1.“等時(shí)圓”模型所謂“等時(shí)圓”就是物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細(xì)桿由靜止下滑，到達(dá)圓周的最低點(diǎn)(或從最高點(diǎn)到達(dá)同一圓周上各點(diǎn))的時(shí)間相等，都等于物體沿直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間。2.模型的三種情況“同頂”等時(shí)圓各斜面的頂端都在豎直圓周的最高點(diǎn)，底端都落在該圓周上。由2Rsinθ＝12gsinθ·t2，可推得t1＝t2＝t“同底”等時(shí)圓各斜面的底端都在豎直圓周的最低點(diǎn)，頂端都源自該圓周上的不同點(diǎn)，可推得t1＝t2＝t3“雙圓周”等時(shí)圓兩圓心在同一豎直線上且兩圓相切。各斜面過兩圓的公共切點(diǎn)且頂端源自上方圓周上某點(diǎn)，底端落在下方圓周上的相應(yīng)位置。可推得t1＝t2＝t3例1滑滑梯是小朋友們愛玩的游戲。有兩部直滑梯AB和AC，A、B、C在豎直平面內(nèi)的同一圓周上，且A為圓周的最高點(diǎn)，示意圖如圖所示。已知圓半徑為R，在圓周所在的豎直平面內(nèi)有一位置P，距離A點(diǎn)為3R且與A等高。各滑梯的摩擦均不計(jì)，已知重力加速度為g。(1)如果小朋友由靜止開始分別沿AB和AC滑下，試通過計(jì)算說明兩次沿滑梯運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系;(2)若設(shè)計(jì)一部上端在P點(diǎn)，下端在圓周上某點(diǎn)的直滑梯，則小朋友沿此滑梯由靜止滑下時(shí)，在滑梯上運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是多少。答案(1)tAB＝tAC＝4Rg解析(1)設(shè)AB與水平方向的夾角為θ，小朋友沿AB下滑時(shí)的加速度為a＝gsinθ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有xAB＝12atAB2，由幾何關(guān)系可知xAB＝2Rsinθ，聯(lián)立解得tAB＝4Rg，由上式可知小朋友的下滑時(shí)間與滑梯傾斜程度無關(guān)，則兩次沿滑梯運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系為tAB＝(2)根據(jù)第(1)問的結(jié)論，畫出以P點(diǎn)為最高點(diǎn)的半徑為r的等時(shí)圓，如圖所示，兩圓相切時(shí)，時(shí)間最短，有(R＋r)2＝(r－R)2＋(3R)2解得r＝94由第(1)問的結(jié)論有t＝9R例2(多選)(2024·廣西南寧模擬)如圖所示，1、2、3、4四個(gè)小球均由靜止開始沿著光滑的斜面從頂端運(yùn)動(dòng)到底端，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1、t2、t3、t4，已知豎直固定的圓環(huán)半徑為r，O為圓心，固定在水平面上的斜面水平底端的長(zhǎng)度為3r，重力加速度為g，下列說法正確的是()A.t1>t2B.tB.t3＝t4C.t2<t4 D.t1＝t4答案BC解析1號(hào)小球的加速度為a1＝gsin60°＝32g，位移為x1＝2r·sin60°＝3r，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1＝2x1a1＝2rg;2號(hào)小球的加速度為a2＝gsin30°＝12g，位移為x2＝2r·sin30°＝r，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2＝2x2a2＝2rg;3號(hào)小球的加速度為a3＝gsin60°＝32g，位移為x3＝3rsin30°＝23r，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3＝2x3a3＝8rg;4號(hào)小球的加速度為a4＝gsin30°＝12g，位移為x4＝3rsin60°＝2r，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t4＝2x4a4＝8rg;則t1＝t2，t3＝t跟蹤訓(xùn)練1.(2025·江蘇泰州一模)如圖所示，半球形容器內(nèi)有三塊不同長(zhǎng)度的滑板AO'、BO'、CO'，其下端都固定于容器底部O'點(diǎn)，上端擱在容器側(cè)壁上，已知三塊滑板的長(zhǎng)度BO'>AO'>CO'。若三個(gè)滑塊同時(shí)從A、B、C處開始由靜止下滑(忽略阻力)，則()A.A處滑塊最先到達(dá)O'點(diǎn)B.B處滑塊最先到達(dá)O'點(diǎn)C.C處滑塊最先到達(dá)O'點(diǎn)D.三個(gè)滑塊同時(shí)到達(dá)O'點(diǎn)答案D解析令半球形容器的半徑為R，滑板的傾角為θ，對(duì)滑塊進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ＝ma，根據(jù)位移公式有2Rsinθ＝12gsinθ·t2，解得t＝2Rg，可知時(shí)間t與滑板的傾角θ和板的長(zhǎng)度均無關(guān)，故三個(gè)滑塊同時(shí)到達(dá)O'點(diǎn)，故2.如圖所示，有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點(diǎn)，O點(diǎn)恰好是下半圓的圓心，它們處在同一豎直平面內(nèi)?，F(xiàn)有三條光滑直軌道AOB、COD、EOF，它們的兩端分別位于上下兩圓的圓周上，軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為α>β>θ?，F(xiàn)讓一小物塊先后從三條軌道頂端由靜止下滑至底端，則小物塊在每一條傾斜軌道上滑動(dòng)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間關(guān)系為()A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB>tCD>tEFC.tAB<tCD<tEF D.tAB＝tC