2025年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿(mǎn)分30分）1．（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)．若收入10元記作+10元，則支出10元記作（）A．+10元 B．﹣10元 C．0元 D．+20元2．（3分）社會(huì)規(guī)則營(yíng)造良好的社會(huì)秩序，我們要了解并遵守社會(huì)規(guī)則．下列標(biāo)志是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．（3x）2＝9x2 B．5x?2x＝10x C．x6÷x2＝x3 D．（x﹣2）2＝x2﹣44．（3分）將一個(gè)含30°角的三角尺和直尺按如圖擺放，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°5．（3分）為了全面地反映物體的形狀，生產(chǎn)實(shí)踐中往往采用多個(gè)視圖來(lái)反映同一物體不同方面的形狀．如圖中飛機(jī)的俯視圖是（）A． B． C． D．6．（3分）如果關(guān)于x的分式方程mx1?x+xA．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣17．（3分）假定鳥(niǎo)卵孵化后，雛鳥(niǎo)為雌鳥(niǎo)與雄鳥(niǎo)的概率相同．如果2枚鳥(niǎo)卵全部成功孵化，那么2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的概率是（）A．12 B．13 C．238．（3分）神舟二十號(hào)發(fā)射窗口時(shí)間恰逢第十個(gè)“中國(guó)航天日”．為激發(fā)青少年探索浩瀚宇宙的興趣，學(xué)校組織900名師生乘車(chē)前往航空科技館參觀，計(jì)劃租用45座和60座兩種客車(chē)（兩種客車(chē)都要租），若每名學(xué)生都有座位且每輛客車(chē)都沒(méi)有空座位，則租車(chē)方案有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB→BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線(xiàn)l，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，垂線(xiàn)l掃過(guò)菱形（即陰影部分）的面積為y，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為x（x＞0）．下列圖象能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于兩點(diǎn)（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是關(guān)于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的兩根，且m＜n，則m＜﹣1，n＞2；⑤關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞?cx1x+c（a≠0）的解集為0＜x＜A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（每小題3分，滿(mǎn)分21分）11．（3分）中國(guó)年水資源總量約為27500億m3，人均占有水量相當(dāng)于世界人均的四分之一，居世界第110位．將27500用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．（3分）若代數(shù)式xx?3+（x﹣2025）0有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是13．（3分）已知圓錐的底面半徑為40cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為90cm，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為度．14．（3分）如圖，在?ABCD中，BC＝2AB＝8，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線(xiàn)EF，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，若點(diǎn)N恰為BC的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)為15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x﹣1的圖象與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），連接AC，BC，若AC＝BC，則實(shí)數(shù)k的值為16．（3分）等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，將紙片沿直線(xiàn)l折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線(xiàn)l交AB于點(diǎn)D，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E，連接BE，若AE＝5，tan∠AED=34，則△BEC的面積為17．（3分）利用幾何圖形的變化可以制作出形態(tài)各異的圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），以O(shè)A為邊作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以O(shè)A1為邊作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，過(guò)點(diǎn)A，A1，A2作弧AA2，記作第1條?。灰設(shè)A2為邊作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以O(shè)A3為邊作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，過(guò)點(diǎn)A2，A3，A4作弧A2A4三、解答題（本題共7道大題，共69分）18．（10分）（1）計(jì)算：9?|1?2|+2sin45°（2）分解因式：2x3﹣8x．19．（5分）解方程：x2﹣7x＝﹣12．20．（8分）國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)宣布將2025年定為“體重管理年”，并實(shí)施為期三年的體重管理行動(dòng)．某校響應(yīng)號(hào)召，計(jì)劃組織全校學(xué)生開(kāi)展系列體育活動(dòng)，籌備足球、排球、籃球、羽毛球四個(gè)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的體育社團(tuán)，倡導(dǎo)學(xué)生全員參加，為了解學(xué)生對(duì)這四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，對(duì)其進(jìn)行了“我最喜愛(ài)的球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”問(wèn)卷調(diào)查（每名學(xué)生在這四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇且只能選擇一項(xiàng)），將這部分學(xué)生的問(wèn)卷進(jìn)行整理，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）填空：m＝；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“足球”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為度；（4）若該校有3000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有多少人？21．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接CD，∠BCD＝∠A，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交CD于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，且BE＝3，求⊙O的半徑．22．（10分）2025年春晚舞臺(tái)上的機(jī)器人表演，充分演繹了科技與民族文化的完美融合．為滿(mǎn)足學(xué)生的好奇心和求知欲，某校組織科技活動(dòng)“機(jī)器人走進(jìn)校園”，AI熱情瞬間燃爆．校園里一條筆直的“勤學(xué)路”上依次設(shè)置了A，B，C三個(gè)互動(dòng)區(qū)，機(jī)器人甲、乙分別從A，C兩區(qū)同時(shí)出發(fā)開(kāi)始表演，機(jī)器人甲沿“勤學(xué)路”以20米/分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時(shí)停留4.5分鐘（與師生熱情互動(dòng)）后，繼續(xù)沿“勤學(xué)路”向C區(qū)勻速行進(jìn)，機(jī)器人乙沿“勤學(xué)路”以10米/分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時(shí)接到指令立即勻速返回，結(jié)果兩機(jī)器人同時(shí)到達(dá)C區(qū)．機(jī)器人甲、乙距B區(qū)的距離y（米）與機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)結(jié)合圖象信息解答下列問(wèn)題：（1）A，C兩區(qū)相距米，a＝；（2）求線(xiàn)段EF所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式；（3）機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為多少分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米？（直接寫(xiě)出答案即可）23．（12分）綜合與實(shí)踐在探索幾何圖形變化的過(guò)程中，通過(guò)直觀猜想、邏輯推理、歸納總結(jié)可以獲得典型的幾何模型，運(yùn)用幾何模型能夠輕松解決很多問(wèn)題，讓我們共同體會(huì)幾何模型的“數(shù)學(xué)之美”．（1）【幾何直觀】如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)D，連接AD，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AD′，連接BD，CD′，則CD′與BD的數(shù)量關(guān)系是；∠AD′C與∠ADB的數(shù)量關(guān)系是；（2）【類(lèi)比推理】如圖2，在正方形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E，使∠CED＝90°，將線(xiàn)段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CE′，連接E′B，延長(zhǎng)E′B交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：四邊形CEFE′是正方形；（3）【深度探究】如圖3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其內(nèi)部取一點(diǎn)E，使∠CED＝90°，將線(xiàn)段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CE′，延長(zhǎng)CE′至點(diǎn)G，使CGCE′=43，連接GB，延長(zhǎng)GB交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AF，若AF＝2，則（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，將線(xiàn)段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段AE′，連接DE′，若AD＝32，AB=6，則DE′的最小值為24．（14分）綜合與探究如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（6，0），與y軸交于點(diǎn)B，連接BC．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，連接PB，PC，當(dāng)S△PBC＝24時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)G是第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接BG，若∠CBG＝45°，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為；（4）如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)l，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥l，垂足為點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)O，E同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)OC方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)ED方向勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)M，N都停止運(yùn)動(dòng)），連接MN，過(guò)點(diǎn)D作MN的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)F，連接CF，則CF的取值范圍是．

2025年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案B．DACACDBAB一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿(mǎn)分30分）1．（3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)．若收入10元記作+10元，則支出10元記作（）A．+10元 B．﹣10元 C．0元 D．+20元【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【解答】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，所以，若收入10元記作+10元，則支出10元記作﹣10元．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．2．（3分）社會(huì)規(guī)則營(yíng)造良好的社會(huì)秩序，我們要了解并遵守社會(huì)規(guī)則．下列標(biāo)志是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，由此即可判斷．【解答】解：A、B、C中的標(biāo)志不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A、B、C不符合題意D、此標(biāo)志是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．（3x）2＝9x2 B．5x?2x＝10x C．x6÷x2＝x3 D．（x﹣2）2＝x2﹣4【分析】根據(jù)積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、同底數(shù)冪的除法、完全平方公式逐一求解即可．【解答】解：A．（3x）2＝9x2，此計(jì)算正確，符合題意；B．5x?2x＝10x2，此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C．x6÷x2＝x4，此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，此計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則及完全平方公式．4．（3分）將一個(gè)含30°角的三角尺和直尺按如圖擺放，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得到∠3的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義得出∠4的度數(shù)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到∠2的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，由題意，∠5＝90°﹣30°＝60°，∵直尺的對(duì)邊平行，∴∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠5＝70°，∴∠2＝∠4＝70°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用兩直線(xiàn)平行，同位角相等．5．（3分）為了全面地反映物體的形狀，生產(chǎn)實(shí)踐中往往采用多個(gè)視圖來(lái)反映同一物體不同方面的形狀．如圖中飛機(jī)的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從物體上方向下看得到的視圖為俯視圖，由此得解．【解答】解：如圖中飛機(jī)的俯視圖為選項(xiàng)A的圖形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖，掌握從上面看幾何體得到的圖形就是幾何體俯視圖是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如果關(guān)于x的分式方程mx1?x+xA．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝1或m＝﹣1 D．m≠1且m≠﹣1【分析】分式方程無(wú)解的情況有兩種：解為增根或變形后整式方程無(wú)解．需將原方程化簡(jiǎn)，分別討論這兩種情況對(duì)應(yīng)的m值即可．【解答】解：方程去分母，得：mx﹣x＝2（1﹣x），整理，得：（m+1）x＝2，原方程無(wú)解，∴①整式方程無(wú)解，則：m+1＝0，解得：m＝﹣1，②分式方程有增根，則：x﹣1＝0，解得：x＝1，把x＝1代入（m+1）x＝2，得：m+1＝2，解得：m＝1，綜上：m＝1或m＝﹣1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，注意正確計(jì)算．7．（3分）假定鳥(niǎo)卵孵化后，雛鳥(niǎo)為雌鳥(niǎo)與雄鳥(niǎo)的概率相同．如果2枚鳥(niǎo)卵全部成功孵化，那么2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的概率是（）A．12 B．13 C．23【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的結(jié)果有1種，∴2只雛鳥(niǎo)都是雄鳥(niǎo)的概率是14故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法或樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．8．（3分）神舟二十號(hào)發(fā)射窗口時(shí)間恰逢第十個(gè)“中國(guó)航天日”．為激發(fā)青少年探索浩瀚宇宙的興趣，學(xué)校組織900名師生乘車(chē)前往航空科技館參觀，計(jì)劃租用45座和60座兩種客車(chē)（兩種客車(chē)都要租），若每名學(xué)生都有座位且每輛客車(chē)都沒(méi)有空座位，則租車(chē)方案有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【分析】設(shè)租用45座客車(chē)x輛，60座客車(chē)y輛，根據(jù)學(xué)校組織900名師生乘車(chē)前往航空科技館參觀，計(jì)劃租用45座和60座兩種客車(chē)（兩種客車(chē)都要租），列出二元一次方程，求出正整數(shù)解，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)租用45座客車(chē)x輛，60座客車(chē)y輛，由題意得：45x+60y＝900，整理得：x＝20?43∵x、y均為正整數(shù)，∴x=16y=3或x=12y=6或x=8y=9∴租車(chē)方案有4種，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AB→BC勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線(xiàn)l，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，垂線(xiàn)l掃過(guò)菱形（即陰影部分）的面積為y，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為x（x＞0）．下列圖象能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【分析】分三種情況：點(diǎn)E在AB上時(shí)，點(diǎn)E在BC上且l與AD相交時(shí)，點(diǎn)E在BC上且l與CD相交時(shí)，分別計(jì)算出陰影部分面積的表達(dá)式，即可求解．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，如圖，∵∠A＝60°，l⊥AD，∴∠AEF＝30°，∴AF=12AE=∴y=1∴此時(shí)圖象為開(kāi)口上的拋物線(xiàn)的一部分，排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)點(diǎn)E在BC上且l與AD相交時(shí)，作BH⊥AD，如圖，∵∠A＝60°，BH⊥AD，∴∠ABH＝30°，∴AH=12AB=2∴y＝S△ABH+S矩形BEFH=1∴此時(shí)圖象為直線(xiàn)一部分；當(dāng)點(diǎn)E在BC上且l與CD相交時(shí)，如圖，∵∠C＝∠A＝60°，l⊥BC，CE＝AB+BC﹣x＝8﹣x，∴EF=CE?tan60°=3∴S△CEF∴y=S∴此時(shí)圖象為開(kāi)口下的拋物線(xiàn)的一部分，排除B選項(xiàng)；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，求出不同階段y與x的解析式是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于兩點(diǎn)（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3．下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+c＜0；③4a﹣b+2c＜0；④若m和n是關(guān)于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣x1）+c＝0（a≠0）的兩根，且m＜n，則m＜﹣1，n＞2；⑤關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞?cx1x+c（a≠0）的解集為0＜x＜A．2 B．3 C．4 D．5【分析】依據(jù)題意，由拋物線(xiàn)的圖象開(kāi)口向上，圖象與y軸交于負(fù)半軸，及與x軸交于兩點(diǎn)（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而逐個(gè)判斷即可得解．【解答】解：∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，∴a＞0．∵拋物線(xiàn)與y軸交于負(fù)半軸，∴當(dāng)x＝0，則y＝c＜0．又∵拋物線(xiàn)與x軸交于（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，∴1＜﹣1+x1＜2．∴12∴對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=?1+∴b＞0．∴abc＞0，故①錯(cuò)誤．由圖象可得，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，又∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0，∴b＝a+c．∴4a+2b+c＝4a+2a+2c+c＝6a+3c＜0．∴2a+c＜0，故②正確．∵12＜?1+x∴12∵a＞0，∴a＜﹣b＜2a．∴2a+b＞0．∴2a+a+c＞0，即3a+c＞0．∴4a﹣b+2c＝4a﹣a﹣c+2c＝3a+c＞0，故③錯(cuò)誤．由題意，∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于兩點(diǎn)（﹣1，0），（x1，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）．∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，∴y＝﹣c與y＝c關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．如圖所示，∴y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣x1）＝﹣c時(shí)，即a（x+1）（x﹣x1）+c＝0，結(jié)合圖象可得m＜﹣1，n＞2，故④正確．由題意，∵y=?cx1x+c過(guò)（0，c），（∴可以作圖如下．∴關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞?cx1x+c∴關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞?cx1x+c（a≠0）的解集是0＜x＜x1綜上，正確的有②④⑤共3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式（組）、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，滿(mǎn)分21分）11．（3分）中國(guó)年水資源總量約為27500億m3，人均占有水量相當(dāng)于世界人均的四分之一，居世界第110位．將27500用科學(xué)記數(shù)法表示為2.75×104．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：27500＝2.75×104．故答案為：2.75×104．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（3分）若代數(shù)式xx?3+（x﹣2025）0有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x＞3且x【分析】由代數(shù)式有意義的條件可得：x﹣3＞0且x﹣2025≠0，求解即可得到答案．【解答】解：∵代數(shù)式xx?3+（x﹣2025）∴x﹣3＞0且x﹣2025≠0，∴x＞3且x≠2025．故答案為：x＞3且x≠2025．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式有意義的條件，掌握分式有意義的條件與零指數(shù)冪的底數(shù)不能為零是解題的關(guān)鍵．13．（3分）已知圓錐的底面半徑為40cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為90cm，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為160度．【分析】圓錐的底面半徑為40cm，則底面圓的周長(zhǎng)是80πcm，圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，即側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)是80πcm，母線(xiàn)長(zhǎng)為90cm即側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的半徑長(zhǎng)是90cm．根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算．【解答】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式l=nπr80π=nπ?90解得n＝160度．側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為160度．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)．正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在?ABCD中，BC＝2AB＝8，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線(xiàn)EF，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，若點(diǎn)N恰為BC的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)為43【分析】設(shè)MN交AC于點(diǎn)O，由作圖過(guò)程可知，直線(xiàn)EF為線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，可得點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∠CON＝90°，進(jìn)而可得ON為△ABC的中位線(xiàn)，可得ON∥AB，則∠CAB＝∠CON＝90°，再根據(jù)勾股定理可得AC=B【解答】解：設(shè)MN交AC于點(diǎn)O，由作圖過(guò)程可知，直線(xiàn)EF為線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，∴點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∠CON＝90°．∵點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，∴ON為△ABC的中位線(xiàn)，∴ON∥AB，∴∠CAB＝∠CON＝90°．∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4，∴AC=B故答案為：43【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—基本作圖、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x﹣1的圖象與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），連接AC，BC，若AC＝BC，則實(shí)數(shù)k的值為【分析】求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1），根據(jù)AC＝BC，得到2m2+8m+16＝10，解方程并進(jìn)一步即可得到點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，2），利用待定系數(shù)法即可求出實(shí)數(shù)k的值．【解答】解：當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），∴BC=O設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1），∴AC2＝（m﹣0）2+（﹣m﹣1﹣3）2＝2m2+8m+16，∵AC＝BC，∴AC2＝BC2，∴2m2+8m+16＝10，解得m1＝﹣3，m2＝﹣1（不合題意，舍去），∴m＝﹣3，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣3，2），∴2=k解得k＝﹣6，故答案為：﹣6．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)，根據(jù)AC＝BC和勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．16．（3分）等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，將紙片沿直線(xiàn)l折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線(xiàn)l交AB于點(diǎn)D，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E，連接BE，若AE＝5，tan∠AED=34，則△BEC的面積為125或【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，設(shè)AD＝3x，DE＝4x，得到AE＝5x＝5，求得AB＝AC＝6，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵將紙片沿直線(xiàn)l折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，∴∠ADE＝90°，∵tan∠AED=AD設(shè)AD＝3x，DE＝4x，∴AE＝5x＝5，∴x＝1，∴AD＝BD＝3，DE＝4，∴AB＝AC＝6，∴CE＝1，∴S△ABE∴S△CBE=12如圖，∵將紙片沿直線(xiàn)l折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，∴DE⊥AB，AD＝BD，AE＝BE＝5，∴∠ADE＝90°，∵tan∠AED=AD設(shè)AD＝3x，DE＝4x，∴AE＝5x＝5，∴x＝1，∴AD＝BD＝3，DE＝4，∴AB＝AC＝6，∴CE＝11，∴S△ABE∴S△CBE=132綜上所述△BEC的面積為125或132故答案為：125或132【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換﹣折疊問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（3分）利用幾何圖形的變化可以制作出形態(tài)各異的圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），以O(shè)A為邊作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以O(shè)A1為邊作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，過(guò)點(diǎn)A，A1，A2作弧AA2，記作第1條??；以O(shè)A2為邊作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以O(shè)A3為邊作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，過(guò)點(diǎn)A2，A3，A4作弧A2A4，記作第2條弧??按此規(guī)律，第2025條弧上與原點(diǎn)O【分析】分別求出OA1=OAcos30°=232=2×23，OA2=OA1cos30°=2×23×23=2×(23)2，OA【解答】解：根據(jù)題意可知：OA＝2，OAOAOA…，OA∵點(diǎn)A，A1，A2作弧AA點(diǎn)A2，A3，A4作弧A2…，∴A4048∴第2025條弧上與原點(diǎn)O的距離最小的點(diǎn)為A4048，∴OA∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，…，∴12次操作循環(huán)一周，∵4048÷12＝337…4，∴∠AOA4048＝120°，過(guò)點(diǎn)A4048作A4048M⊥x軸于點(diǎn)M，如圖所示：∴∠MOA4048＝180°﹣120°＝60°，∴OM=OA4048×cos60°=∴A4048∴第2025條弧上與原點(diǎn)O的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2故答案為：(?2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，根據(jù)題意找出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共7道大題，共69分）18．（10分）（1）計(jì)算：9?|1?2|+2sin45°（2）分解因式：2x3﹣8x．【分析】（1）先根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）9=3?(2=3?2＝﹣5；（2）2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．（5分）解方程：x2﹣7x＝﹣12．【分析】先移項(xiàng)，再將左邊因式分解，進(jìn)一步求解即可．【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0，所以x﹣4＝0或x﹣3＝0，解得x1＝4，x2＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．20．（8分）國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)宣布將2025年定為“體重管理年”，并實(shí)施為期三年的體重管理行動(dòng)．某校響應(yīng)號(hào)召，計(jì)劃組織全校學(xué)生開(kāi)展系列體育活動(dòng)，籌備足球、排球、籃球、羽毛球四個(gè)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的體育社團(tuán)，倡導(dǎo)學(xué)生全員參加，為了解學(xué)生對(duì)這四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生，對(duì)其進(jìn)行了“我最喜愛(ài)的球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目”問(wèn)卷調(diào)查（每名學(xué)生在這四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇且只能選擇一項(xiàng)），將這部分學(xué)生的問(wèn)卷進(jìn)行整理，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）填空：m＝24；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“足球”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為86.4度；（4）若該校有3000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有多少人？【分析】（1）用排球的人數(shù)除以36%可得樣本容量，再用足球的人數(shù)除以樣本容量即可求出m的值；（2）用樣本容量分別減去其它三個(gè)球類(lèi)的人數(shù)可得籃球人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）用360°乘足球?qū)?yīng)的百分比即可得到答案；（4）用樣本估計(jì)總體進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）樣本容量為：18÷36%＝50，故m=12故答案為：24；（2）籃球人數(shù)為：50﹣12﹣18﹣4＝16，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“足球”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為：360°×24%＝86.4°，故答案為：86.4；（4）3000×16答：估計(jì)該校最喜歡籃球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生約有960人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接CD，∠BCD＝∠A，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交CD于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，且BE＝3，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠OCB，求得∠OCD＝90°根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到結(jié)論；（2）由點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，得到BD＝AB＝2OC．求得OD＝OB+BD＝3OC，得到OCOD=13，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠ABC＝90°．∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵點(diǎn)B是AD的中點(diǎn)，∴BD＝AB＝2OC．∵OB＝OC，∴OD＝OB+BD＝3OC，∴OCOD∵BE⊥AD，∴∠DBE＝90°，又∵∠OCD＝90°，∴sinD=BE∴DE＝3BE＝9，在Rt△DBE中，BD=D∴OC=32即⊙O半徑為32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，正確地添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．22．（10分）2025年春晚舞臺(tái)上的機(jī)器人表演，充分演繹了科技與民族文化的完美融合．為滿(mǎn)足學(xué)生的好奇心和求知欲，某校組織科技活動(dòng)“機(jī)器人走進(jìn)校園”，AI熱情瞬間燃爆．校園里一條筆直的“勤學(xué)路”上依次設(shè)置了A，B，C三個(gè)互動(dòng)區(qū)，機(jī)器人甲、乙分別從A，C兩區(qū)同時(shí)出發(fā)開(kāi)始表演，機(jī)器人甲沿“勤學(xué)路”以20米/分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時(shí)停留4.5分鐘（與師生熱情互動(dòng)）后，繼續(xù)沿“勤學(xué)路”向C區(qū)勻速行進(jìn)，機(jī)器人乙沿“勤學(xué)路”以10米/分的速度勻速向B區(qū)行進(jìn)，行至B區(qū)時(shí)接到指令立即勻速返回，結(jié)果兩機(jī)器人同時(shí)到達(dá)C區(qū)．機(jī)器人甲、乙距B區(qū)的距離y（米）與機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)結(jié)合圖象信息解答下列問(wèn)題：（1）A，C兩區(qū)相距240米，a＝7.5；（2）求線(xiàn)段EF所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式；（3）機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為多少分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米？（直接寫(xiě)出答案即可）【分析】（1）由圖象直接可得A，B兩區(qū)的距離和B，C兩區(qū)的距離，從而求出A，C兩區(qū)的距離，再由時(shí)間＝路程÷速度求出機(jī)器人甲到達(dá)B區(qū)時(shí)所用時(shí)間，即a的值即可；（2）由時(shí)間＝路程÷速度求出機(jī)器人乙到達(dá)B區(qū)時(shí)所用時(shí)間，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間求出EF段的速度，再由路程＝速度×?xí)r間求出線(xiàn)段EF所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式即可；（3）分別討論機(jī)器人甲在B區(qū)左側(cè)時(shí)、機(jī)器人乙到達(dá)B區(qū)并開(kāi)始返回時(shí)至機(jī)器人甲在B區(qū)停留結(jié)束時(shí)、機(jī)器人甲從B區(qū)出發(fā)至到達(dá)C區(qū)三個(gè)時(shí)間段內(nèi)機(jī)器人甲、乙相距30米時(shí)對(duì)應(yīng)x的值即可．【解答】解：（1）由圖象可知，A，B兩區(qū)相距150米，B，C兩區(qū)相距90米，則A，C兩區(qū)相距150+90＝240（米），機(jī)器人甲到達(dá)B區(qū)時(shí)所用時(shí)間為150÷20＝7.5（分），∴a＝7.5．故答案為：240，7.5．（2）機(jī)器人乙到達(dá)B區(qū)時(shí)所用時(shí)間為90÷10＝9（分），∴E（9，0），機(jī)器人乙從B區(qū)返回C區(qū)過(guò)程中的速度為90÷（15﹣9）＝15（米/分），則y＝15（x﹣9）＝15x﹣135，∴線(xiàn)段EF所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式為y＝15x﹣135（9≤x≤15）．（3）當(dāng)0≤x≤7.5時(shí)，當(dāng)機(jī)器人甲、乙相距30米時(shí)，得20x+10x+30＝240，解得x＝7，當(dāng)9≤x≤12時(shí)，當(dāng)機(jī)器人甲、乙相距30米時(shí)，得15x﹣135＝30，解得x＝11，當(dāng)12＜x≤15時(shí)，機(jī)器人甲的速度為90÷（15﹣12）＝30（米/分），則y＝30（x﹣12）＝30x﹣360，當(dāng)機(jī)器人甲、乙相距30米時(shí)，得15x﹣135﹣（30x﹣360）＝30，解得x＝13，∴機(jī)器人乙行進(jìn)的時(shí)間為7分或11分或13分時(shí)，機(jī)器人甲、乙相距30米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握時(shí)間、速度和路程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（12分）綜合與實(shí)踐在探索幾何圖形變化的過(guò)程中，通過(guò)直觀猜想、邏輯推理、歸納總結(jié)可以獲得典型的幾何模型，運(yùn)用幾何模型能夠輕松解決很多問(wèn)題，讓我們共同體會(huì)幾何模型的“數(shù)學(xué)之美”．（1）【幾何直觀】如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)D，連接AD，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AD′，連接BD，CD′，則CD′與BD的數(shù)量關(guān)系是相等；∠AD′C與∠ADB的數(shù)量關(guān)系是相等；（2）【類(lèi)比推理】如圖2，在正方形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E，使∠CED＝90°，將線(xiàn)段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CE′，連接E′B，延長(zhǎng)E′B交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：四邊形CEFE′是正方形；（3）【深度探究】如圖3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在其內(nèi)部取一點(diǎn)E，使∠CED＝90°，將線(xiàn)段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CE′，延長(zhǎng)CE′至點(diǎn)G，使CGCE′=43，連接GB，延長(zhǎng)GB交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AF，若AF＝2，則BF＝（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，將線(xiàn)段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段AE′，連接DE′，若AD＝32，AB=6，則DE′的最小值為62【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAD'＝90°，AD＝AD'，進(jìn)而證明∠DAB＝∠D'AC，即可證明△DAB≌△D'AC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同（1）證明△BCE'≌△DCE（SAS），得出∠BE'C＝∠DEC＝90°，結(jié)合CE＝CE'，即可得證；（3）同（2）的方法證明△BCG∽△DCE，得出四邊形CEFG是矩形，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OF，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，得出點(diǎn)A，F(xiàn)，B，C，D共圓，勾股定理求得AC，F(xiàn)C，進(jìn)而解Rt△FCG，求得FG=3215，再證明∠ACF＝∠BCG（4）連接AC，BD交于點(diǎn)O，證明△E'AO≌△EAB（SAS）得出∠AOE'＝∠ABE＝90°，當(dāng)DE'⊥OE'時(shí)，DE'取得最小值，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【解答】（1）解：∵將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段AD'，∴∠DAD'＝90°，AD＝AD'，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAD'＝∠DAC，即∠DAB＝∠D'AC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△D'AC（SAS），∴CD'＝BD，∠AD'C＝∠ADB；故答案為：相等（或CD′＝BD）；相等（或∠AD′C＝∠ADB）；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，BC＝DC．∵CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE′，∴∠ECE′＝90°，CE＝CE′．∵∠DCB＝∠ECE′＝90°，∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE′﹣∠BCE即∠DCE＝∠BCE′．∴△BCE′≌△DCE（SAS）．∴∠BE′C＝∠DEC＝90°．∵∠CED+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝90°，∴∠BE′C＝∠ECE′＝∠CEF＝90°．∴四邊形CEFE′是矩形．又∵CE＝CE′，∴四邊形CEFE′是正方形；（3）解：∵CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CE'，∴∠ECE'＝90°，CE＝CE'，∵CGCE′∴CGCE∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，∴CD＝AB＝3，∴BCCD∴CGCE∵∠DCB＝∠ECE'＝90°，∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECE'﹣∠BCE，即∠DCE＝∠BCE'，∴△BCG∽△DCE，∴∠BGC＝∠DEC＝90°，∵∠CED+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝90°，∴∠BGC＝∠ECG＝∠CEF＝90°，∴四邊形CEFG是矩形，如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OF，∵O是AC，BD的中點(diǎn)，在Rt△OBF中，OF=1∴OF=1∴A，F(xiàn)，B，C，D共圓，∴∠AFC＝90°，∵AD＝BC，∴AD=∴∠GFC＝∠ACD，在Rt△ABC中，AC=A∴cos∠ACD=AD∵AF＝2，在Rt△AFC中，F(xiàn)C=A∴FG=FCcos∠CFG=3∵BC=∴∠BFC＝∠BAC，又∵∠AFC＝∠G＝90°，∴∠ACB＝∠FCG，∴∠ACB﹣∠FBC＝∠FCG﹣∠FBC，即∠ACF＝∠BCG，∴sin∠ACF=AF∴25∴BG=8∴BF=3故答案為：321（4）解：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AO＝OB，∵AD=32，AB=∴AC＝BD=A∴AO＝OB＝AB=6∴△AOB是等邊三角形，則∠OAB＝60°，∵線(xiàn)段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段AE'，∴AE＝AE'，∠EAE'＝60°，∴∠OAB＝∠EAE'＝60°，∴∠OAB﹣∠OAE＝∠EAE'﹣∠OAE，即∠E'AO＝∠EAB，又∵OA＝BA，E'A＝EA，∴△E'AO≌△EAB（SAS），∴∠AOE'＝∠ABE＝90°，∴E'在OE'上運(yùn)動(dòng)，且E'O⊥AC，∴當(dāng)DE′⊥OE'時(shí)，DE'取得最小值，∵∠AOB＝60°，∴∠AOD＝120°，又∵∠AOE'＝90°，∴∠EOD＝30，∴當(dāng)DE'⊥OE'時(shí)，DE'=12OD=故答案為：62【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理