長．【答案】（1）；

（2）；理由見解析（3）【知識點】全等三角形綜合問題、根據(jù)正方形的性質證明、用勾股定理解三角形、根據(jù)旋轉的性質求解【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）根據(jù)證明思路可得答案；（2）把繞點順時針旋轉90°得到，連接，證明，即可解答；（3）將繞點順時針旋轉90°，得到，連接，結合（2）中的結論，列方程，即可解答．【詳解】解：（1），，，，，，，故答案為：；；（2）．理由：如圖1，把繞點順時針旋轉得到，連接，，，，，．，，，，，，，，在和中，，，．在中，，；（3）正方形的邊長為，，．如圖2，將繞點順時針旋轉，得到，連接．由（2），可得．設，，，，根據(jù)勾股定理可得，解得，．【變式1】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）已知，在正方形中，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，連接并取其中點G，連接、．(1)如圖1，若的頂點E在線段上，則和的關系______；(2)如圖2，若的頂點E在線段上時，則（1）中的結論是否還成立?請說明理由；(3)若的頂點E在內，如圖3位置所示，則（1）中的結論是否還成立?請說明理由．【答案】(1)，(2)成立，證明見解析；(3)成立，證明見解析；【知識點】根據(jù)正方形的性質證明、斜邊的中線等于斜邊的一半、全等三角形綜合問題【分析】本題是四邊形綜合題目，（1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證出；再證明，得出；（2）延長至，使，連接，，，先證，得，，再證，得，，然后證為等腰直角三角形，即可解決問題．（3）先證明，得出，再證明，得出，，得出，證出為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質即可得出結論．【詳解】（1）證明：在中，為的中點，，∴，同理：，，∴，四邊形是正方形，，，∵，，，；（2）解：（1）中結論仍然成立，理由如下：延長至，使，連接，，，如圖②所示：在與中，，，，，在正方形中，，，，，，是等腰直角三角形，，，在與中，，，，，，為等腰直角三角形，，，，（3）解：（1）中的結論仍然成立．理由如下：過作的平行線并延長交于點，連接、，過作于，如圖③所示：，在與中，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，在與中，，，，，，為等腰直角三角形，為中點，，．【點睛】本題涉及了正方形的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，利用倍長中線構造三角形全等，兩次證明三角形全等是解決問題的關鍵．【題型五】十字架模型【例1】（2025·廣東清遠·一模）已知正方形，點E，F(xiàn)分別為邊上兩點．【建立模型】（1）如圖1，連接，如果，求證：；【模型應用】（2）如圖2，點E為邊上一點，連接，作的垂直平分線交于點G，交于點F，若，，求的周長；【模型遷移】（3）如圖3，將沿折疊，使點B落在上的點G處，與交于點M，若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【知識點】用勾股定理解三角形、正方形折疊問題、全等三角形綜合問題、線段垂直平分線的性質【分析】本題考查了正方形的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，折疊的性質，熟練掌握正方形的性質和折疊的不變性是解題的關鍵．（1）證明即可；（2）連接，過點作于點H，由垂直平分，則，，可得四邊形為矩形，證明，則，同理可證明四邊形為矩形，設，則，，則，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可求解周長；（3）由折疊可得：，同（1），，，則，，由勾股定理得，由面積法得到，再由即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）解：連接，過點作于點H，∵垂直平分，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，同理可證明四邊形為矩形，∴，∵四邊形是正方形，∴設，則，∴，∴，在中，由勾股定理得：∴解得：，∴，∴，∴的周長為：；（3）如圖：由折疊可得：，，同（1），，∴，∴，∵，∴，∴．條件：1）如圖1，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點，AE⊥BF；結論：AE=BF。證明：四邊形是正方形，，，∴AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。條件：2）如圖2，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AE⊥GF；結論：AE=GF。證明：在FC上取一點P，使得GB=PF，連結BP。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同1）中證明，可得AE=GF。條件：3）如圖3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點，EH⊥GF；結論：HE=GF。證明：在FC、BE上取一點P、Q，使得GB=PF，AH=QE，連結BP、AQ。四邊形是正方形，∴AB//CD，∴四邊形是平行四邊形，∴GF//BP，GF=BP，同理可證得：四邊形是平行四邊形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中證明，可得HE=GF?！纠?】（24-25九年級上·山西大同·期末）綜合與實踐數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)：一些含有兩條互相垂直的線段的圖形中，某些線段之間存在特殊的數(shù)量關系．他們進行了如下探究．(1)猜想證明如圖（1），在正方形中，點，，，分別在邊，，，上，且，請判斷和的數(shù)量關系，并加以證明．(2)遷移探究如圖（2），在中，，，點，分別在邊，上，且，求證：．(3)拓展應用如圖（3），在矩形中，，，平分交于點，點為上一點，交于點，交矩形的邊于點．當時，請直接寫出的長．【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析(3)【知識點】全等三角形綜合問題、相似三角形的判定與性質綜合、根據(jù)矩形的性質與判定求線段長、根據(jù)正方形的性質證明【分析】（1）過點作于點，過點作于點，如圖所示，由矩形性質得到相關角度與邊長，由三角形全等的判定得到即可得到答案；（2）過點作交的延長線于點，如圖所示，由三角形全等的判定確定，再由三角形相似的判定得到，從而得證；（3）由矩形的性質得到相關角度與邊長關系，再由矩形性質與三角形相似的判定得到，再由相似比求出，過點作交于點，如圖所示，先判定，再由相似三角形的判定與性質即可得到答案．【詳解】（1）解：，證明如下：過點作于點，過點作于點，如圖所示：則，在正方形中，，四邊形，四邊形是矩形，∴，設交于點，則，∴，∵，∴，∴；（2）證明：過點作交的延長線于點，如圖所示：∵，∴，∵，，∴，∴，，，∴，∴，又∵，∴；（3）解：在矩形中，，，∴，平分，∴，∴，∴，當時，如圖所示：此時，點在上，，，，，，，，，∴，∴，過點作交于點，如圖所示：，，，，，∴，，，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查相似綜合，涉及相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形性質、矩形的判定與性質、勾股定理、平行線的性質、角平分線定義、直角三角形性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握正方形及矩形性質、靈活運用全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質求解是解決問題的關鍵．【變式1】（24-25九年級上·湖南岳陽·期末）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是，上的兩點，連接，，，則的值為________；（2）如圖2，在矩形中，，點E是上的一點，連接，，且，則的值為_____；【類比探究】（3）如圖3，在四邊形中，，點E為上一點，連接，過點C作的垂線交的延長線于點G，交的延長線于點F，求證：；【拓展延伸】（4）如圖4，在中，，，，將沿翻折，點A落在點C處得，點E，F(xiàn)分別在邊，上，連接，，且，求的值．【答案】（1）1；（2）；（3）見解析；（4）．【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、解直角三角形的相關計算、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)正方形的性質證明【分析】本題主要考查了正方形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、折疊的性質、解直角三角形等知識，解題關鍵是熟練掌握相關知識并靈活運用．（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質得到，得到答案；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質計算即可；（3）過點作交的延長線于點，證明，列出比例式，證明結論；（4）過點作于點，連接交于點，與相交于點，根據(jù)正切的定義得到，根據(jù)勾股定理分別求出、，根據(jù)三角形的面積公式求出，計算即可．【詳解】（1）解：設與交于點，如圖所示：四邊形是正方形，，，，，，又∵，，在和中，，，∴，即，（2）設與交于點，如圖所示：四邊形是矩形，，，，∴，，，，，又∵，，，，，（3）證明：過點作交的延長線于點，如圖所示：，，四邊形為矩形，，，又∵，，，，，，；（4）∵將沿翻折，點落在點處得，∴，∴垂直平分，過點作于點，連接交于點，如圖所示：，，，，，，，在中，，，即，設，則，，，或（線段長的負值舍去），，，，，，，．【題型六】半角模型【例1】（2025·貴州貴陽·模擬預測）當幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關系，我們稱之為“半角模型”，通常用“旋轉的觀點”看待圖形的幾何變換，使得兩個分散的角變換成為一個三角形，相當于構造出兩個三角形全等．【問題初探】（1）如圖1，在四邊形中，，、分別是、邊上的點，且，求出圖中線段之間的數(shù)量關系．如圖1，從條件出發(fā)：將繞著點逆時針旋轉到位置，根據(jù)“旋轉的性質”分析與之間的關系，再通過全等的性質得到線段之間的數(shù)量關系，可證得結論．【類比分析】（2）如圖2，在四邊形中，，，，且，，，求的長．【學以致用】（3）如圖3，在四邊形中，，與互補，點、分別在射線、上，且．當時，求出的周長．【答案】（1）；（2）；（3）【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)旋轉的性質求解、用勾股定理解三角形【分析】本題主要利用旋轉和全等三角形的性質來解決線段之間的數(shù)量關系，通過旋轉將分散的角和線段轉換為可以利用全等三角形性質的圖形，從而找到線段之間的關系．（1）根據(jù)旋轉的性質，繞點D逆時針旋轉得到，因此．由于，旋轉后也等于，根據(jù)全等條件，，從而得出．（2）在上取一點G，使得，通過條件證明，得出，再通過條件證明，得出，設，根據(jù)勾股定理再中解方程得出（3）在上截圖，通過條件證明，得出，再通過條件證明，得出，根據(jù)線段關系得出的周長為．【詳解】解：（1），理由如下：∵將繞點D逆時針旋轉得到，∴，∴三點共線，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）如圖在上取一點G，使得，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設，則，在中，，∴，解得：，∴．（3）在上截取，∵，∴，在和中，，∴，∴；∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；∵，∴，∴的周長．1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。證明：將△CBE繞點C逆時針旋轉90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共線。∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，∴AEF的周長=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，過點C作CH⊥EF，則∠CHE=90°，∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形對應邊上的高相等），再利用HL證得：△CBE≌△CHE，∴∠HEC=∠CBE，同理可證：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；結論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，B