習(xí)題課1天體運(yùn)動各物理量與軌道半徑的關(guān)系[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握運(yùn)用萬有引力定律和圓周運(yùn)動知識分析天體運(yùn)動問題的基本思路.2.掌握天體的線速度、角速度、周期、向心加速度與軌道半徑的關(guān)系.一、天體運(yùn)動的分析與計算1.基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動可看做勻速圓周運(yùn)動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供，即F引＝F向.2.常用關(guān)系：(1)Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r.(2)忽略自轉(zhuǎn)時，mg＝Geq\f(Mm,R2)(物體在天體表面時受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為“代換式”.例1(多選)地球半徑為R0，地面重力加速度為g，若衛(wèi)星在距地面R0處做勻速圓周運(yùn)動，則()A.衛(wèi)星的線速度為eq\f(\r(2R0g),2)B.衛(wèi)星的角速度為eq\r(\f(g,8R0))C.衛(wèi)星的加速度為eq\f(g,2)D.衛(wèi)星的加速度為eq\f(g,4)答案ABD解析由eq\f(GMm,2R02)＝man＝meq\f(v2,2R0)＝mω2(2R0)及GM＝gReq\o\al(

2,0)，可得衛(wèi)星的向心加速度an＝eq\f(g,4)，角速度ω＝eq\r(\f(g,8R0))，線速度v＝eq\f(\r(2R0g),2)，所以A、B、D正確，C錯誤.二、天體運(yùn)行的各物理量與軌道半徑的關(guān)系設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動.(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越小.(2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小.(3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大.(4)由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)，r越大，an越小.以上結(jié)論可總結(jié)為“一定四定，越遠(yuǎn)越慢”.例22009年2月11日，俄羅斯的“宇宙－2251”衛(wèi)星和美國的“銥－33”衛(wèi)星在西伯利亞上空約805km處發(fā)生碰撞，這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件.碰撞過程中產(chǎn)生的大量碎片可能會影響太空環(huán)境.假定有甲、乙兩塊碎片繞地球運(yùn)動的軌道都是圓，甲的運(yùn)行速率比乙的大，則下列說法中正確的是()A.甲的運(yùn)行周期一定比乙的長B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的向心加速度一定比乙的大答案D解析甲的速率大，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，由此可知，甲碎片的軌道半徑小，故B錯；由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，可知甲的周期小，故A錯；由于未知兩碎片的質(zhì)量，無法判斷向心力的大小，故C錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)，可知甲的向心加速度比乙的大，故D對.例3如圖1所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑).下列說法中正確的是()圖1A.a、b的線速度大小之比是eq\r(2)∶1B.a、b的周期之比是1∶2eq\r(2)C.a、b的角速度大小之比是3eq\r(6)∶4D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2答案C解析兩衛(wèi)星均做勻速圓周運(yùn)動，F(xiàn)萬＝F向，向心力選不同的表達(dá)式分別分析.由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(\f(3R,2R))＝eq\r(\f(3,2))，故A錯誤.由eq\f(GMm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2得eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(r\o\al(

3,1),r\o\al(

3,2)))＝eq\f(2,3)eq\r(\f(2,3))，故B錯誤.由eq\f(GMm,r2)＝mrω2得eq\f(ω1,ω2)＝eq\r(\f(r\o\al(

3,2),r\o\al(

3,1)))＝eq\f(3\r(6),4)，故C正確.由eq\f(GMm,r2)＝man得eq\f(an1,an2)＝eq\f(r\o\al(

2,2),r\o\al(

2,1))＝eq\f(9,4)，故D錯誤.1.(衛(wèi)星各運(yùn)動參量與軌道半徑的關(guān)系)(多選)如圖2所示，飛船從軌道1變軌至軌道2.若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運(yùn)動，不考慮質(zhì)量變化，相對于在軌道1上，飛船在軌道2上的()圖2A.速度大 B.向心加速度大C.運(yùn)行周期長 D.角速度小答案CD解析飛船繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，即F引＝Fn，所以Geq\f(Mm,r2)＝man＝eq\f(mv2,r)＝eq\f(4π2mr,T2)＝mrω2，即an＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))(或用公式T＝eq\f(2π,ω)求解).因?yàn)閞1<r2，所以v1>v2，an1>an2，T1<T2，ω1>ω2，選項(xiàng)C、D正確.2.(行星各運(yùn)動參量與軌道半徑的關(guān)系)如圖3所示，在火星與木星軌道之間有一小行星帶，假設(shè)該帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運(yùn)動.下列說法正確的是()圖3A.太陽對各小行星的引力相同B.各小行星繞太陽運(yùn)動的周期均小于一年C.小行星帶內(nèi)側(cè)小行星的向心加速度值大于外側(cè)小行星的向心加速度值D.小行星帶內(nèi)各小行星圓周運(yùn)動的線速度值大于地球公轉(zhuǎn)的線速度值答案C解析根據(jù)萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)可知，由于各小行星的質(zhì)量和到太陽的距離不同，萬有引力不同，A項(xiàng)錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因?yàn)楦餍⌒行堑能壍腊霃絩大于地球的軌道半徑，所以它們的周期均大于地球的周期，B項(xiàng)錯誤；向心加速度an＝eq\f(F,m)＝Geq\f(M,r2)，內(nèi)側(cè)小行星到太陽的距離小，向心加速度大，C項(xiàng)正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，小行星的軌道半徑大于地球的軌道半徑，線速度小于地球繞太陽的線速度，D項(xiàng)錯誤.3.(天體運(yùn)動各參量的比較)如圖4所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運(yùn)動，下列說法正確的是()圖4A.甲的向心加速度比乙的小B.甲的運(yùn)行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大D.甲的線速度比乙的大答案A解析甲、乙兩衛(wèi)星分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供各自做勻速圓周運(yùn)動的向心力.由牛頓第二定律Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(4π2,T2)r＝mω2r＝meq\f(v2,r)，可得an＝eq\f(GM,r2)，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，v＝eq\r(\f(GM,r)).由已知條件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正確選項(xiàng)為A.4.(天體運(yùn)動的分析與計算)如圖5所示，A、B為地球周圍的兩顆衛(wèi)星，它們離地面的高度分別為h1、h2，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，求：圖5(1)A的線速度大小v1；(2)A、B的角速度之比ω1∶ω2.答案(1)eq\r(\f(gR2,R＋h1))(2)eq\r(\f(R＋h23,R＋h13))解析(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力，對A有：eq\f(GMm,R＋h12)＝meq\f(v\o\al(

2,1),R＋h1) ①在地球表面對質(zhì)量為m′的物體有：m′g＝Geq\f(Mm′,R2) ②由①②得v1＝eq\r(\f(gR2,R＋h1))(2)由Geq\f(Mm,R＋h2)＝mω2(R＋h)得ω＝eq\r(\f(GM,R＋h3))所以A、B的角速度之比eq\f(ω1,ω2)＝eq\r(\f(R＋h23,R＋h13)).課時作業(yè)一、選擇題(1～7為單選題，8～10為多選題)1.把太陽系各行星的運(yùn)動近似看成勻速圓周運(yùn)動，則離太陽越遠(yuǎn)的行星()A.周期越大 B.線速度越大C.角速度越大 D.向心加速度越大答案A解析行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，所需的向心力由太陽對行星的引力提供，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知r越大，線速度越小，B錯誤.由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知r越大，角速度越小，C錯誤.由eq\f(r3,T2)＝k知，r越大，T越大，A對.由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)，可知r越大，向心加速度a越小，D錯誤.2.據(jù)報道，“嫦娥一號”和“嫦娥二號”繞月飛行的圓形工作軌道距月球表面分別約為200km和100km，運(yùn)行速率分別為v1和v2.那么，v1和v2的比值為(月球半徑取1700km)()A.eq\f(19,18)B.eq\r(\f(19,18))C.eq\r(\f(18,19))D.eq\f(18,19)答案C解析根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動的向心力由萬有引力提供，有Geq\f(Mm,r＋h2)＝meq\f(v2,r＋h)，那么衛(wèi)星的線速度跟其軌道半徑的平方根成反比，則有eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(r＋h2),\r(r＋h1))＝eq\r(\f(18,19)).3.兩顆行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b，衛(wèi)星軌道接近各自行星的表面，如果兩行星的質(zhì)量之比為eq\f(MA,MB)＝p，兩行星半徑之比為eq\f(RA,RB)＝q，則兩個衛(wèi)星的周期之比eq\f(Ta,Tb)為()A.eq\r(pq)B.qeq\r(p)C.peq\r(\f(p,q))D.qeq\r(\f(q,p))答案D解析衛(wèi)星做圓周運(yùn)動時，萬有引力提供圓周運(yùn)動的向心力，則有：Geq\f(Mm,R2)＝mR(eq\f(2π,T))2，得T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，解得：eq\f(Ta,Tb)＝qeq\r(\f(q,p))，故D正確，A、B、C錯誤.4.a、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運(yùn)行的四顆人造衛(wèi)星.其中a、c的軌道相交于P，b、d在同一個圓軌道上，b、c軌道在同一平面上.某時刻四顆衛(wèi)星的運(yùn)行方向及位置如圖1所示，下列說法中正確的是()圖1A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度C.a、c的線速度大小相等，且小于d的線速度D.a、c存在P點(diǎn)相撞的危險答案A解析由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man可知，選項(xiàng)B、C錯誤，選項(xiàng)A正確；因a、c軌道半徑相同，周期相同，既然圖示時刻不相撞，以后就不可能相撞了，選項(xiàng)D錯誤.5.據(jù)報道，天文學(xué)家近日發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的“超級地球”，名為“55Cancrie”.該行星繞母星(中心天體)運(yùn)行的周期約為地球繞太陽運(yùn)行周期的eq\f(1,480)，母星的體積約為太陽的60倍.假設(shè)母星與太陽密度相同，“55Cancrie”與地球均做勻速圓周運(yùn)動，則“55Cancrie”與地球的()A.軌道半徑之比約為eq\r(3,\f(60,480))B.軌道半徑之比約為eq\r(3,\f(60,4802))C.向心加速度之比約為eq\r(3,60×4802)D.向心加速度之比約為eq\r(3,60×480)答案B解析由公式Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，可得通式r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，設(shè)“55Cancrie”的軌道半徑為r1，地球軌道半徑為r2，則eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\f(T\o\al(

2,1),T\o\al(

2,2)))＝eq\r(3,\f(60,4802))，從而判斷A錯，B對；再由Geq\f(Mm,r2)＝man得通式an＝Geq\f(M,r2)，則eq\f(an1,an2)＝eq\f(M1,M2)·eq\f(r\o\al(

2,2),r\o\al(

2,1))＝eq\r(3,\f(M1,M2)·\f(T\o\al(

4,2),T\o\al(

4,1)))＝eq\r(3,60×4804)，所以C、D皆錯.6.一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A.eq\f(mv2,GN)B.eq\f(mv4,GN)C.eq\f(Nv2,Gm)D.eq\f(Nv4,Gm)答案B解析設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m′由萬有引力提供向心力，得Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v2,R) ①m′eq\f(v2,R)＝m′g ②由已知條件：m的重力為N得N＝mg ③由③得g＝eq\f(N,m)，代入②得：R＝eq\f(mv2,N)代入①得M＝eq\f(mv4,GN)，故B項(xiàng)正確.7.如圖2所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星在同一平面上繞地球做勻速圓周運(yùn)動，公轉(zhuǎn)方向相同.已知衛(wèi)星甲的公轉(zhuǎn)周期為T，每經(jīng)過最短時間9T，衛(wèi)星乙都要運(yùn)動到與衛(wèi)星甲同居地球一側(cè)且三者共線的位置上，則衛(wèi)星乙的公轉(zhuǎn)周期為()圖2A.eq\f(9,8)TB.eq\f(8,9)TC.eq\f(10,9)TD.eq\f(9,10)T答案A解析由(eq\f(2π,T)－eq\f(2π,T乙))t＝2π ①t＝9T ②由①②得T乙＝eq\f(9,8)T，選項(xiàng)A正確.8.火星直徑約為地球直徑的一半，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的十分之一，它繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為地球繞太陽公轉(zhuǎn)軌道半徑的1.5倍.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是()A.火星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面的小B.火星公轉(zhuǎn)的周期比地球的長C.火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大D.火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的大答案AB解析由Geq\f(Mm,R2)＝mg得g＝Geq\f(M,R2)，計算得A對；由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，計算得B對；周期長的線速度小(或由v＝eq\r(\f(GM,r))判斷軌道半徑大的線速度小)，C錯；公轉(zhuǎn)的向心加速度an＝Geq\f(M,r2)，計算得D錯.9.土星外層有一個環(huán)，為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系，則下列判斷正確的是()A.若v2∝R則該層是土星的衛(wèi)星群B.若v∝R則該層是土星的一部分C.若v∝eq\f(1,R)則該層是土星的一部分D.若v2∝eq\f(1,R)則該層是土星的衛(wèi)星群答案BD解析若外層的環(huán)為土星的一部分，則它們各部分轉(zhuǎn)動的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正確，C錯誤；若是土星的衛(wèi)星群，則由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得v2∝eq\f(1,R)，故A錯誤，D正確.10.科學(xué)探測表明，月球上至少存在豐富的氧、硅、鋁、鐵等資源，設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，假定經(jīng)長期的開采后月球與地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的軌道運(yùn)動，則與開采前相比(提示：a＋b＝常量，則當(dāng)a＝b時，ab乘積最大)()A.地球與月球間的萬有引力將變大B.地球與月球間的萬有引力將變小C.月球繞地球運(yùn)行的周期將變大D.月球繞地球運(yùn)行的周期將變小答案BD解析萬有引力公式F＝eq\f(GMm,r2)中，G和r不變，因地球和月球的總質(zhì)量不變，當(dāng)M增大而m減小時，兩者的乘積減小，萬有引力減小，故選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；又eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，M增大，則T減小，故選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確.二、非選擇題11.兩行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b，衛(wèi)星的圓軌道接近各自行星表面，如果兩行星質(zhì)量之比MA∶MB＝2∶1，兩行星半徑之比RA∶RB＝1∶2，則兩個衛(wèi)星周期之比Ta∶Tb＝________，向心加速度之比為________.答案1∶48∶1解析衛(wèi)星做圓周運(yùn)動時，萬有引力提供圓周運(yùn)動的向心力，有：Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，得T＝2πeq\r(\f(R3,GM)).故eq\f(Ta,Tb)＝eq\r(\f(R\o\al(

3,A),R\o\al(

3,B)))·eq\r(\f(MB,MA))＝eq\f(1,4)，由Geq\f(Mm,R2)＝ma，得a＝Geq\f(M,R2)，故eq\f(aa,ab)＝eq\f(MA,MB)·eq\f(R\o\al(

2,B),R\o\al(

2,A))＝eq\f(8,1).12.某課外科技小組長期進(jìn)行天文觀測，發(fā)現(xiàn)某行星周圍有眾多小衛(wèi)星，這些小衛(wèi)星靠近行星且分布相當(dāng)均勻，經(jīng)查對相關(guān)資料，