楊浦區(qū)2024-2025學年第二學期高二年級數(shù)學期末2025.6一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．-3和5的等差中項是．

【答案】2．若一個球的半徑是1，則這個球的表面積是．

【答案】3．如圖，在長方體中，直線與直線的位置關系是．（填＂相交＂、＂平行＂或＂異面＂）

【答案】異面4．不透明的盒子里有2個紅球、3個白球，它們除顏色外其他都相同，那么從盒子里任意摸出一個球，這個球恰好為紅球的概率是．

【答案】5．已知圓柱的底面半徑是1，若圓柱的體積是，則該圓柱的高是．

【答案】6．已知圓的方程是，則這個圓的半徑是．

【答案】7．一組從小到大排列的10個數(shù)據(jù)：，這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是．

【答案】8．中國古代數(shù)學著作《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為＂塹堵＂．如圖，在塹堵中，已知，則二面角的大小為．

【答案】9．某高中為了了解高二年級學生的作業(yè)情況，利用隨機數(shù)表對該校400名高二學生進行抽樣，先將所有學生按進行編號，從中抽取40個樣本．若從下面的隨機數(shù)表中第1行第6列的數(shù)開始，依次向右，到行末后轉至下一行的行首，逐個取樣，直到取足樣本為止，則得到的第3個樣本編號是．【答案】10．雙曲線的兩條漸近線的夾角是，則該雙曲線的焦距長是．【答案】或；11．已知是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足，且（其中），則的最大值為．

【答案】【解析】解法一：設，則．由知，或，從而問題可轉化為以和為圓心，分別作半徑為1和2的圓，各圓交點的個數(shù)之和即滿足題意的，如下左圖所示，由圖知，的最大值為6．解法二：不妨設，，則由，得1或或或，畫出表示的圖形如上右圖所示，由圖可知各圖形共有6個交點，所以的最大值為6．12．已知曲線．給出下列四個結論：（1）曲線關于直線對稱；

（2）曲線上恰好有4個整點（即橫、縱坐標均是整數(shù)的點）；

（3）曲線上存在一點，使得到點的距離小于1；

（4）曲線所圍成區(qū)域的面積大于4．其中，所有正確結論的序號為．【答案】（2）（4）【解析】由，則，且，易知曲線為封閉曲線，所以，易得，故，時時時故曲線過點，顯然，不關于直線對稱，（1）錯；對于曲線上任意點，其關于軸對稱點為，則，故曲線關于軸對稱，綜上，曲線的大致圖形如下圖示，顯然曲線上恰好有4個整點，（2）對；

由圓過點，，故圓上點均在曲線上或內(nèi)，

所以曲線上不存在點，使得到點的距離小于1，（3）錯；

如圖中，四邊形在曲線內(nèi)部，故曲線所圍成區(qū)域的面積大于，（4）對．故答案為：（2）（4）．二、選擇題（本題共有4題，滿分20分，每題5分）.

13．用數(shù)學歸納法證明，第一步應驗證（）.

A．當時，不等式成立 B．當時，不等式成立

C．當時，不等式成立 D．當時，不等式成立

【答案】C14．在空間直角坐標系中，是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量．若，則（）.

A．4B．-4C．2D．-2

【答案】A15．某校組織學生選報數(shù)學建模、物理實驗兩門選修課，規(guī)定每位學生至少選報一門．已知選報數(shù)學建模的學生占比，選報物理實驗的學生占比．現(xiàn)在等可能的從該校選取一名學生，設事件為＂該學生選報數(shù)學建模＂，事件為＂該學生選報物理實驗＂，事件為＂該學生兩門選修課都選報＂，則下列結論錯誤的是（）.

A．B．與不互斥 C．D．與相互獨立【答案】D16．已知無窮數(shù)列是各項均為正數(shù)的嚴格減數(shù)列．若存在實數(shù)，對任意正整數(shù)都有成立，則稱數(shù)列具有＂性質(zhì)＂；若存在實數(shù)，對任意正實數(shù)，數(shù)列至多有一項屬于開區(qū)間，則稱數(shù)列具有＂性質(zhì)＂．則數(shù)列具有＂性質(zhì)＂是具有＂性質(zhì)＂的（）.

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）．

17．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知等差數(shù)列的公差是-2，等比數(shù)列的公比是2，若．

（1）求和的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】（1）．（2分）又，所以，．（4分）（2）記和的前項和分別為和．，（3分），（3分）所以．（2分）18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）在平面直角坐標系中，已知的三個頂點，

（1）求邊所在直線的一般式方程；

（2）若的面積等于2，且點在直線上，求點的坐標．【答案】（1）（2）或．【解析】（1）．（6分）（2）點到直線的距離，．，即．（4分）又因為，解得或．所以點的坐標為或．（4分）19．（本題滿分14分，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分）

隨著DeepSeek大模型的全面落地，人工智能行業(yè)迎來結構性變革．某人工智能實驗室記錄了5月17日至23日的模型訓練任務情況，如下表所示．例如：17日為數(shù)據(jù)清洗任務，訓練耗時9小時，模型準確率提升，當日效率（模型準確率提升值與訓練耗時的比值）為。日期17日18日19日20日21日22日23日任務數(shù)據(jù)清洗模型調(diào)試參數(shù)優(yōu)化輕度擬合架構調(diào)整算法優(yōu)化性能測試訓練耗時9小時12小時14小時12小時14小時12小時14小時準確率提升值（1）寫出訓練耗時的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差和極差；

（2）從17日至23日這七天中，隨機選取連續(xù)三天的數(shù)據(jù)，求這三天中至少有兩天的當日效率不低于的概率；

（3）該實驗室24日完成最終部署，耗時超過10小時．記17日至20日這四天訓練耗時的方差為日至24日這四天訓練耗時的方差為．若，求24日的訓練耗時．【答案】（1）平均數(shù)、中位數(shù)、標準差、極差（2）（3）小時【解析】（1）平均數(shù)為，中位數(shù)為，標準差為，極差為.（4分）（2）設“從日至日選取連續(xù)三天，至少有兩天的當日效率不低于”為事件．連續(xù)統(tǒng)計三天共有個基本事件，事件共有個基本事件，所以．（4分）答：這三天中至少有兩天的當日效率不低于的概率為．（3）日至日訓練耗時平均數(shù)為小時．方差．（2分）設日訓練耗時為小時，則日至日訓練耗時平均數(shù)為小時．方差（2分）所以，（舍）．（2分）答：日的訓練耗時為小時．20．（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）如圖，是等腰直角三角形，是中點，分別是邊上的動點，且．將沿折起，點折起到點的位置，使二面角的大小為，連接得到四棱錐．

（1）證明：直線平面；

（2）若點是線段的中點，求和底面所成的角的大?。?/p>

（3）當點在線段上（不含端點）運動時，求三棱錐的體積的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）因為∥，平面，平面．（2分）所以直線∥平面．（2分）（2）取線段的中點，連接．因為，所以．因為∥，，分別是的中點，所以．所以即為二面角的平面角，所以．（2分）過點作，垂足為．因為平面．所以，所以底面，所以即為和底面所成的角，大小為．（4分）（3）設，則，．．．（4分）當時，三棱錐的體積取最大值．（2分）21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）如圖，已知橢圓的焦距為2．若是橢圓的內(nèi)接三角形，點在軸上方，分別經(jīng)過橢圓的左右焦點，則稱為＂好三角形＂．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若＂好三角形＂滿足：，求點的坐標；

（3）證明：當點是橢圓的上頂點時，＂好三角形＂的面積最大．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】（1），，．（4分）（2）設，，，由可得：，所以：（2分）由點在橢圓上，可得：，即兩式相減：，解得（2分）由，可得：，即點