江南大學(xué)高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上連續(xù)的是（）。

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{1-x^2}\)

C.\(f(x)=\sin\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=\begin{cases}

1,&x\text{為有理數(shù)}\\

0,&x\text{為無理數(shù)}

\end{cases}\)

2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值是（）。

A.0

B.1

C.\(\infty\)

D.不存在

3.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+2\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)為（）。

A.\(3x^2-3\)

B.\(3x^2+3\)

C.\(x^2-1\)

D.\(x^2+1\)

4.函數(shù)\(f(x)=e^x\)的不定積分\(\inte^x\,dx\)為（）。

A.\(e^x+C\)

B.\(\frac{1}{e^x}+C\)

C.\(-e^x+C\)

D.\(e^{-x}+C\)

5.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）。

A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)

B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)

C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)

D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)

6.函數(shù)\(f(x)=\lnx\)在\(x=1\)處的泰勒展開式的前三項(xiàng)是（）。

A.\(\ln1+\frac{x-1}{1}+\frac{(x-1)^2}{2}\)

B.\(0+(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}\)

C.\(0+(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2}\)

D.\(0-(x-1)+\frac{(x-1)^2}{2}\)

7.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處可微的是（）。

A.\(f(x)=|x|\)

B.\(f(x)=x^2\)

C.\(f(x)=\sqrt{|x|}\)

D.\(f(x)=\ln(1+x^2)\)

8.曲線\(y=x^3-3x^2+2\)的拐點(diǎn)是（）。

A.\((0,2)\)

B.\((1,0)\)

C.\((2,0)\)

D.\((1,2)\)

9.下列積分中，計(jì)算結(jié)果為0的是（）。

A.\(\int_{-1}^{1}x^2\,dx\)

B.\(\int_{-1}^{1}x\,dx\)

C.\(\int_{-1}^{1}e^x\,dx\)

D.\(\int_{-1}^{1}\sinx\,dx\)

10.下列方程中，表示旋轉(zhuǎn)拋物面的是（）。

A.\(x^2+y^2+z^2=1\)

B.\(x^2+y^2-z^2=1\)

C.\(z=x^2+y^2\)

D.\(x^2+y^2=z\)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)的無窮小量有（）。

A.\(\sinx\)

B.\(\tanx\)

C.\(x^2\)

D.\(e^x-1\)

2.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處可導(dǎo)的有（）。

A.\(f(x)=x^3\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=x^2\)

D.\(f(x)=\sqrt{x}\)

3.下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的有（）。

A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)

B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)

C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)

D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)

4.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處取得極值的有（）。

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=x^3\)

C.\(f(x)=x^4\)

D.\(f(x)=x^5\)

5.下列方程中，表示橢球面的有（）。

A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

B.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)

C.\(x^2+y^2+z^2=1\)

D.\(x^2+y^2=z\)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{x^2+5x+3}\)的值是_______。

2.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+2\)的二階導(dǎo)數(shù)\(f''(x)\)為_______。

3.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)的和是_______。

4.函數(shù)\(f(x)=e^x\)在區(qū)間\([0,1]\)上的定積分\(\int_{0}^{1}e^x\,dx\)的值是_______。

5.方程\(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+14=0\)表示的曲面是_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}\)。

2.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的導(dǎo)數(shù)，并求其在\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)值。

3.計(jì)算不定積分\(\int(x^2+2x+1)\,dx\)。

4.判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)是否收斂，并說明理由。

5.求函數(shù)\(f(x)=e^{2x}\)在\(x=0\)處的泰勒展開式的前三項(xiàng)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)\(f(x)=\sqrt{1-x^2}\)在區(qū)間[-1,1]上定義且連續(xù)，因?yàn)楦?hào)內(nèi)的表達(dá)式非負(fù)且在區(qū)間內(nèi)處處有意義。

2.B

解析：利用極限定義和三角函數(shù)性質(zhì)，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。

3.A

解析：利用求導(dǎo)法則，\(f'(x)=3x^2-3\)。

4.A

解析：利用積分法則，\(\inte^x\,dx=e^x+C\)。

5.B

解析：利用p-級(jí)數(shù)判別法，當(dāng)\(p=2>1\)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。

6.B

解析：利用泰勒展開公式，\(\lnx\)在\(x=1\)處的泰勒展開式前三項(xiàng)為\(0+(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}\)。

7.B

解析：函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處連續(xù)且可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為0。

8.B

解析：求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-6x\)，令其為零得\(x=1\)，再求二階導(dǎo)數(shù)\(f''(x)=6x-6\)，在\(x=1\)處\(f''(1)=0\)，但\(f'''(1)\neq0\)，故\((1,0)\)為拐點(diǎn)。

9.B

解析：利用奇偶函數(shù)積分性質(zhì)，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分為0，\(x\)為奇函數(shù)。

10.C

解析：方程\(z=x^2+y^2\)表示旋轉(zhuǎn)拋物面。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：無窮小量等價(jià)要求極限比值趨于1，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1\)，\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)，而\(x^2\)的極限為0。

2.A,C

解析：函數(shù)\(f(x)=x^3\)和\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處可導(dǎo)，分別為0和0。

3.B,C

解析：p-級(jí)數(shù)判別法，\(p=2>1\)時(shí)絕對(duì)收斂；交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法，\(\frac{1}{n^2}\)單調(diào)遞減且趨于0，故收斂。

4.A,C

解析：函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處取得極小值，\(f(x)=x^4\)在\(x=0\)處取得極小值。

5.A

解析：方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)表示橢球面。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：分子分母同除以\(x^2\)，\(\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}}=3\)。

2.6x-6

解析：對(duì)\(f'(x)=3x^2-3\)再求導(dǎo)得\(f''(x)=6x-6\)。

3.1

解析：利用部分分式分解，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\)，為望遠(yuǎn)鏡級(jí)數(shù)，求和為1。

4.\(e-1\)

解析：直接積分，\(\int_{0}^{1}e^x\,dx=e^x\bigg|_{0}^{1}=e-1\)。

5.球面

解析：將方程配方，\((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=2\)，表示以\((1,-2,3)\)為球心，半徑為\(\sqrt{2}\)的球面。

四、計(jì)算題答案及解析

1.2

解析：利用等價(jià)無窮小替換，\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}=2\)。

2.\(f'(x)=3x^2-6x\)，\(f'(2)=0\)

解析：求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-6x\)，代入\(x=2\)得\(f'(2)=0\)。

3.\(\frac{x^3}{3}+x^2+x+C\)

解析：逐項(xiàng)積分，\(\intx^2\,dx=\frac{x^3}{3}\)，\(\int2x\,dx=x^2\)，\(\int1\,dx=x\)，故原積分為\(\frac{x^3}{3}+x^2+x+C\)。

4.收斂

解析：利用p-級(jí)數(shù)判別法，\(p=3>1\)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。

5.\(1+2x+2x^2\)

解析：利用泰勒展開公式，\(e^{2x}=1+2x+\frac{(2x)^2}{