8.4.1平面第八章立體幾何初步數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．②能夠借助于符號語言準(zhǔn)確描述空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系．③掌握有關(guān)平面的三個基本事實和三個推論．學(xué)習(xí)重難點重點：掌握有關(guān)平面的三個基本事實和三個推論．難點：用符號語言及圖形語言表達空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系;運用三個基本事實及三個推論解決問題．課堂導(dǎo)入

前面我們初步認識了簡單幾何體的組成元素,知道了頂點、棱(直線段)、平面多邊形是構(gòu)成棱柱、棱錐等多面體的基本元素.我們以直觀感知的方式認識了這些基本元素之間的相互關(guān)系,從而得到了多面體的一些結(jié)構(gòu)特征，如觀察下圖.為了進一步認識立體圖形的結(jié)構(gòu)特征,需要對點、直線、平面之間的位置關(guān)系進行研究.本節(jié)我們先研究平面及其基本性質(zhì),在此基礎(chǔ)上,研究空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系.

【問題探究】

在初中,我們已經(jīng)對點和直線有了一定的認識,知道它們都是由現(xiàn)實事物抽象得到的.生活中也有一些物體給我們以平面的直觀感覺,如課桌面、黑板面、平靜的水面等.那么在幾何中,怎么描述平面?

結(jié)論：幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的概念.類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無限延展的.課堂探究

思考1

回想直線的表示法及畫法，我們可以怎樣表示平面，應(yīng)該怎樣畫出平面？

結(jié)論：與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.

我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.如圖所示，當(dāng)平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.課堂探究

如圖：

我們常用希臘字母α，β，γ

等表示平面，如平面α、平面β、平面γ

等，并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(nèi)；也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如上圖中的平面α，也可以表示為平面ABCD、平面AC或者平面BD.課堂探究

思考2

直線、平面都可以看成由無數(shù)個點構(gòu)成的全體，因此我們可以將點作為元素，則直線、平面都是由點構(gòu)成的集合，所以，我們可以借助于元素與集合關(guān)系的表示，來描述點、直線、與平面的關(guān)系，試著完成下面表格：課堂探究文字語言符號語言圖形語言點A

在直線l

上A

l

點A

在直線

l

外A

l

點A

在平面α

內(nèi)A

α

點A

在平面α

外A

α

直線l

在平面α

內(nèi)l

α

直線l

在平面α

外l

α

直線

l

，m相交于點A

直線

l，平面α

相交于點A

平面α，平面β

相交于直線l

課堂探究

思考3

我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面？自行車用一個腳架和兩個車輪著地就可以“站穩(wěn)”，三腳架的三腳著地就可以支撐照相機；由這些事實和類似經(jīng)驗說明什么？

結(jié)論：基本事實1

過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.可以簡記為：不共線的三點確定一個平面.課堂探究

思考4

在實際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗：如果一根直尺邊緣上的任意兩點在桌面上，那么直尺的整個邊緣就落在了桌面上.這里面蘊含怎樣的幾何關(guān)系？

結(jié)論：上述經(jīng)驗和類似的事實可以歸納為以下基本事實：

基本事實2

如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).課堂探究

思考5

試著給出基本事實2的圖形表示及符號表示？

結(jié)論：圖形表示如圖.

符號表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α.課堂探究

思考6

如圖，把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點B

?結(jié)合直線的無線延伸和平面的無限延展性，解釋為什么?

結(jié)論：基本事實3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.課堂探究

思考7

試著給出基本事實3的圖形表示及符號表示？

結(jié)論：圖形表示如圖.

符號表示：P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l；課堂探究

【探究應(yīng)用】

利用基本事實1和基本事實2，再結(jié)合“兩點確定一條直線”，可以得到下面三個推論：

推論1

經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

用圖形表示出上面三個推論：課堂探究【典例分析】例1

請用數(shù)學(xué)符號表示以下點?直線?平面間的關(guān)系：（1）點A，B

在直線

a上：_________，___________.（2）直線

a

在平面α上：_________；點C

在平面α上：_________.（3）點O

不在平面α上：___________.課堂探究跟蹤訓(xùn)練1用符號表示下列關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：（1）點A在直線

a上，直線a在平面

α

內(nèi)；（2）直線

a經(jīng)過平面

α

外的一點A；（3）直線

a既在平面

α

內(nèi)，又在平面

β內(nèi)．課堂探究【名師解惑】

三種語言表示方法的轉(zhuǎn)換:(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號語言表示.(2)要注意符號選取,如點與直線、點與平面之間的關(guān)系只能用“∈”或“?”表示,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示.課堂探究【典例分析】例2在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延長線交于點M，RQ，DB的延長線交于點N，RP，

DC的延長線交于點K.求證：M，N，K三點共線.課堂探究證明因為M∈PQ,直線PQ?平面PQR,M∈BC,直線BC?

平面BCD,所以M是平面PQR與平面BCD的一個公共點,即點M在平

面PQR與平面BCD的交線l上.同理可證,點N,K也在直線l上.所以,M,N,K三點共線.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi).課堂探究證明

方法1:∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.∵l2?α,∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α.∴直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).方法2:∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1,l2確定一個平面α.∵l2∩l3=B,∴l(xiāng)2,l3確定一個平面β.∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共線的三個點A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).【名師解惑】

（1）證明多點共線問題，很多時候會用到基本事實3，利用交線的唯一性，通過證明這些點分別在兩個平面內(nèi)，所以點在相交平面的交線上；也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在這條直線上.

（2）證明多線共面時，常見的有兩種處理方式：

①納入法：先由其中兩條直線確定一個平面，再證明其他直線也在這個平面內(nèi).②同一法：先利用部分直線確定一個平面，再利用另外的直線確定另一個平面，最后證明這兩個平面重合，即證得所有直線在同一個平面內(nèi).課堂探究1.下列命題正確的是（

）.A.三點確定一個平面B.一條直線和一個點確定一個平面C.圓心和圓上兩點可確定一個平面D.梯形可確定一個平面解析：由基本事實1可知A項、C

項錯誤；由推論1可知

B

項錯誤；借助于推論3，由于梯形的上底下底互相平行，故可以確定一個平面，故

D

正確.D

課堂練習(xí)2.判斷下列命題是否正確.（1）書桌面是平面.（2）平面

α

與平面

β相交，它們只有有限個公共點.（3）如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合.解：（1）因為平面是可以無限延展的，因此書桌面只是書桌面所在平面的一部分，故說法是錯誤的；

（2）由基本事實3可知，若兩個平面相交，則必有一條公共直線，即交線，交線上的點都是這兩個平面的公共點，故說法錯誤；

（3）由基本事實1可知，該說法是正確的.評價反饋3.不共面的四點可以確定幾個平面?請畫出圖形說明你的結(jié)論.解：4個，如圖，三棱錐A-BCD中，A，B，C，D四點不共面，所確定的平面有平面ABC，平面ABD，平面ACD，平面BCD.評價反饋4.用符號表示下列語句，并畫出相應(yīng)的圖形:（1）點A在平面

α

內(nèi)，點B在平面

α