1.5用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)目錄知識(shí)點(diǎn)目錄TOC\o"11"\h\u【知識(shí)點(diǎn)1】點(diǎn)到線的距離 1【知識(shí)點(diǎn)2】點(diǎn)到面的距離 3【知識(shí)點(diǎn)3】線線角 4【知識(shí)點(diǎn)4】線面角 5【知識(shí)點(diǎn)5】面面角 7學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握點(diǎn)到線的距離、點(diǎn)到面的距離(重點(diǎn))。2.掌握空間向量求空間角(重難點(diǎn))。知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)1】點(diǎn)到線的距離1．點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到線的距離：l的單位方向向量為u，AP=a，則點(diǎn)P到直線l的距離2．向量法求距離的方法(1)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)求出直線的方向向量．(4)應(yīng)用公式求解．典型例題典型例題例1：【例1】（2025春?江蘇校級(jí)期中）已知空間中三點(diǎn)A（﹣1，0，0），B（0，1，﹣1），C（﹣1，﹣1，2），則點(diǎn)C到直線AB的距離為（）A．63 B．32 C．2 【例2】（2024秋?琿春市校級(jí)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，P為D1E的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線CC1的距離為（）A．1 B．52 C．32 【例3】（2025?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0，z0），且以向量m→=（a，b，c）（abc≠0）為方向向量，則這條直線可以用方程x?x0a=y?y0bA．52 B．522 C．5【例4】（2025春?百色校級(jí)期中）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，AD＝4，點(diǎn)E在棱BC上，且BC＝4BE，點(diǎn)G為△AB1C的重心，則點(diǎn)G到直線AE的距離為（）A．63 B．2 C．33 知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)2】點(diǎn)到面的距離1．點(diǎn)到平面的距離如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)．2．向量法求距離的方法(1)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)求出直線的方向向量．(4)應(yīng)用公式求解典型例題典型例題例1：【例5】（2025春?鹽城期中）若平面α過(guò)點(diǎn)A（2，3，0）且該平面的一個(gè)法向量為n→=（2，1，1），則點(diǎn)A．6 B．233 C．23【例6】（2025春?連云港校級(jí)月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q分別為平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，則點(diǎn)B到平面APQ的距離為（）A．1010 B．1111 C．55【例7】（2025春?興化市期中）空間直角坐標(biāo)系中，u（x﹣x0）+v（y﹣y0）+w（z﹣z0）＝0表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)（x0，y0，z0），且法向量為（u，v，w）的平面的方程．已知平面α的方程為x+2y+z﹣3＝0，過(guò)點(diǎn)P（1，2，3）作直線l⊥α，點(diǎn)M（a，b，c）為直線l上任意一點(diǎn)，則a，b滿(mǎn)足的關(guān)系式為；點(diǎn)P到平面α的距離為．【例8】（2025?濱海新區(qū)校級(jí)三模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，其中AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，P是棱DF的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BF∥平面APC；（Ⅱ）求直線DF與平面APC夾角的正弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面APC的距離；知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)3知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)3】線線角1．異面直線所成的角(1)設(shè)a，b是兩條異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角．2．向量法求兩異面直線所成角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系．(2)求出兩直線的方向向量v1，v2．(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．典型例題典型例題例1：【例9】（2025?南寧模擬）空間中，已知兩條直線m，n，其方向向量分別為a→，b→，則“?a→，A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【例10】（2025春?常州月考）已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，則異面直線AC與PB所成的角的余弦值為．【例11】（2025?蘇州三模）如圖，正四棱錐S﹣ABCD，SA＝2，AB=2，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且SP（1）求證：AC⊥SD；（2）求異面直線SA與CP所成角的余弦值．【例12】（2025?閔行區(qū)校級(jí)三模）如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是底面圓O的一條直徑，OC是一條半徑，且∠AOC＝60°，已知該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)面積為8π的半圓面．（1）求該圓錐的體積；（2）求異面直線PB與AC所成角的余弦值．知識(shí)點(diǎn)4知識(shí)點(diǎn)4知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)4】線面角1．直線與平面所成角如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|)．2．向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)．(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角典型例題典型例題例1：【例13】（多選）（2025春?長(zhǎng)沙月考）在三棱錐P﹣ABC中，P（2，2，0），A（4，0，6），B（0，4，2），C（0，0，4），則（）A．|PB|=23B．直線CA與直線CB夾角的余弦值為?1C．向量n→=（﹣1，1，2）是平面ABCD．PB與平面ABC所成角的正弦值為2【例14】（2025春?江門(mén)期中）若點(diǎn)A（0，2，0），B（1，3，﹣1），平面α的一個(gè)法向量為n→=（1，2，﹣2），則直線AB與平面α所成角的正弦值為．【例15】（2025?河北模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)G滿(mǎn)足A1（1）證明：A1C1∥平面BED1；（2）求直線DG與平面D1EF所成角的正弦值．【例16】（2025春?虹口區(qū)校級(jí)月考）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=1，AA1=AC=3，D，E分別為AA（1）求證：BE⊥AC1；（2）求直線AC1與平面DBC所成角的大?。R(shí)點(diǎn)5知識(shí)點(diǎn)5知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)5】面面角1．求二面角的大小(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．2．向量法計(jì)算二面角大小的方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小．但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小典型例題典型例題例1：【例17】（2025春?海安市期中）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝22，點(diǎn)E滿(mǎn)足BE→（1）若λ=12，求點(diǎn)A到平面（2）若平面DEC與平面BEC夾角的余弦值為23【例18】（2025?淄博校級(jí)模擬）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，面PAC⊥底面ABCD，PA⊥AC，PA＝BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°．（1）證明：AB⊥AP；（2）求平面ACP與平面CDP夾角的余弦值．【例19】（2025?金鳳區(qū)校級(jí)模擬）已知ABCD是菱形，AB＝3，AC＝2，E為AC的中點(diǎn)，將