第第頁(yè)期末解答壓軸題目錄：題型1：傳統(tǒng)解答證明題題型2：證明恒等式題型3：已知等腰三角形求角度題型4：新定義題題型5：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型6：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型7：翻折問(wèn)題題型8：（類(lèi)）情景探究題、數(shù)學(xué)活動(dòng)題題型9：新教材——線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)題型10：新教材——尺規(guī)作圖有關(guān)的解答證明題題型1：傳統(tǒng)解答證明題1．（23-24七年級(jí)下·上海寶山·期末）如圖，已知，直線(xiàn)交邊于點(diǎn)，，

(1)請(qǐng)說(shuō)明的理由；(2)如果為直線(xiàn)上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)．當(dāng)，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或．【分析】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，三角形內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）首先由對(duì)頂角相等得到，然后根據(jù)即可得到；（2）根據(jù)題意分點(diǎn)G在點(diǎn)F右邊和點(diǎn)G在點(diǎn)F左邊兩種情況討論，首先得到，然后分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)的概念求解即可．【解析】（1）∵∴∵∴∴；（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F左邊時(shí)，

∵∴∵∴∴∵和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)∴，∴∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F右邊時(shí)，

∵∴∵∴∴∵和的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)∴，∴∴；綜上所述，或．2．（23-24七年級(jí)下·上?！っＦ谀┮阎褐?，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．

(1)如圖1，，．垂足分別為E、F．求證：；(2)若．點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線(xiàn)上．且①如圖2，若點(diǎn)F（恰好在上），求證：；②如圖3，若點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】本題考查的是等面積法的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)：（1）如圖1，由點(diǎn)是的中點(diǎn)．可得結(jié)合，從而可得答案；（2）①如圖2，先證明為等邊三角形，過(guò)作交于證明為等邊三角形，證明可得從而可得結(jié)論；②如圖3，由①同理可得：為等邊三角形，可得再求解從而可得答案．【解析】（1）證明：如圖1，連接點(diǎn)是的中點(diǎn)．，（2）解：①如圖2，為等邊三角形，過(guò)作交于為等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，②如圖3，由①同理可得：為等邊三角形，為的中點(diǎn)，故答案為：題型2：證明恒等式3．（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·期末）如圖，和是等腰三角形且，，垂足為．(1)試說(shuō)明的理由(2)猜想和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)試說(shuō)明：．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）先根據(jù)等角的余角相等證得，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可得出，根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的定義，即可得證；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求得即可得出，進(jìn)而證明，即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)到，使得，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)證明，得到即可證得結(jié)論．【解析】（1）證明：∵，∴，，∴，在和中，∵，∴；∴，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴；又∵，∴，∴，∵，∴；（3）證明：延長(zhǎng)到，使得，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，，∵，

∴，，，∴，，∴，∵，∴在和中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線(xiàn)段的和差等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形求解線(xiàn)段問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．4．（20-21七年級(jí)下·上海·期末）如圖，已知在中，，AB＝AC，點(diǎn)D為邊AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為線(xiàn)段BD上一點(diǎn)．(1)如圖（1），若，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，BC邊的高AG交BD于點(diǎn)H．①若BD為的平分線(xiàn)，求證：．②若BD為的中線(xiàn)，聯(lián)結(jié)DF，求證：．(2)如圖（2），若AE＝AD，過(guò)點(diǎn)B作，交AE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作于Q，求證：AB＝BM＋QD．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)角之間的關(guān)系得出，再得出，從而得出，再根據(jù)三線(xiàn)合一的性質(zhì)得出，從而證明；②過(guò)C作交AF延長(zhǎng)線(xiàn)于N，根據(jù)角之間的關(guān)系得出，再證明，從而得出，AD＝CN，再證明，從而證明；（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)P，證明，從而得出，，再根據(jù)角之間的關(guān)系得出，從而證明，最后得出．【解析】（1）解：∵AB＝AC，，AG是BC邊上的高，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，∴（AAS），∴BH＝AF，∵，BE平分，∴，在與中∴≌∴∴．②過(guò)點(diǎn)C作交AF延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，∴（ASA），∴，AD＝CN，∵BD是中線(xiàn)，∴AD＝CD，∴CD＝CN，∵AB＝AC，，∴∵∴∴，在和中，∴（SAS），∴∴（2）解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)P，∴，∵，∴∴，，∵，∴，在和中，∴（AAS），∴AP＝DQ，，∵，，∴，∵AE＝AD，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，在和中，∴（AAS），∴BP＝BM，∵AB＝BP＋AP，∴AB＝BM＋QD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及全等的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及全等的判定是解答此題的關(guān)鍵．題型3：已知等腰三角形求角度5．（23-24七年級(jí)下·上海松江·期末）如圖，已知與都是等腰三角形，，，點(diǎn)D在邊邊上（不與B、C重合），且，交于．(1)試說(shuō)明與相等的理由；(2)連接，若，說(shuō)明與相等的理由；(3)若，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)或【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平角的意義，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可知，，再由三角形的內(nèi)角和定理即可得到，由此即可證明結(jié)論；（2）證明，可得，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一即可證明結(jié)論；（3）設(shè)，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三種情況討論即可解答．【解析】（1）證明：∵，，∴，，∵，∴又∵，，∴；∴，∴.（2）證明：如圖，在和中，，∴；∴，∵，∴，∵，∴.（3）解：設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，有三種情況討論：當(dāng)時(shí)，，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，此方程無(wú)解；綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時(shí)，是等腰三角形．6．（23-24七年級(jí)下·上海奉賢·期末）已知在中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，．(1)如圖1，點(diǎn)在的內(nèi)部．①當(dāng)，求的度數(shù)；②當(dāng)平分，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如果直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，如果是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)（直接寫(xiě)出答案）．【答案】(1)①；②為等邊三角形，見(jiàn)解析(2)的度數(shù)為或．【分析】（1）①根據(jù)，得，則，進(jìn)而得，再根據(jù)，得，進(jìn)而得，然后根據(jù)，得，由此可得的度數(shù)；②根據(jù)平分，設(shè)，則，根據(jù)得，根據(jù)得，則，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，進(jìn)而得，，，由此可判定的形狀；（2）分兩種情況討論如下：①當(dāng)直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，，再根據(jù)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，②當(dāng)直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，再求出，得，根據(jù)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，綜上所述即可得出的度數(shù)．【解析】（1）解：①在中，，，，，又，，，，，在中，，，；②為等邊三角形，理由如下：如圖1所示：平分，設(shè)，則，在中，，，在中，，，在中，，，，，，在中，，，，，，為等邊三角形；（2）解：的度數(shù)為或，理由如下：直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，且是以為腰的等腰三角形，有以下兩種情況：①當(dāng)直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)時(shí)，如圖2①所示：設(shè)，是以為腰的等腰三角形，即，，，，在中，，，，，，即，②當(dāng)直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)時(shí)，如圖2②所示：設(shè)，，，是以為腰的等腰三角形，即，，，在中，，，，，，，綜上所述：的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)．7．（上海市奉賢區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知在中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、、，．(1)如圖1，點(diǎn)在的內(nèi)部．①當(dāng)，求的度數(shù)；②當(dāng)平分，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如果直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，如果是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)（直接寫(xiě)出答案）．【答案】(1)①②為等邊三角形，理由見(jiàn)解析(2)的度數(shù)為或，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．（1）①根據(jù)，得，進(jìn)而得，再根據(jù)題意得，進(jìn)而得；②根據(jù)平分，設(shè)，則，根據(jù)得，根據(jù)得，則，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，進(jìn)而得，由此可判定的形狀；（2）分兩種情況討論如下：①當(dāng)直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，則，，再根據(jù)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，②當(dāng)直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，再求出，得，根據(jù)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，則，綜上所述即可得出的度數(shù)．【解析】（1）解：①在中，，，，，又，，，，，在中，，，；②為等邊三角形，理由如下：如圖1所示：平分，設(shè)，則，在中，，，在中，，，在中，，，，，，在中，，，，，，，為等邊三角形；（2）的度數(shù)為或，理由如下：直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，且是以為腰的等腰三角形，有以下兩種情況：①當(dāng)直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)時(shí)，如圖所示：設(shè)，是以為腰的等腰三角形，即，，，，在中，，，，，，即；②當(dāng)直線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)時(shí)，如圖所示：設(shè)，，，是以為腰的等腰三角形，即，，，在中，，，，，，；綜上所述，的度數(shù)為或．題型4：新定義題8．（23-24七年級(jí)下·上海嘉定·期末）閱讀理解概念：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿(mǎn)足，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．完成以下問(wèn)題：(1)填空：①若是“奇妙互余三角形”，，，則________②若是“奇妙互余三角形”，，，則________(2)如圖，在中，，是的角平分線(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明是“奇妙互余三角形”的理由．(3)在中，，，點(diǎn)P是射線(xiàn)上的一點(diǎn)，且是“奇妙互余三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)①；②或(2)理由見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）①根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”的定義，由于三角形內(nèi)角和是，，，只能是；②由“奇妙互余三角形”的定義得或，即可求解；（2）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得，而，所以，所以是“奇妙互余三角形”；（3）分為2種情況，當(dāng)P在線(xiàn)段上時(shí)和當(dāng)P在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)是“奇妙互余三角形”分別可解得答案．【解析】（1）①∵是“準(zhǔn)互余三角形”，，，∴，∴，故答案為：；②是“奇妙互余三角形”，，，當(dāng)時(shí)，∴∴，∴當(dāng)時(shí)，∴∴，∴．故答案為：或；（2）∵，∴，∵是的角平分線(xiàn)，∴，∴，∴是“奇妙互余三角形”．（3）解：當(dāng)P在線(xiàn)段上時(shí)，如圖：，是“奇妙互余三角形”，當(dāng)時(shí)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∴，∴；當(dāng)P在延長(zhǎng)線(xiàn)上，是“奇妙互余三角形”，如圖：∵，∴．當(dāng)時(shí)，∵，∴（舍去）；當(dāng)時(shí)，∵，∴（舍去）．綜上所述，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用、新定義問(wèn)題的求解等知識(shí)與方法，準(zhǔn)確地把握新定義的內(nèi)涵并且正確地畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．9．（23-24七年級(jí)下·上海長(zhǎng)寧·期末）在銳角三角形中，點(diǎn)D、E分別在邊上，連接，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)P，當(dāng)和都為等腰三角形時(shí)，我們把線(xiàn)段稱(chēng)為的完美翻折線(xiàn)，P為完美點(diǎn)．(1)如圖1，在等邊三角形中，邊的中點(diǎn)P是它的完美點(diǎn)，已知其完美翻折線(xiàn)的長(zhǎng)為4，那么等邊三角形的周長(zhǎng)＝．(2)如圖2，已知為的完美翻折線(xiàn)，P為完美點(diǎn)，當(dāng)恰為等腰三角形的頂角時(shí)，求此時(shí)的度數(shù)．(3)如圖3，已知為的完美翻折線(xiàn)，P為完美點(diǎn)，當(dāng)恰為等腰三角形的頂角時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)P到邊的距離是否相等？并說(shuō)明你的判斷理由．【答案】(1)24(2)(3)點(diǎn)P到邊的距離相等，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了三角形的折疊問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角定理構(gòu)造等量關(guān)系求解．（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，則，是等邊三角形，得是等邊三角形，進(jìn)一步得出，從而可得答案；（2）連接，設(shè)，根據(jù)三角形的外角定理和等腰三角形的性質(zhì)可得，，最后根據(jù)即可求解；（3）連接，過(guò)P作于點(diǎn)H，于點(diǎn)N，設(shè)，根據(jù)可得，則為的平分線(xiàn)，．【解析】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∵P為的完美點(diǎn)，∴，和是等腰三角形，∵∴和是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴等邊三角形的周長(zhǎng)為，故答案為：24．（2）連接，設(shè)，∵為的完美翻折線(xiàn)，∴，∴，∴，∴，∵和是等腰三角形，且都為頂角∴，∴，∵，∴，∴，即．（3）解：連接，過(guò)P作于點(diǎn)H，于點(diǎn)N，∵為的完美翻折線(xiàn)，∴，和是等腰三角形，設(shè)，∴，∴，∵為頂角，∴，∴，∴，∵，∴，∴，為的平分線(xiàn)，∴，所以，點(diǎn)P到邊的距離相等．10．（23-24七年級(jí)下·上海普陀·期末）小普同學(xué)在課外閱讀時(shí)，讀到了三角形內(nèi)有一個(gè)特殊點(diǎn)“布洛卡點(diǎn)”，關(guān)于“布洛卡點(diǎn)”有很多重要的結(jié)論．小普同學(xué)對(duì)“布洛卡點(diǎn)”也很感興趣，決定利用學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法研究“布洛卡點(diǎn)”在一些特殊三角形中的性質(zhì)．讓我們嘗試與小普同學(xué)一起來(lái)研究，完成以下問(wèn)題的解答或有關(guān)的填空．【閱讀定義】如圖1，內(nèi)有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足，那么點(diǎn)P稱(chēng)為的“布洛卡點(diǎn)”，其中、、被稱(chēng)為“布洛卡角”．如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q也是的“布洛卡點(diǎn)”．一般情況下，任意三角形會(huì)有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”．【解決問(wèn)題】（說(shuō)明：說(shuō)理過(guò)程可以不寫(xiě)理由）問(wèn)題1：等邊三角形的“布洛卡點(diǎn)”有個(gè)，“布洛卡角”的度數(shù)為度；問(wèn)題2：在等腰三角形中，已知，點(diǎn)M是的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，是“布洛卡角”．（1）與的底角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D3中，畫(huà)出必要的點(diǎn)和線(xiàn)段，完成示意圖后進(jìn)行說(shuō)理．（2）當(dāng)（如圖4所示），時(shí)，求點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離．【答案】問(wèn)題1：1，30；問(wèn)題2：（1），（2），【分析】問(wèn)題1：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和“布洛卡點(diǎn)”的定義即可知其“布洛卡點(diǎn)”個(gè)數(shù)和角度；問(wèn)題2：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合題意可知，則有，利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可得到；（2）過(guò)C點(diǎn)作與D，根據(jù)可得，且，由題意得，求得，，則有和，，繼而證明，則有和，即可得到，可得點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離．【解析】解：?jiǎn)栴}1：由題意知三角形中有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，∵等邊三角形每個(gè)角為，∴兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”重合為一個(gè)，且每個(gè)角為，故答案為：1，30．問(wèn)題2：（1），理由如下：∵，∴，∵M(jìn)是的“布洛卡點(diǎn)”，是“布洛卡角”，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴，（2）過(guò)C點(diǎn)作與D，如圖，則，∵，∴，∵，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義下的三角形角度理解，涉及等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角的應(yīng)用，解得的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，以及角度之間的轉(zhuǎn)化．題型5：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題11．（23-24七年級(jí)下·上海黃浦·期末）如圖，在中，，高、相交于點(diǎn)，，且．(1)請(qǐng)說(shuō)明的理由；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線(xiàn)段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線(xiàn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求當(dāng)為何值時(shí)，的面積為．(3)在(2)的條件下，點(diǎn)是直線(xiàn)上的一點(diǎn)且．當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形全等？請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)為或時(shí)，的面積為(3)或時(shí)，與全等【分析】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，（1）首先推導(dǎo)出，通過(guò)即可證明；（2）分兩種情形討論求解即可①當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，時(shí)；依據(jù)三角形面積計(jì)算公式解答即可；（3）分兩種情形求解即可①如圖中，當(dāng)時(shí)，．②如圖中，當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）如圖1中，是高，，是高，，，，，在和中，，，（2）解：由（1）知，，，，由題意①當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，，解得：；②當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，，，解得：，綜上，當(dāng)為或時(shí)，的面積為；（3）存在．①如圖2中，當(dāng)時(shí)，，，．，，解得，②如圖中，當(dāng)時(shí)，，，．，，解得．綜上所述，或時(shí)，與全等．12．（20-21七年級(jí)下·上海嘉定·期末）在等邊三角形的兩邊、所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)，為外一點(diǎn)，且，，．探究：當(dāng)點(diǎn)分別在直線(xiàn)、移動(dòng)時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊、上，且時(shí)，試說(shuō)明．(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊、上，且時(shí)，還成立嗎？答：．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)分別在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)一定成立(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而得到，證明，得到，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，證明，得到，，再證明，得到，即可得到答案；（3）在上截取，連接，證明，得到，，再證明，得到，即可得到答案．【解析】（1）證明：為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，為等邊三角形，，在中，，，同理可得，，；（2）解：一定成立，理由如下：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，，由（1）可知：，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，故答案為：一定成立；（3）解：如圖，在上截取，連接，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型6：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題13．（23-24七年級(jí)下·上海閔行·期末）如圖，已知在中，射線(xiàn)點(diǎn)P為射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合)，連接，將線(xiàn)段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α后，得到線(xiàn)段，連接、．(1)試說(shuō)明的理由；(2)延長(zhǎng)交射線(xiàn)于點(diǎn)D，在點(diǎn)P的移動(dòng)過(guò)程中，的大小是否發(fā)生變化?若改變請(qǐng)說(shuō)明理由，若不改變，請(qǐng)求出的大小(用含α的代數(shù)式表示)；(3)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作垂直射線(xiàn)，垂足為E，那么(用m、n的代數(shù)式表示)．【答案】(1)理由見(jiàn)解析(2)不改變，(3)【分析】（1）先證明，再根據(jù)兩條邊相等，即可證得兩個(gè)三角形全等；（2）先證明，得到，，再計(jì)算出的值，再證明，最后根據(jù)三角形外角定理即可求得的大??；（3）證明是的角平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)定理得到，，再根據(jù)，，即可得到和，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，∴，∴，∵，∴；（2）解：如下圖所示，連接，∵，∴,∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴大小不改變，且；（3）解：如下圖所示，∵，∴，∵，∴，∴是的角平分線(xiàn)，∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)、三角形外角定理、直角三角形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定條件．14．（22-23七年級(jí)下·上海·期末）已知與為等邊三角形，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；(1)如圖1，若旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，說(shuō)明的理由；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，與的夾角是否改變，若不改變，求出夾角的度數(shù)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)不變，【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到；（2）設(shè)，交于，與交于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得到．【解析】（1）與為等邊三角形，，，，，在與中，，，，，，；（2）與的夾角不改變，理由：設(shè)，交于，與交于，由（1）知，，，，，故與的夾角不改變．15．（22-23七年級(jí)下·上?！て谀┮阎谥校?，，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將射線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，直線(xiàn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)；(1)如圖，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求證：；(2)若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，那么第（1）小問(wèn)的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)或【分析】本題考查了幾何變換綜合題，掌握全等的方法，掌握等腰三角形的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．（1）由，得．由，得，．由，得．故．（2）由，，得．由，得．．由，得，，得．故．（3）①當(dāng)時(shí)，由，得．，，．由，得，故．②當(dāng)時(shí)，如圖所示．同①，．【解析】（1）證明：∵，，∴，，．，，，．，即，．在和中，，．（2）解：結(jié)論成立，理由：如圖，∵，∴，∵，．，．．，，∵，，．在和中，．（3）①當(dāng)時(shí)，如圖所示．，．，，．，，，．②當(dāng)時(shí)，如圖所示．同①，．綜上所述，或．16．（22-23七年級(jí)下·上海嘉定·期末）在中，，以為邊向外作等邊和等邊．

(1)如圖1，連接，與相交于點(diǎn)O．①說(shuō)明的理由．②°．（直接填答案）(2)如圖2，過(guò)D做的垂線(xiàn)，垂足為H，連接，交于點(diǎn)F，與相等嗎？為什么？【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②120(2)相等，理由見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的和差，再利用證明，即可證明；②設(shè)交于點(diǎn)P，由全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理可求出，進(jìn)而求解即可；（2）先證明，再證明，即可求證．【解析】（1）①∵和為等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；②設(shè)交于點(diǎn)P，

∵，∴，在和中，∵，∴，，故答案為：120；（2）相等，理由如下：∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．題型7：翻折問(wèn)題17．（23-24七年級(jí)下·上?！っＦ谀┤鐖D1，在中，延長(zhǎng)到D，使，E是上方一點(diǎn)，且，連接．(1)若，則______；(2)如圖2，若，將沿直線(xiàn)翻折得到，連接交于F，若，求證：F是的中點(diǎn)；(3)在如圖3，若，，將沿直線(xiàn)翻折得到，連接交于F，交于G，若，（）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）結(jié)合條件中角的關(guān)系，由三角形外角的性質(zhì)，得，證出，得，利用三角形內(nèi)角和求出即可；（2）同（1）證出，由翻折得，結(jié)合易得，即，由三線(xiàn)合一得F是的中點(diǎn)；（3）先利用折疊的性質(zhì)，證明，易得，利用三角形內(nèi)角和可得，由角的轉(zhuǎn)化得到，最后證明，進(jìn)而求得．【解析】（1）解：，，，，在與中，，，，∴，，，，故答案為：；（2）證明：，，，，在與中，，，，∴，如圖，連接，將沿直線(xiàn)翻折得到，，，，即．由三線(xiàn)合一，得：F是的中點(diǎn)；（3）解：如圖，連，延長(zhǎng)交于M，根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，，，，在與中，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，，，在與中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形翻折變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一，其中能夠利用全等三角形的性質(zhì)與翻折性質(zhì)得到的邊、角相等進(jìn)行等量代換是解題關(guān)鍵．題型8：（類(lèi)）情景探究題、數(shù)學(xué)活動(dòng)題18．（22-23七年級(jí)下·上海徐匯·期末）問(wèn)題：如圖，在中，，，平分，于點(diǎn)E，說(shuō)明的理由．分析：要說(shuō)明“一條線(xiàn)段等于另一條線(xiàn)段的兩倍”，我們?nèi)菀紫氲健熬€(xiàn)段的中點(diǎn)”和“等腰三角形的三線(xiàn)合一”兩個(gè)基本圖形．如圖1，若點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則．如圖2，在中，若，于點(diǎn)D，則．要求：請(qǐng)根據(jù)上述分析完成上述問(wèn)題的解答．

【答案】見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)F，證明，得到，再證明，得到，等量代換即可推出．【解析】解：延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)F，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的難點(diǎn)在讀懂材料，適當(dāng)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形．19．（22-23七年級(jí)下·上海·名校期末）已知，是等邊三角形，是直線(xiàn)上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作．交過(guò)且平行于的直線(xiàn)于，求證：；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，（如圖1）小明同學(xué)很快就證明了結(jié)論：他的做法是：取的中點(diǎn)，連結(jié)，然后證明．從而得到，我們繼續(xù)來(lái)研究：（1）如圖2、當(dāng)D是BC上的任意一點(diǎn)時(shí)，求證：（2）如圖3、當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：（3）當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)利用圖4畫(huà)出圖形，并說(shuō)明上面的結(jié)論是否成立（不必證明）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析，，仍成立【分析】（1）在AB上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形，得出∠BFD=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結(jié)論；（2）在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形得出∠F=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結(jié)論；（3）在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形，得出∠BFD=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：在AB上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等邊三角形，∴∠BFD=60°，∴∠AFD=120°，又∵AB∥CE，∴∠DCE=120°=∠AFD，而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；（2）證明：在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等邊三角形，∴∠F=60°，又∵AB∥CE，∴∠DCE=60°=∠F，而∠FAD=∠B+∠ADB，∠CDE=∠ADE+∠ADB，又∵∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；（3）解：AD=DE仍成立．理由如下：在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠FAD+∠ADB=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∵∠DBF=∠ABC=60°，∴△BDF是等邊三角形，∴∠AFD=60°，又∵AB∥CE，∴∠DCE=∠ABC=60°，∴∠AFD=∠DCE，∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過(guò)作輔助線(xiàn)證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．20．（23-24七年級(jí)下·上海徐匯·期末）【問(wèn)題情境】（1）如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，一個(gè)叔叔幫他出了一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接并延長(zhǎng)到D，使；連接并延長(zhǎng)到E，使，連接并測(cè)量出它的長(zhǎng)度，如果米，那么間的距離為_(kāi)_____米．

【探索應(yīng)用】（2）如圖2，在中，若，求邊上的中線(xiàn)的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)E使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷，中線(xiàn)的取值范圍是______；【拓展提升】（3）如圖3，在中，，，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，求證：．

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)即可得，據(jù)此可得答案；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)E使，再連接，由“”可證，可得，由三角形三邊關(guān)系可得；（3）在上截取，易證，可得和，進(jìn)而證明，可得，即可解題．【解析】解：（1）在和中，，∴，∴米；故答案為：；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)E使，再連接，如圖所示，

∵是邊上的中線(xiàn)，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，故答案為：；（3）在上截取，

∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．21．（22-23七年級(jí)下·上海靜安·期末）探究：（1）如圖（1），已知：在中，，，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)、．請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系是；拓展：（2）如圖（2），將探究中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線(xiàn)上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；應(yīng)用：（3）如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)為平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且和均為等邊三角形，連接、，若，①請(qǐng)直接寫(xiě)出圖3中所有全等三角形；②求證：是等邊三角形．【答案】（1）（2）成立，證明見(jiàn)解析（3）①②見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定．掌握一線(xiàn)三等角全等模型，是解題的關(guān)鍵．（1）證明，即可得出結(jié)論；（2）證明，即可得出結(jié)論；（3）①等邊三角形的性質(zhì)，推出，同（2）得到，進(jìn)而推出，；②根據(jù)，得到，，推出，即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）如圖1，直線(xiàn)，直線(xiàn)，，，，，在和中，，，，，；故答案為：；（2）成立，證明如下：如圖2，，，，在和中，，，，，；（3）①如圖3，∵和均為等邊三角形，∴，∴，∴，由（2）可知，，，，，和均為等邊三角形，，，，，在和中，，，∴，∵，∴，綜上：全等的圖形有；②為等邊三角形，理由如下：∵，，，為等邊三角形．22．（23-24七年級(jí)下·上海楊浦·期末）上海教育出版社七年級(jí)第二學(xué)期《練習(xí)部分》第60頁(yè)習(xí)題14.6（2）第5題及參考答案．5．過(guò)下面三角形的一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)，把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形：

參考答案：

小華在完成了以上解答后，對(duì)分割三角形的問(wèn)題產(chǎn)生了興趣，并提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：【問(wèn)題1】如圖1，中，，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案把分割成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與原三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等，另一個(gè)小三角形是等腰三角形．請(qǐng)直接畫(huà)出示意圖并標(biāo)出等腰三角形頂角的度數(shù)（示意圖畫(huà)在答題卡上）；

【問(wèn)題2】如果有一個(gè)內(nèi)角為的三角形被分割成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與原三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等，另一個(gè)小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大內(nèi)角的度數(shù)所有可能的值為_(kāi)_____；【問(wèn)題3】如圖2，在中，，在中，，分別用一條直線(xiàn)分割這兩個(gè)三角形，使分割成的兩個(gè)小三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)與分割成的兩個(gè)小三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)兩種不同的分割方案，直接畫(huà)出示意圖并標(biāo)出相應(yīng)的角的度數(shù)（示意圖畫(huà)在答題卡上）．

【答案】(1)頂角，見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】(問(wèn)題1)作的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)D，則，，此時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)頂角．(問(wèn)題2)根據(jù)(1)作較大內(nèi)角的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)D，則，此時(shí)，是等腰三角形．當(dāng)最大解答即可．(問(wèn)題3)根據(jù)題意，利用構(gòu)造角的平分線(xiàn)，構(gòu)造等角等方法，解答即可．【解析】(問(wèn)題1)如圖，作的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)D，則，，此時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)頂角．

(問(wèn)題2)根據(jù)(1)作較大內(nèi)角的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)D，則，此時(shí)，是等腰三角形．當(dāng)，最大，故答案為：；(問(wèn)題3)根據(jù)題意，設(shè)計(jì)如下：方案1：作的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)M，根據(jù)題意，得，；作，交于點(diǎn)N，根據(jù)題意，得，．

方案2：作，交于點(diǎn)Q，根據(jù)題意，得，；

作，交于點(diǎn)O，根據(jù)題意，得，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線(xiàn)的作圖，作一個(gè)角等于定角，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線(xiàn)的作圖，作一個(gè)角等于定角是解題的關(guān)鍵．題型9：新教材——線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)23．（2025七年級(jí)下·上?！?zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，，，的垂直平分線(xiàn)分別交，于點(diǎn)，點(diǎn)，連接．(1)如圖，求證：平分；(2)若點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，，重合），現(xiàn)以為一邊，作，使得點(diǎn)，在直線(xiàn)的同側(cè)，且．①求證：、、三點(diǎn)共線(xiàn)；②試探究，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)①見(jiàn)解析；②或，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義即可得到結(jié)論；（2）①如圖，連接，由（1）得，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，求得，得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，延長(zhǎng)到，使得，連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，同理可證．于是得到結(jié)論．【解析】（1）證明：，，，垂直平分，，，，，平分；（2）①證明：如圖，連接，，由（1）得，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，三點(diǎn)共線(xiàn)；②或．理由：分兩種情況討論：Ⅰ如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，延長(zhǎng)到，使得，連接，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，即；Ⅱ如備用圖2所示，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，，同理可證．綜上所述，，與之間的數(shù)量關(guān)系為或．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．24．（2025七年級(jí)下·上海·專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，P是等邊左側(cè)一點(diǎn)，垂直平分于E點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)M，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，設(shè)．(1)若，直接寫(xiě)出度數(shù)；(2)改變P點(diǎn)的位置，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是否改變？說(shuō)明理由；(3)如圖2，連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)不改變，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得：，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可解決問(wèn)題．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，設(shè)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和的角度計(jì)算即可解決問(wèn)題．（3）在上截?。ㄈ鐖D），易得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可．【解析】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，∵垂直平分于點(diǎn)，∴，，，，，，，，．（2）解：不改變，理由如下：是等邊三角形，垂直平分，設(shè)，，，，，．（3）解：平分，∴垂直平分，，在上截取，，，在與中∴，，，是等邊三角形，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．題型10：新教材——尺規(guī)作圖有關(guān)的解答證明題25．（2025七年級(jí)下·上?！?zhuān)題練習(xí)）材料呈現(xiàn)：如圖為某版本八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材的部分內(nèi)容．做一做：如圖，已知兩條線(xiàn)段和一個(gè)角，以長(zhǎng)的線(xiàn)段為已知角的鄰邊，短的線(xiàn)段為已知角的對(duì)邊，畫(huà)一個(gè)三角形．把你畫(huà)的三角形與其他同學(xué)畫(huà)的三角形進(jìn)行比較，所畫(huà)的三角形都全等嗎？此時(shí)，符合條件的角形有多少種？（1）[操作發(fā)現(xiàn)]如圖1，通過(guò)作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)（即“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等）的兩個(gè)三角形全等（填“一定”或“不一定”）．（2）[探究證明]閱讀并補(bǔ)全證明已知：如圖2，在ABC和DEF中，∠B＝∠E，AC＝DF，∠C+∠F＝180°（∠C＜∠F）．求證：AB＝DE．證明：在BC上取一點(diǎn)G，使AG＝AC．∵AG＝AC，∴∠C＝．又∵∠C+∠F＝180°，而∠AGC+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝．∵AC＝DF，∴AG＝又∵∴ABC≌DEF（AAS）．∴AB＝DE．（3）[拓展應(yīng)用]在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在射線(xiàn)BA上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD＝CE，連結(jié)DE，DE與BC邊所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BA上時(shí)，如圖3所示，求證：DF＝EF．②過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交直線(xiàn)BC于點(diǎn)H，若BC＝4，CF＝1，