惠州惠城區(qū)往年數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,∞)

C.[1,∞)

D.(-∞,1]∪[1,∞)

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=25，則該數(shù)列的公差d等于（）

A.5

B.3

C.2

D.1

4.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則其最小正周期T等于（）

A.2π

B.π

C.π/2

D.π/4

5.拋擲一枚均勻的硬幣，連續(xù)拋擲3次，則恰好出現(xiàn)2次正面的概率是（）

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

6.若直線l的方程為3x-4y+12=0，則該直線在y軸上的截距是（）

A.-3

B.-4

C.3

D.4

7.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，則角C等于（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

8.已知圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則該圓與直線l的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

9.若函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值是（）

A.1

B.2

C.3

D.6

10.在直角坐標系中，點P(a,b)到原點的距離等于（）

A.√(a2+b2)

B.|a+b|

C.a2+b2

D.√(ab)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+x

D.f(x)=tan(x)

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=2，b?=16，則該數(shù)列的公比q等于（）

A.2

B.-2

C.4

D.-4

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則a+c>b+c

C.若a>b，則ac>bc

D.若a>b，則1/a<1/b

4.在直角坐標系中，若點A(1,2)和點B(3,0)，則向量AB的坐標等于（）

A.(2,-2)

B.(3,0)-(1,2)

C.(2,2)

D.(2,0)

5.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（）

A.f(x)=3x+1

B.f(x)=-2x+5

C.f(x)=x2（x≥0）

D.f(x)=log?(x)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若sinα=√3/2，且α是第二象限角，則cosα等于。

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√2，則邊c等于。

3.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，則f(x)的最小值是。

4.拋擲兩枚均勻的骰子，則兩枚骰子點數(shù)之和為5的概率是。

5.若直線l?的方程為y=2x+1，直線l?的方程為x-3y+6=0，則直線l?與直線l?的夾角θ（弧度）等于。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2cos2θ-3sinθ+1=0（0°≤θ<360°）

3.在△ABC中，已知a=5，b=7，C=60°，求邊c的長度。

4.求函數(shù)f(x)=x-2ln(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值和最小值。

5.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-by+9=0互相平行，求a和b的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.B

3.B

4.B

5.B

6.D

7.A

8.A

9.D

10.A

【解題過程】

1.A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則A∩B={x|2<x<3}，故選B。

2.由log?(x-1)有意義，需x-1>0，即x>1，故定義域為(1,∞)，故選B。

3.由等差數(shù)列性質(zhì)，a?=a?+4d，a??=a?+9d。聯(lián)立方程組：

a?+4d=10

a?+9d=25

解得d=5/5=1，故選D。

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π，故選B。

5.拋擲3次硬幣，出現(xiàn)2次正面的情況有C(3,2)=3種：正正反、正反正、反正正?？偳闆r數(shù)為23=8。故概率P=3/8，故選B。

6.直線方程3x-4y+12=0可化為y=(3/4)x+3。截距即為x=0時y的值，y=3，故選C。

7.由三角形內(nèi)角和，角C=180°-角A-角B=180°-45°-60°=75°，故選A。

8.圓心O到直線l的距離d=|12|/√(32+(-4)2)=12/5=2.4<3（半徑）。故直線與圓相交，故選A。

9.函數(shù)f(x)=x2-2x+3可化為f(x)=(x-1)2+2。對稱軸x=1，區(qū)間[1,3]在對稱軸右側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增。故最大值在x=3處取得，f(3)=32-2*3+3=6，故選D。

10.點P(a,b)到原點O(0,0)的距離|OP|=√((a-0)2+(b-0)2)=√(a2+b2)，故選A。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.ABD

2.AC

3.BCD

4.AB

5.AD

【解題過程】

1.奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=x2+x，f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x≠-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.f(x)=tan(x)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

故選ABD。

2.等比數(shù)列{b?}中，b?=b?q3。代入b?=2，b?=16，得2q3=16，即q3=8，解得q=2。若b?=-2，b?=16，則-2q3=16，q3=-8，解得q=-2。故選AC。

3.A.若a>b，但a和b可能為負數(shù)，例如a=2,b=-1，則a2=4,b2=1，a2>b2不成立。故錯誤。

B.加法法則成立，故正確。

C.若a>b，但b<0，則不等號方向改變，例如a=2,b=-1，則ac=2*(-1)=-2，bc=(-1)*(-1)=1，ac<bc。故錯誤。

D.若a>b>0，則1/a<1/b成立。若a>0>b，則1/a>0>1/b成立。若0>a>b，則1/a<0<1/b成立。綜上，不等號方向不一定改變，但當a,b均為正或均為負時成立。但題目要求“正確”的有，通常指在常見或特定條件下成立。在a>b時，若a,b同號，則成立。考慮到中學階段常討論正數(shù)范圍，可認為此命題視為正確。

故選BCD。

4.向量AB的坐標等于終點B減去起點A的坐標。

A.(3-1,0-2)=(2,-2)。與A選項(2,-2)一致。

B.(3,0)-(1,2)=(3-1,0-2)=(2,-2)。與A選項一致。

故選AB。

5.函數(shù)單調(diào)性。

A.f(x)=3x+1，f'(x)=3>0，在R上單調(diào)遞增，故在[1,e]上單調(diào)遞增，是增函數(shù)。

B.f(x)=-2x+5，f'(x)=-2<0，在R上單調(diào)遞減，故在[1,e]上單調(diào)遞減，不是增函數(shù)。

C.f(x)=x2（x≥0），定義域為[0,∞)。在[0,e]?[0,∞)上，f'(x)=2x。當x∈(0,e)時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。但需要考慮整個區(qū)間[1,e]，在x=1時f'(1)=2>0，在x=e時f'(e)=2e>0，故在[1,e]上單調(diào)遞增，是增函數(shù)。

D.f(x)=log?(x)，定義域為(0,∞)。在[1,e]?(0,∞)上，f'(x)=1/(xln(2))>0，函數(shù)單調(diào)遞增，是增函數(shù)。

故選AD。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.√(1-(√3/2)2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2。因為α是第二象限角，sinα>0，cosα<0。故cosα=-1/2。

2.由正弦定理，a/sinA=c/sinC。sinC=sin(180°-A-B)=sin(75°)=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。a/sin60°=c/(√6+√2)/4。5/√3=c/(√6+√2)/4。c=5√3*(√6+√2)/4=5√(2+√3)/4。

3.函數(shù)f(x)=x2-4x+3可化為f(x)=(x-2)2-1。對稱軸x=2。在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2,e]上單調(diào)遞增。故最小值在x=2處取得，f(2)=(2-2)2-1=-1。

4.拋擲兩枚骰子，總情況數(shù)為6*6=36。點數(shù)之和為5的情況有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種。故概率P=4/36=1/9。

5.直線l?:y=2x+1的斜率k?=2。直線l?:x-3y+6=0可化為y=(1/3)x+2，斜率k?=1/3。夾角θ滿足tanθ=|k?-k?|/(1+k?k?)=|2-1/3|/(1+2*(1/3))=|5/3|/(1+2/3)=5/3/5/3=1。因為k?>0,k?>0且k?>k?，θ在第一象限。故θ=π/4。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2*2+4=4+4+4=12.

2.解方程2cos2θ-3sinθ+1=0。利用cos2θ=1-sin2θ，得2(1-sin2θ)-3sinθ+1=0，即-2sin2θ-3sinθ+3=0，即2sin2θ+3sinθ-3=0。解此關(guān)于sinθ的一元二次方程，sinθ=[-3±√(32-4*2*(-3))]/(2*2)=[-3±√(9+24)]/4=[-3±√33]/4。sinθ?=(-3+√33)/4≈0.636，sinθ?=(-3-√33)/4≈-1.836。sinθ?在第一、二象限取值，sinθ?在所有象限均無解。θ?=arcsin((-3+√33)/4)或θ?=180°-arcsin((-3+√33)/4)。計算得θ?≈39.8°或θ?≈140.2°。在(0°,360°)內(nèi)，無解的sinθ?被舍去。故解集為{39.8°,140.2°}。

3.在△ABC中，由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC。代入a=5，b=7，C=60°，得c2=52+72-2*5*7*cos60°=25+49-70*(1/2)=74-35=39。故c=√39。

4.求f(x)=x-2ln(x)在[1,e]上的最值。求導(dǎo)數(shù)f'(x)=1-2/(x)=(x-2)/x。令f'(x)=0，得x=2。x=2在區(qū)間[1,e]內(nèi)。比較f(x)在端點和駐點的值：f(1)=1-2ln(1)=1；f(2)=2-2ln(2)=2-2ln(2)；f(e)=e-2ln(e)=e-2。因為e>2，ln(2)<1，所以2-2ln(2)>0。比較f(1)=1和f(e)=e-2，e-2>1(因為e≈2.718)。比較f(1)=1和f(2)=2-2ln(2)，f(2)<1。比較f(2)=2-2ln(2)和f(e)=e-2，f(2)<f(e)。故最小值為f(2)=2-2ln(2)，最大值為f(e)=e-2。

5.直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-by+9=0互相平行，則它們的斜率相等。將l?化為y=-ax/3+2，斜率k?=-a/3。將l?化為y=3x/b+9/b，斜率k?=3/b。令k?=k?，得-a/3=3/b，即ab=-9。又因為l?與l?平行，其法向量必須共線，l?的法向量為(a,3)，l?的法向量為(3,-b)。存在非零常數(shù)k，使得(a,3)=k(3,-b)，即a=3k，3=-bk。聯(lián)立ab=-9和3=-bk，代入a=3k，得(3k)b=-9，即3kb=-9。比較3=-bk，得b=-3/k。代入3kb=-9，得3k*(-3/k)=-9，即-9=-9，恒成立。所以a=3k，b=-3/k。ab=-9的條件也滿足。令k=1，則a=3，b=-3。若k=-1，則a=-3，b=3。故a=3,b=-3或a=-3,b=3。

【試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點分類和總結(jié)】

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學的基礎(chǔ)理論知識，主要涉及集合、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、概率統(tǒng)計等模塊。具體知識點分類如下：

一、集合與常用邏輯用語

1.集合的表示法（列舉法、描述法）

2.集合間的基本關(guān)系（包含、相等）

3.集合間的基本運算（并集、交集、補集）

4.命題及其關(guān)系（原命題、逆命題、否命題、逆否命題）

5.充分條件與必要條件

二、函數(shù)

1.函數(shù)的概念（定義域、值域、對應(yīng)法則）

2.函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）

3.基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)）的圖像與性質(zhì)

4.函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系

5.函數(shù)的最值

三、三角函數(shù)

1.任意角的概念、弧度制

2.任意角的三角函數(shù)定義（坐標法定義）

3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）

4.誘導(dǎo)公式

5.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性）

6.解三角形（正弦定理、余弦定理、面積公式）

7.反三角函數(shù)

四、數(shù)列

1.數(shù)列的概念（通項公式、前n項和）

2.等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式

3.等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式

4.數(shù)列的遞推關(guān)系

五、不等式

1.不等式的基本性質(zhì)

2.一元二次不等式的解法

3.基本不等式（均值不等式）及其應(yīng)用

六、解析幾何

1.直線方程的幾種形式（點斜式、斜截式、兩點式、一般式）

2.直線的斜率、傾斜角

3.直線間的關(guān)系（平行、垂直、相交）

4.圓的標準方程和一般方程

5.點到直線的距離公式

6.直線與圓的位置關(guān)系

七、概率統(tǒng)計

1.隨機事件及其概率

2.古典概型

3.條件概率

4.統(tǒng)