試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁限時練習(xí)：120min

完成時間：月日天氣：作業(yè)四邊形中的四大重難點(diǎn)模型要點(diǎn)一、手拉手模型（含“雙正方形型”等4類）1、雙正方形型如圖，四邊形ABCFD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG，ED交于點(diǎn)N．結(jié)論：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE．2、雙等腰三角形型這是最為基礎(chǔ)且常見的一種類型．兩個等腰三角形通過連接它們的底角頂點(diǎn)，形成了一個簡單而優(yōu)雅的手拉手結(jié)構(gòu)．這種模型在解決與等腰三角形相關(guān)的幾何問題時，具有極高的應(yīng)用價值．如圖，△ABC和△DCE均為等腰三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F．結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD．3、雙等腰直角三角形型在等腰直角三角形中，90度的直角和兩個相等的銳角為構(gòu)建手拉手模型提供了獨(dú)特的條件．這種模型在解決與角度和邊長有關(guān)的幾何問題時，往往能發(fā)揮出意想不到的效果．如圖，△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)N．結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND．4、雙等邊三角形型等邊三角形由于其特殊的性質(zhì)，使得構(gòu)建出的手拉手模型更加復(fù)雜且富有變化．多個等邊三角形可以組合成各種美麗的幾何圖案，如正六邊形、星形等．這些圖案不僅具有觀賞價值，還是解決某些特定幾何問題的有力工具．如圖，△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F．結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD．要點(diǎn)二、半角模型（含“正方形半角模型”等5類）1、正方形半角模型如圖，四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD．2、等腰直角三角形半角模型如圖，ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=90°；④DE2＝BD2＋EC2；3、等邊三角形半角模型（60°-30°型）如圖，ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；4、等邊三角形半角模型（120°-60°型）如圖，ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④△AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC．5、半角模型（-型）如圖，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-．要點(diǎn)三、對角互補(bǔ)模型1、“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB．結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③．證明示例：（證法一）如圖（中），過點(diǎn)C作CM⊥OA于點(diǎn)M，CN⊥OB于點(diǎn)N．∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），在正方形MONC中，由題意可得∠MCN＝360o－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90o，∴∠MCD＋∠DCN＝90o，又∵∠DCE＝90o，∴∠ECN＋∠MCD＝90o，∴∠MCD＝∠ECN，∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴結(jié)論①成立；∵四邊形MONC為正方形，∴OM＝ON＝OC，又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴結(jié)論②成立；∴，∴結(jié)論③成立．（證法二）如圖（后），過點(diǎn)C作CF⊥OC交OB于點(diǎn)F，∵OC平分∠AOB，∴∠DOC＝∠EOC＝45°，∴△COF是等腰直角三角形，∴CO＝CF，∠CFO＝∠COD＝45°，又∵∠DCO＋∠OCE＝∠ECF＋∠OCE＝90°，∴∠DCO＝∠ECF，∴△COD≌△CFE，∴OD＝EF，CD＝CE，∴結(jié)論①成立；∵∴△COF是等腰直角三角形，∴OF＝OC；又∵OD＋OE＝EF＋OE＝OF，∴OD＋OE＝OC，∴結(jié)論②成立；，∴結(jié)論③成立．2、“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB．結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③．證明示例：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F、G．由角平分線性質(zhì)可得CF＝CG，∴四邊形CFOG為正方形，∵∠1＋∠2＝90o，∠3＋∠2＝90o，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG，∴CD＝CE，結(jié)論①成立；在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC，∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，結(jié)論②成立；3、等邊三角形對120°模型如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120o，OC平分∠AOB．結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③．證明示例：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F、G．由角平分線性質(zhì)可得CF＝CG，在四邊形OFCG中，∠FCG＝60o，∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60o，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA），∴CD＝CE，結(jié)論①成立；在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60o，∴OF＝OG＝OC，又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，結(jié)論②成立；，結(jié)論③成立．4、2α對180°-2α模型如圖，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB．結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·，③．5、蝴蝶型對角互補(bǔ)模型如圖，AP=BP，∠AOB=∠APB結(jié)論：OP平分∠AOB的外角．要點(diǎn)四、正方形的十字架模型（全等模型）（1）如圖，在正方形ABCD中，若E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，AE⊥BF；則AE=BF．（2）如圖，在正方形ABCD中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點(diǎn)，AE⊥GF；則AE=GF．（3）如圖，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AD上的點(diǎn)，EH⊥GF；則HE=GF．二層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)題型一、手拉手模型1．正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為3和1，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，連接BE，DG，則線段BE和DG的關(guān)系為；（2）在圖1中，連接BD，BF，DF，求在旋轉(zhuǎn)過程中BDF的面積最大值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)G，E，D在同一直線上時，求線段BE的長．題型二、半角模型2．已知四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時，求證：BM+DN=MN(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長線上時，請直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系(3)如圖3，直線AN與BC交于P點(diǎn)，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長．題型三、對角互補(bǔ)模型3．如圖，點(diǎn)為定角的平分線上的一個定點(diǎn)，且與互補(bǔ)，若在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與交于點(diǎn)，則一下結(jié)論：①恒成立；②的值不變；③四邊形的面積不變；④的長不變；其中正確的個數(shù)為（）個A．1 B．2 C．3 D．44．已知，，是過點(diǎn)的直線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖(1)，過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并給予證明．(2)拓展探究當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時，、、之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并給予證明．題型四、正方形的十字架模型（全等模型）5．（1）感知：如圖①，在正方形中，E為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)重合），連接，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F，證明：．（2）探究：如圖②，在正方形中，E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與正方形的頂點(diǎn)重合），連接，作的垂線分別交邊，于點(diǎn)G，H，垂足為O．若E為中點(diǎn)，，，求的長．（3）應(yīng)用：如圖③，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，，相交于點(diǎn)G．若，圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為，則的面積為______，的周長為______．6．如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，平分．交于點(diǎn)．若，則的長度為（）A．2 B． C． D．7．如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．若，則一定等于（）

A． B． C． D．8．旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時往往可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題．（1）嘗試解決：如圖①，在等腰中，，點(diǎn)M是上的一點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到，連接，則___________．（2）類比探究：如圖②，在“箏形”四邊形中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)P、Q分別是上的點(diǎn)，且，求的周長．（結(jié)果用a表示）（3）拓展應(yīng)用：如圖③，已知四邊形，，求四邊形的面積．9．如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結(jié)、、，過點(diǎn)的直線分別交線段、于點(diǎn)、，以下說法：①當(dāng)時，；②；③若，，，則；④當(dāng)直線時，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．正確的有．(填序號)

10．如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)，分別在，上，，連接，，取中點(diǎn)，連接．(1)求證：，；(2)將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；②求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．（1），；（2）7.5；（3）或【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明即可證得結(jié)論；（2）連接，，，，，設(shè)交于點(diǎn)．利用勾股定理求出，，由推出當(dāng)點(diǎn)F，A，K在同一直線上時，點(diǎn)到的最大距離，由此可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)，，共線時，連接交于．如圖中，當(dāng)，，共線時，連接交于．利用勾股定理求出，可得結(jié)論．【詳解】解：（1），，理由如下：如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．四邊形、四邊形都是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，故答案為：BE＝DG，BE⊥DG；（2）如圖1中，連接，，，，，設(shè)交于點(diǎn)．四邊形、四邊形都是正方形，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)F，A，K在同一直線上時，點(diǎn)到的最大距離，的面積的最大值為；（3）如圖中，當(dāng)，，共線時，連接交于．四邊形是正方形，，，，，，，；如圖中，當(dāng)，，共線時，連接交于．四邊形是正方形，，，，，，，；綜上所述，滿足條件的的長為或．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．2．（1）見解析；（2）；（3）3【分析】（1）延長到使，連接AG，先證明，由此得到，，再根據(jù)，，可以得到，從而證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在BM上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，先證明，由此得到，，由此可得，再根據(jù)可以得到，從而證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（3）在DN上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，先證明，再證明，設(shè)，根據(jù)可求得，由此可得，最后再證明，由此即可求得答案．【詳解】（1）證明：如圖，延長到使，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，在與中，，，，，，，∴，，，在與中，，，，又∵，，；（2），理由如下：如圖，在BM上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，在與中，，，，，∴，∴，又，，在與中，，，，又∵，，∴，故答案為：；（3）如圖，在DN上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，，在與中，，，，，∴，∴，又，，在與中，，，，設(shè)，∵，，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，在與中，，，，∴CP的長為3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠作出正確的輔助線并能靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，作，可得，由此可判定①②③，連接，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可判定④，由此即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)在的角平分線上，∴，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∴，，，∴在四邊形中，，∵，∴，即，∴，∴，∴，故①正確；由①正確可得，，∴，故②正確；由可得，∴，∴四邊形的面積是定值，故③正確；如圖所示，連接，由上述結(jié)論可得，，，，，∴，即的長度發(fā)生變化，故④錯誤；綜上所述，正確的有①②③，共3個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，四邊形面積的計算方法等知識，掌握添加合理的輔助線，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．(1)；證明見解析(2)；證明見解析【分析】(1)過點(diǎn)作，得到，判斷出，確定為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，判斷出，確定為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，在四邊形中，，，，∴，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；（2）；理由：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（1）感知：見詳解；（2）探究：；（3）應(yīng)用：，【分析】（1）感知：由正方形的性質(zhì)得出，，證得，由證得，即可得出結(jié)論；（2）探究：分別過點(diǎn)、作，，分別交、于點(diǎn)、，由正方形的性質(zhì)得出，，，推出四邊形是平行四邊形，，，證出，同理，四邊形是平行四邊形，，，證得，由證得，得出，推出，由為中點(diǎn)，得出，則，由勾股定理得出，即可得出結(jié)果；（3）應(yīng)用：，由陰影部分的面積與正方形的面積之比為，得出陰影部分的面積為6，空白部分的面積為3，由證得，得出，，則，，則，，設(shè)，，則，，由勾股定理得出，，即，得出，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）感知：證明：∵四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，，；（2）探究：解：分別過點(diǎn)、作，，分別交、于點(diǎn)、，如圖②所示：四邊形是正方形，，，，∴四邊形是平行四邊形，，，，，，同理，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，在和中，，，，，，為中點(diǎn)，，，，；（3）應(yīng)用：解：，，∵陰影部分的面積與正方形的面積之比為，∴陰影部分的面積為：，∴空白部分的面積為：，在和中，，，，，，，，，設(shè)，，則，，，，即，，即，的周長為，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積與正方形面積的計算等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進(jìn)一步證明得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故選：D．7．A【分析】利用三角形逆時針旋轉(zhuǎn)后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，

∵四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，∴，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，∵，，，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故選：．

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度．8．（1）；（2）2a；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABM≌△ACN，從而得出∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°，再根據(jù)勾股得出AM的長；（2）將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到，利用SAS得出△QCP≌△QCM，從而得出的周長（3）連接BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，連接BB′，延長BA，作B′E⊥BE；易證△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理計算AE=B′E=，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面積和即可．【詳解】（1）∵，∴∠B=∠ACB=45°，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到，此時AB與AC重合，由旋轉(zhuǎn)可得：△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°，∴∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°，∠MAN=∠ABC=90°，∴∴；（2）∵，，∴將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到，此時BC與DC重合，∴△BCP≌△DCM，∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM，∵，∴，∴，∵PC=CM，QC=QC,∴△QCP≌△QCM，∴PQ=QM，∴的周長=AQ+AP+PQ=AQ+AP+QM=AQ+AP+DQ+DM=AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，∵，∴的周長=2a；（3）如圖，連接BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，連接BB′，延長BA，作B′E⊥BE；∴△BCD≌△B′AD∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A，∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，∴∠BAB′=135°∴∠B′AE=45°，∵∴B′E=AE=，∴BE=AB+AE=2+=，∴∵等邊△DBB′，∴BB′上的高=，∴∴，∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=；【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全